利用v = dx/dt，可得
dxdt22 当n = 2时，即证明了本题的结果．
dxdvdtdx?vdvdx?dvdt?，
因此方程变为
mvdv??kdxx2 2．13 一质量为m的小球以速率v0从地面开始竖直向上运动．在运动过程中，小球所受空气阻力大小与速率成正比，比例系数为k．求：
（1）小球速率随时间的变化关系v(t)；
（2）小球上升到最大高度所花的时间T．
[解答]（1）小球竖直上升时受到重力和空气阻力，两者方向向下，取向上的方向为下，根据牛顿第二定律得方程
dvdt，
积分得
12mv?2kx?C．
利用初始条件，当x = x0时，v = 0，所以C = -k/x0，因此
12mv?2kx?kx0，
f??mg?kv?m，
分离变量得
dt??mdvmg?kv??md(mg?kv)kmg?kv即 v?2km(1x?x01)． 证毕．
，
[讨论]此题中，力是位置的函数：f = f(x)，利用变换可得方程：mvdv = f(x)dx，积分即可求解．
如果f(x) = -k/x，则得
12mv??k?12122积分得
t??mkmkln(mg?kv)?C．
n
当t = 0时，v = v0，所以
．
因此
t??mklnmg?kvmg?kv0??mklnmg/k?vmg/k?v0C?ln(mg?kv0)，
dxxn（1）当n = 1时，可得
mv??klnx?C．
2，
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以C = lnx0，因此
mv?kln2x0x，
小球速率随时间的变化关系为
v?(v0?mgk)exp(?ktm)?mgk．
即 v?2kmlnx0x．
（2）当小球运动到最高点时v = 0，所需要的时间为 T?mklnmg/k?v0mg/k?mkln(1?kv0mg)．
（2）如果n≠1，可得
12mv??2k1?nx1?n?C．
利用初始条件x = x0时，v = 0，所以
C??kn?1x01?n[讨论]（1）如果还要求位置与时间的关系，可用如下步骤．
由于v = dx/dt，所以
，
1x0因此
12mv?2kn?1x(1n?1?)， n?1dx?[(v0?mgk)exp(?ktm)?mgk]dt，
即
dx??m(v0?mg/k)kdexp(?ktm)?mgkdt，
即 v?
(n?1?n?1)．
(n?1)mxx011
2k11积分得
x??m(v0?mg/k)kexp(?ktm)?mgk?k t?C`，
Rt?1v?C．
当t = 0时，v = v0，所以
C??1v0当t = 0时，x = 0，所以
C`?m(v0?mg/k)k，
，
因此
x?m(v0?mg/k)k[1?exp(?ktm)]?mgk t．
因此
?kRt?1v?1v0．
（2）如果小球以v0的初速度向下做直线运动，取向下的方向为正，则微分方程变为
f?mg?kv?mdvdt解得 v?由于
dx?v01??kv0t/R．
，
用同样的步骤可以解得小球速率随时间的
变化关系为
v?mgk?(mgk?v0)exp(?ktm)．
v0dt1??kv0t/R?Rd(1??kv0t/R)?k1??kv0t/R，
积分得
x?Rln(1?这个公式可将上面公式中的g改为-g得出．由此可见：不论小球初速度如何，其最终速率趋于常数vm = mg/k．
2．14 如图所示：光滑的水平桌面上放置一固定的圆环带，半径为R．一物体帖着环带内侧运动，物体与环
A v0 带间的滑动摩擦因数为
R μk．设物体在某时刻经A点时速率为v0，求此后时刻t物体的速率以及从A点开始所经过的路程．
图2.14 ?kv0tR?k)?C`，
当t = 0时，x = x0，所以C = 0，因此
x?Rln(1??kv0tR?k)．
*2．15
2．16 如图所示，一半径为R的金属光滑圆环可绕其竖直直径转动．在环上套有一珠子．今逐渐增大圆环的转动角速度ω，试求在不同转动速度下珠子能静止在环上的位置．以珠子所停处的半径与竖直直径的夹角θ表示．
θ r ω [解答]物体做圆周运动的向心力是由圆环带对物体的压力，即 N = mv2/R．
物体所受的摩擦力为
f = -μkN，
负号表示力的方向与速度的方向相反．
根据牛顿第二定律得 f???kmv2R m mg
图2.16
R?mdvdt，
[解答]珠子受到重力和环的压力，其合力指向竖直直径，作为珠子做圆周运动的向心力，其大小为
F = mgtgθ． 珠子做圆周运动的半径为
r = Rsinθ．
根据向心力公式得
即 积分得
?kRdt??dvv2．
12
F = mgtgθ = mωRsinθ，
可得
mgcos??R?，
g22
p = mv，
但是末动量与初动量互相垂直，根据动量的增量的定义
????p?p2?p1
Δp p2 p1 p1 m R 解得 ???arccos2．
R?
得p2?p1??p，
由此可作矢量三角形，可得
?p?2p?2mv．
???第三章 运动的守恒定律
P84．
3．1 如图所示，一小球在弹簧的弹力作用下振动．弹力F = -kx，而位移x = Acosωt，其中k，A和ω都是常数．求在t = 0到t =
F m π/2ω的时间间隔内弹
O x 图3.1 x 因此向心力给予小球的的冲量大小为
s)． I??p= 1.41(N·
[注意]质点向心力大小为F = mv2/R，方
向是指向圆心的，其方向在不断地发生改变，所以不能直接用下式计算冲量
I?Ft?mvTR4?2 ?2mv．
力予小球的冲量．
[解答]方法一：利用冲量公式．根据冲量的定义得
dI = Fdt = -kAcosωtdt， 积分得冲量为
I??mv2?R/TTR4?π/2?0(?kAcos?t)dt，
π/2?假设小球被轻绳拉着以角速度ω = v/R运动，拉力的大小就是向心力 F = mv2/R = mωv，
其分量大小分别为 Fx = Fcosθ = Fcosωt，
Fy = Fsinθ = Fsinωt， 给小球的冲量大小为
dIx = Fxdt = Fcosωtdt， dIy = Fydt = Fsinωtdt， 积分得
Ix?y Fx F O m Fy R x ??kA?sin?t0??kA?方法二：利用动量定理．小球的速度为 v = dx/dt = -ωAsinωt，
设小球的质量为m，其初动量为 p1 = mv1 = 0，
末动量为
p2 = mv2 = -mωA，
小球获得的冲量为
I = p2 – p1 = -mωA，
可以证明k =mω，因此
I = -kA/ω．
3．2 一个质量m = 50g，以速率的v = 20m·s作匀速圆周运动的小球，在1/4周期内向心力给予小球的冲量等于多少？
[解答]小球动量的大小为
13
-1
2
?T/40Fcos?tdt?FT/4?sin?t0
?F??mv，
Iy??T/40Fsin?tdt??FT/4?cos?t0
?F??mv，
联立方程可得
a = g/2 = 5(m·s)．
根据运动学公式
2
s = v0t + at/2，
可得B拉C之前的运动时间
t?2s/a= 0.4(s)．
-2
合冲量为
I?Ix?Iy?222mv，
所前面计算结果相同，但过程要复杂一些．
3．3 用棒打击质量0.3kg，速率等于-1
20m·s的水平飞来的球，球飞到竖直上方10m的高度．求棒给予球的冲量多大？设球与棒的接触时间为0.02s，求球受到的平均冲力？
[解答]球上升初速度为 vy?此时B的速度大小为
-1
v = at = 2(m·s)．
物体A跨过动滑轮向下运动，如同以相同的加速度和速度向右运动．A和B拉动C运动是一个碰撞过程，它们的动量守恒，可得
2Mv = 3Mv`，
因此C开始运动的速度为 v` = 2v/3 = 1.33(m·s-1)．
3．5 一个原来静止的原子核，放射性蜕变时放出一个动量p1 = 9.22×10-16g·cm·s-1的电子，同时还在垂直于此电子运动的方向上放出一个动量p2 = 5.33×10-16g·cm·s-1的中微子．求蜕变后原子核的动量的大小和方向．
[解答]原子核蜕变后的总动量大小为
p?-16-1
p1?p2= 10.65×10(g·cm·s)．
22vy
Δv
vx s)， 2gh= 14(m·-1
其速度的增量为
?v?s)． vx?vy= 24.4(m·22-1
棒给球冲量为
I = mΔv = 7.3(N·s)，
对球的作用力为（不计重力）
F = I/t = 366.2(N)．
3．4 如图所示，3个物体A、B、C，每个质量都为M，B和C靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者连有一段长度为0.4m的细绳，首先放松．B的另一侧则连有另一细绳跨过桌边的定滑轮而与A相连．已知滑轮轴上的摩擦也可忽略，绳子长度一定．问A和B起动
C B 后，经多长时间C也开始运动？C开始
运动时的速度是多少？
-2
其方向与电子方向的夹角为
θ = arctan(p2/p1) = 30°． 根据动量守恒定律，三个粒子总动量为零，
???p`?p1?p2?0，
p2 p θ p1 所以原子核的反冲动量为
A 图3.4 ????p`??(p1?p2)??p，
其大小与电子和中微子的合动量的大小相等，方向相反，与电子速度的夹角为
180 - θ = 150°．
3．6 一炮弹以速率v0沿仰角θ的方向发射出去后，在轨道的最高点爆炸为质量相等的两块，一块沿此45°仰角上飞，一块沿45°俯角下冲，求刚爆炸的这两块碎片的速
14
（取g = 10m·s）
[解答]物体A受到重力和细绳的拉力，可列方程
Mg – T = Ma，
物体B在没有拉物体C之前在拉力T作用下做加速运动，加速度大小为a，可列方程
T = Ma，
率各为多少？
[解答] 炮弹在最高点的速度大小为
v = v0cosθ，
方向沿水平方向．
根据动量守恒定律，可知碎片的总动量等于炮弹爆炸前的总动量，可作矢量三角形，列方程得
mv/2?m2v`cos45?，
f = μkN = μkmgcosθ，
方向与弧位移的方向相反，所做的功元为
??dW2?f?ds?fcosπds
v0 θ v` 45° v v` ??ukmgcos?Rd?，
积分得摩擦力所做的功为
W2??45?0(??kmgRcos?)d?
45????kmgRsin?0??22?kmgR．
所以 v` = v/cos45° =
2v0cos?．
要使雪橇缓慢地匀速移动，雪橇受的重???力G、摩擦力f和马的拉力F就是平衡力，
???即 F?G?f?0，
3．7 如图所示，一匹马拉着雪撬沿着冰雪覆盖的弧形路面极缓慢地匀速移动，这圆弧路面的半径为R．设马对雪橇
的拉力总是平行于路
面．雪橇的质量为m，它F ds f 与路面的滑动摩擦因数为
mg μk．当把雪橇由底端拉上
图3.7 45°圆弧时，马对雪橇做了
多少功？重力和摩擦力各做了多少功？ 位移ds的大小为
ds = Rdθ． ?重力G的大小为
?45° N θ R 或者 F??(G?f)． 拉力的功元为
??????dW?F?ds??(G?ds?f?ds)
?????(dW1?dW2)，
拉力所做的功为
W??(W1?W2)
[解答]取弧长增加的方向为正方向，弧
?(1?22?22?k)mgR．
G = mg，
方向竖直向下，与位移元的夹角为π + θ，所做的功元为
??dW1?G?ds?Gcos(??π/2)ds
??mgRsin?d?，
由此可见：重力和摩擦力都做负功，拉力做正功．
3．8 一质量为m的质点拴在细绳的一端，绳的另一端固定，此质点在粗糙水平面上作半径为r的圆周运动．设质点最初的速率是v0，当它运动1周时，其速率变为v0/2，求：
（1）摩擦力所做的功；
积分得重力所做的功为 W1??45?045?(?mgRsin?)d??mgRcos?0
（2）滑动摩擦因数；
（3）在静止以前质点运动了多少圈？ [解答] （1）质点的初动能为
E1 = mv02/2，
末动能为
??(1?22)mgR．
?f摩擦力的大小为
15