E2 = mv/2 = mv0/8，
动能的增量为
ΔEk = E2 – E1 = -3mv02/8，
这就是摩擦力所做的功W．
（2）由于 dW = -fds = -μkNds = -μkmgrdθ，
积分得
W?22
整理和一元二次方程
12kx?mgxsin??mgssin??0，
2解得
x?mgsin??(mgsin?)?2kmgsin?k2
?2?0(??kmgr)d???2??kmgr．
= 0.24(m)（取正根）．
3．10 一个小球与另一质量相等的静止小球发生弹性碰撞．如果碰撞不是对心的，试证明：碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
[证明]设一个小球碰撞前后的速度大小分别为v0和v1，另一小球的在碰撞后的速度大小为v2，根据机械能守恒得
12mv0?2由于W = ΔE，可得滑动摩擦因数为
?k?3v0216πgr．
（3）在自然坐标中，质点的切向加速度为
at = f/m = -μkg，
根据公式vt – vo = 2ats，可得质点运动的弧长为
s?v02p1 p0 θ p2 12mv1?222
2a?v022?kg?8?r3，
12mv2，
2圈数为 n = s/2πr = 4/3．
[注意]根据用动能定理，摩擦力所做的功等于质点动能的增量
-fs = ΔE k， 可得 s = -ΔE k/f， 由此也能计算弧长和圈数。
3．9 如图所示，物体A的质量m = 0.5kg，静止于光滑斜面上．它与固定在斜面底B端的弹簧M相距s = 3m．弹簧的倔强系数k =
A 400N·m-1．斜面倾s = 3m 角为45°．求当物体A由静止下滑
B时，能使弹簧长度 产生的最大压缩
θ = 45° 量是多大？ 图3.9
[解答]取弹簧自然伸长处为重力势能和弹性势能的零势点，由于物体A和弹簧组成的系统只有保守力做功，所以机械能守恒，当弹簧压缩量最大时，可得方程
mgssin???mgxsin??12kx，
2222即 v0?v1?v2；
根据动量守恒得
???p0?p1?p2，
其中各动量的大小为
p0 = mv0、p1 = mv1和p2 = mv2， 对矢量式两边同时平方并利用
??p1?p2?mv1mv2cos?
得
p0?p1?p2?2p1p2cos?，
2222222即mv0?mv1?mv2?2mv1v2cos?
222化简得
v0?v1?v2?2v1v2cos?，
222结合机械能守恒公式得
2v1v2cosθ = 0，
由于v1和v2不为零，所以
θ = π/2，
即碰撞后两小球的运动方向彼此垂直．
16
证毕．
3．11 如图所示，质量为1.0kg的钢球m1系在长为0.8m的绳的一端，绳的另一端O固定．把绳拉到
O 水平位置后，再把
m1 = 0.8m 它由静止释放，球在最低点处与质量为5.0kg的钢块m2作完全弹性碰撞，求碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度．
[解答]钢球下落后、碰撞前的速率为
v1?2gl．
12m1v1?212m2v2?`212m1v`1?`212m2v`2，
2m1v1?m2v2?m1v1?m2v2．
同理可得
v1?v1?v2?v2．
``从而解得
m2 图3.11
或者
v1?`v1?`(m1?m2)v1?2m2v2m1?m2，
2(m1v1?m2v2)m1?m2?v1；
钢球与钢块碰撞之后的速率分别为v1`和v1`，根据机械能守恒和动量守恒得方程
12m1v1?2将下标1和2对调得
v2?`12`m1v`1?`212(m2?m1)v2?2m1v1m1?m2m2v`2，
2，
m1v1?m1v1?m2v2．
222整理得m1(v1?v`1)?m2v`2
`或者v2?2(m1v1?m2v2)m1?m2?v2．
m1(v1?v1)?m2v2．
``后一公式很好记忆，其中质心速度．
m1v1?m2v2m1?m2代表
将上式除以下式得
v1 + v1` = v2`， 代入整理的下式得
m1v1?m1v1?m2v1?m2v1，
``` 3．12 一质量为m的物体，从质量为M的圆弧形槽顶端由静止滑下，设圆弧形槽的半径为R，张角为π/2，如图所示，所有摩擦都忽略，求：
（1）物体刚离开槽底端时，物体和槽的速度各是多少？ V （2）在物体从A滑到B的过程中，物体对槽所做的功W；
M 图3.12 A R v B 解得 v1?(m1?m2)vm1?m21．
m 碰撞后钢球继续运动能达到的最大高度为
h?v1`22g?12gm1?m22(m1?m2)v1
22?(m1?m2m1?m2)l= 0.36(m)．
[讨论]如果两个物体的初速率都不为零，发生对心弹性碰撞时，同样可列出机械能和动量守恒方程
（3）物体到达B时对槽的压力． [解答]（1）物体运动到槽底时，根据机械能定律守恒得
mgR?12mv?212MV，
2 17
根据动量守恒定律得
0 = mv + MV．
因此
mgR?12mv?2质子和氦核都带正电，带电量分别为e和2e，它们之间的库仑力是保守力．根据能量守恒定律得
(MV)
212M212mpv?2012(4mp)v?2012(5mp)v?k22erm2，
?12mv?212M(mv)， 因此
k2erm2解得
v?2MgRM?m?52mp(v0?v)?2285mpv0，
2，
所以最近距离为
rm?5ke22从而解得
V??m2gRM(M?m)4mpv0．
．
3．14 如图所示，有一个在竖直平面上摆动的单摆．问：
（1）摆球对悬挂点的角动量守恒吗？
（2）求出t时刻小球对悬挂点的角动量的方向，对于
（2）物体对槽所做的功等于槽的动能
的增量
W?12MV2?mgRM?m2．
l θ （3）物体在槽底相对于槽的速度为
v`?v?V?(1?mM)v?M?mMv
?2(M?m)gRMm 不同的时刻，角动量的方向会
图3.14
改变吗？
（3）计算摆球在θ角时对悬挂点角动量的变化率．
[解答]（1）由于单摆速度的大小在不断发生改变，而方向与弧相切，因此动量θ l 矩l不变；由于角动量L =
N mvl，所以角动量不守恒． （2）当单摆逆时针运
动时，角动量的方向垂直纸
mg ，
物体受槽的支持力为N，则
N?mg?mv`2R，
因此物体对槽的压力为
N`?mg?mv`2R?(3?2mM)mg．
面向外；当单摆顺时针运动时，角动量的方向垂直纸面向里，因此，在不同的时刻，角动量的方向会改变．
（3）质点对固定点的角动量的变化率等于质点所受合外力对同一点的力矩，因此角动量的变化率为
dLdt?M?F?l?mglsin?．
3．13 在实验室内观察到相距很远的一个质子（质量为mp）和一个氦核（质量为4mp）沿一直线相向运动；速率都是v0，求两者能达到的最近距离．
[解答] 当两个粒子相距最近时，速度相等，根据动量守恒定律得
4mpv0 - mpv0 = (4mp + mp)v， 因此v = 3v0/5．
18
3．15 证明行星在轨道上运动的总能量为E??GMmr1?r2．式中M和m分别为太阳
和行星的质量，r1和r2分别为太阳和行星轨道的近日点和远日点的距离．
[证明]设行星在近日点和远日点的速
r1 r2 度分别为v1和v2，由于只有保
守力做功，所
以机械能守恒，总能量为
E?1212mv?21E??mgR022R0?h1?h2= -4.42×10(J)．
9
v2
*3．17
v1 第四章 刚体定轴转动
（1）
P109．
4．1 质量为M的空
． （2）
心圆柱体，质量均匀分布，其内外半径为R1和R2，求对通过其中心轴的转动惯量．
[解答]设圆柱体的高为H，其体积为
V = π(R22 – R12)h， 体密度为
ρ = M/V．
R1 R2 O` 图4.1
H O GMmr1和 E?mv?22GMmr2它们所组成的系统不受外力矩作用，所以行星的角动量守恒．行星在两点的位矢方
向与速度方向垂直，可得角动量守恒方程
mv1r1 = mv2r2， 即 v1r1 = v2r2． (3)
将（1）式各项同乘以r12得
Er1 = m(v1r1)/2 - GMmr1， (4)
将（2）式各项同乘以r22得
Er22 = m(v2r2)2/2 - GMmr2， (5)
将（5）式减（4）式，利用（3）式，可得 E(r22 - r12) = -GMm(r2 - r1)， (6)
由于r1不等于r2，所以
（r2 + r1)E = -GMm，
故 E??GMmr1?r22
2
在圆柱体中取一面积为S = 2πRH，厚度为dr的薄圆壳，体积元为
dV = Sdr = 2πrHdr，
其质量为
dm = ρdV，
绕中心轴的转动惯量为
dI = r2dm = 2πρHr3dr， 总转动惯量为
I?2??H． 证毕．
?R2R1rdr?312??H(R2?R1)
443．16 我国第一颗人造地于卫星的质量为173kg，其近地点高度为439km，远地点高度为2 384km，求它的轨道总能量．
[解答]地球半径R0 = 6371km，因此
r1 = R0 + h1，r2 = R0 + h2． 根据万有引力定律，在地球表面有
GMmR02?12m(R2?R1)．
22
4．2 一矩形均匀薄板，边长为a和b，质量为M，中心O取为原点，坐标系OXYZ如图所示．试证明：
（1）薄板对OX轴的转动惯量为
IOX?112Mb；
2?mg，
因此
GM?gR0，
2（2）薄板对OZ轴的转动惯量为
IOZ?112M(a?b)．
22根据上题的结果可得卫星的轨道总能量为
19
[证明] 薄板的面积为
S = ab， 质量面密度为
σ = M/S． （1）在板上取一长为a，宽为dy的矩形元，其面积为
dS = ady，
其质量为
dm =σdS，
Y a ??b13a/2x3?a/22?112bM
2b Z O X ?112M(a?b)．
2图4.2
方法二：垂直轴定理．在板上取一质量元dm，绕OZ轴的转动惯量为 dIOZ = rdm． 222
由于r = x + y，所以
dIOZ = (x2 + y2)dm = dIOY + dIOX，
因此板绕OZ轴的转动惯量为
IOZ?IOY?IOX?112M(a?b)．
222
绕X轴的转动惯量为
dIOX = y2dm = σay2dy， 积分得薄板对OX轴的转动惯量为
b/2b/2IOX??a??b/2ydy??a213
4．3 一半圆形细杆，半径为R，质量为M，求对过细杆二端AA`轴的转动惯量．
[解答]半圆的长度为 C = πR，
质量的线密度为
λ = M/C． 在半圆上取一弧元
ds = Rdθ， 其质量为
dm = λds，
R A θ A` 图4.3
y3?b/2?112?ab?3112Mb．
2同理可得薄板对OY轴的转动惯量为
IOY?112Ma．
2（2）方法一：平行轴定理．在板上取一长为b，宽为dx的矩b 形元，其面积为
dS = bdx， 质量为
dm = σdS，
绕过质心的O`Z`轴的转动惯量等于绕OX轴的转动惯量
dIO`Z` = b2dm/12．
根据平行轴定理，矩形元对OZ轴的转动惯量为
dIOZ = xdm + dIO`Z`
= σbx2dx + b2dm/12， 积分得薄板对OZ轴的转动惯量为
a/2MY a r y O` X O x Z Z` 到AA`轴的距离为
r = Rsinθ，
绕此轴的转动惯量为
232
dI = rdm = λRsinθdθ，
半圆绕AA`轴的转动惯量为
πI??R3?sin?d?
02π??R3?2(1?cos2?)d?
01?π2?R?312MR
22
4．4 如图所示，在质量为M，半径为R的匀质圆盘上挖出半径为r的两个圆孔．圆孔中心在圆盘半径的中点．求剩余部分对大圆盘中心且与盘面垂直的轴线的转动惯量．
IOZ??b
??a/2xdx?2112b2?dm
020