l/4 O l/4 l 角速度为
??LI?vA?vBrv0 所以角速度为
．
?0?14mv0l/I?12v07l图4.13
可见：角速度与两人的质量无关，只与它们的相对速度和平行线的距离有关．
（2）损失的能量．两人的转动动能为
Ek2?12(IA?IB)?
2第五章 狭义相对论
2?1mAmB2mA?mB(vA?vB)，
P140．
5．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？ [解答]地球的半径约为
R = 6400千米 = 6.4×106(m)，
自转一圈的时间是
T = 24×60×60(s) = 8.64×10(s)，
赤道上钟的线速度为
v = 2πR/T = 4.652×10(m·s)． 将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动． 南极和赤道上的钟分别用A和B表示，南极参考系取为S，赤道参考系取为S`．A钟指示S系中的本征时，同时指示了B钟的运动时间，因此又指示S`系的运动时．同理，B钟指示S`系中的本征时，同时指示了A钟的反向运动时间，因此又指示S系的运动时．
方法一：以S系为准．在S系中，A钟指示B钟的运动时间，即运动时 Δt=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． B钟在S`中的位置不变的，指示着本征时Δt`．A钟的运动时Δt和B钟的本征时Δt`之间的关系为
?t??t`1?(v/c)2因此动能的变化量为
ΔE = Ek2 – Ek1
?1mAmB11222(vA?vB)?(mAvA?mBvB)
2mA?mB22简化得
?E??(mAvA?mBvB)2(mA?mB)2，
4
负号表示能量减少．可见：如果mAvA≠mBvB，则ΔE≠0，即能量不守恒．在本题中，由于mAvA = mBvB，所以能量是守恒的．
4．13．一均匀细棒长为l，质量为m，以与棒长方向相垂直的速度v0，在光滑水平面内平动时，与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于离棒中心一方l/4处，如图所示，求棒在碰撞后的瞬时绕过O点垂直于棒所在平面的轴转动的角速度ω0．
[解答]以O点为转动轴，棒的质心到轴的距离为l/4，在碰撞之前，棒对转轴的角动量为mv0l/4．在碰撞之后瞬间，棒绕轴的角动量为Iω0．
棒绕质心的转动惯量为
Ic = ml2/12，
根据平行轴定理，棒绕O点为转动惯量为
I?Ic?md
22-1
，
?112ml?m(214l)?2748ml．
2可求得B钟的本征时为
?t`??t1?(v/c)?[1?2根据角动量守恒定律得
mv0l/4 = Iω0，
26
1v2()]?t， 2c因此时间差为
1v2?t??t`?()2c平面镜A和B构成，对于这个光钟为静止的
10(s)． ?t=1.898×
5
参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A到镜面B再回到原处的时间，其值为
c??度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，
?两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系
在南极上看，赤道上的钟变慢了．
方法二：以S`系为准．在S`系中，B钟指示A钟的反向运动时间，即运动时 Δt`=50×108×365×24×60×60=1.5768×1016(s)． A钟在S中的位置不变的，指示着本征时Δt．B钟的运动时Δt`和A钟的本征时Δt之间的关系为
?t`??t1?(v/c)2?0?2L0．若将这个光钟横放在一个以速
中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？
[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，
，
称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为
1v2()]?t`， 2c可求得A钟的本征时为
?t??t`1?(v/c)?[1?2???01?(v/c)2．
因此时间差为 ?t`??t?(1v2c2)?t=1.898×`10(s)．
5
5．3 在惯性系S中同一地点发生的两事件A和B，B晚于A4s；在另一惯性系S`中观察，B晚于A5s发生，求S`系中A和B两事件的空间距离？
[解答]在S系中的两事件A和B在同一地点发生，时间差Δt = 4s是本征时，而S`系中观察A和B两事件肯定不在同一地点，Δt` = 5s是运动时，根据时间膨胀公式
?t`??t1?(v/c)2在赤道上看，南极上的钟变慢了．
[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式．
有人直接应用公式计算时间差
?t??t`??t`1?(v/c)2??t`
1v21v2?[1?()]?t`??t`?()?t`，
2c2c，
由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此
人以S系为准来对比两钟的时间，Δt`是B钟的本征时，Δt是A钟的运动时，而题中的本征时是未知的．
也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．
?t`??t??t1?(v/c)2即 5?41?(v/c)2，
可以求两系统的相对速度为 v = 3c/5．
在S`系中A和B两事件的空间距离为 Δl = vΔt` = 3c = 9×108(m)．
5．4 一根直杆在S系中观察，其静止长度为l，与x轴的夹角为θ，S`系沿S系的x轴正向以速度v运动，问S`系中观察到杆子与x`轴的夹角若何？
[解答]直杆在S系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为
lx = lcosθ和ly = lsinθ．
27
??t
1v21v2?[1?()]?t??t?()?t
2c2c
5．2 一个“光钟”由两个相距为L0的
在S`系中观察直杆在y方向上的长度不变，即l`y = ly；在x方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得
l?lx1?(v/c)，
`x2??1c-8
(?x`)?(?x)= -0.577×10(s)．
22[注意]在S`系中观察到两事件不是同时
发生的，所以间隔Δx` = 2m可以大于间隔Δx = 1m．如果在S`系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx`就表示运动长度，就
，
因此
tan?`?lyl`x`?tan?1?(v/c)2不可能大于本征长度Δx，这时可以用长度收缩公式?x`??x1?(v/c)2，计算它们的
可得夹角为
?`?arctan{[1?(v/c)]2?1/2tan?}．
相对速度．
5．6 一短跑运动员，在地球上以10s的时间跑完了100m的距离，在对地飞行速度为0.8c的飞船上观察，结果如何？
[解答]以地球为S系，则Δt = 10s，Δx = 100m．根据洛仑兹坐标和时间变换公式
x`?x?vt1?(v/c)2
5．5 S系中观察到两事件同时发生在x轴上，其间距为1m，S`系中观察到这两个事件间距离是2m，求在S`系中这两个事件的时间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换，得两个事件的空间和时间间隔公式
?x`??x?v?t1?(v/c)2和t`?t?vx/c2，
21?(v/c)，
飞船上观察运动员的运动距离为
?x`??x?v?t1?(v/c)100?0.8c?101?0.82?t`??t??xv/c1?(v/c)22． （1）
?2 由题意得：Δt = 0，Δx = 1m，Δx` = 2m．因此
?x`??x1?(v/c)?t`???xv/c22≈-4×109(m)．
运动员运动的时间为
，
2?t`??t?v?x/c1?(v/c)22 ．（2）
1?(v/c)?10?0.8?100/c0.6≈16.67(s)．
由（2）之上式得它们的相对速度为
v?c1?(?x/?x`)． （3）
2在飞船上看，地球以0.8c的速度后退，后退时间约为16.67s；运动员的速度远小于
地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m．
5．7 已知S`系以0.8c的速度沿S系x轴正向运动，在S系中测得两事件的时空坐标为x1 = 20m，x2 = 40m，t1 = 4s，t2 = 8s．求
将（2）之下式除以（2）之上式得
?t`?x`??vc2，
所以
?t`???x`c1?(?x?x`) 2S`系中测得的这两件事的时间和空间间隔．
[解答]根据洛仑兹变换可得S`系的时间间隔为
28
t?t?`2`1t2?t1?v(x2?x1)/c1?(v/c)22时候，用双下标能够比较容易地区别不同的
速度，例如用v10表示S`相对S系的速度，用v12表示S`系相对S``系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．
5．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c和0.8c速度相向运动，在地面上观察，5s后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？
[解答]两者相撞的时间间隔Δt = 5s是
9
?8?4?0.8(40?20)/c0.6≈6.67(s)．
空间间隔为
x?x?`2`1x2?x1?v(t2?t1)1?(v/c)2 ?40?20?0.8c?(8?4)0.6≈-1.6×10(m)． 运动着的对象—飞船和慧星—发生碰撞的时间间隔，因此是运动时．在飞船上观察的
碰撞时间间隔Δt`是以速度v = 0.6c运动的系统的本征时，根据时间膨胀公式?t??t`1?(v/c)2 5．8 S系中有一直杆沿x轴方向装置且以0.98c的速度沿x轴正方向运动，S系中的观察者测得杆长10m，另有一观察以0.8c的速度沿S系x轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？
[解答]在S系中的观测的杆长Δl = 10m是运动长度，相对杆静止的参考系为S`，其长度是本征长度，根据尺缩效应?l??l`1?(v10/c)，可得杆的本征长度2，可得时间间隔为
?t`??t1?(v/c)= 4(s)．
2为
?l`??l1?(v10/c)?101?0.982 5．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地
y` y 地球 S c 星光 S` v=u uy` θ` x` 2
-u = 50.25(m)．
x O 太阳 面，速率
为c，而地球以速率u垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何．
[解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S系，地球为S`系．在S系中看地球以v = u运动，看星光的速度为
ux = 0，uy = c．
星光在S`系中的速度分量为
ux?`另一参考系设为S``系，相对S系的速度为v20 = -0.8c．在S``系观察S`系的速度为
v12?v10?v201?v10v20/c2
?0.98c?(?0.8c)1?0.98(?0.8)= 0.99796c．
ux?v1?uxv/c222??u
在S``系观察S`系中的杆的长度是另一运动长度
?l``??l`1?(v12/c)= 3.363(m)．
2u?`yuy1?v/c1?uxv/c222
[注意]在涉及多个参考系和多个速度的
29
?c1?u/c?c?u 22星光在S`系中的速度为
u?`m0c22ux?uy?c，
`2`21?(v/c)?m0c?m0v，
22即光速是不变的．
星光在S`系中与y`轴的夹角，即垂直地面的夹角为
设x = (v/c)，方程可简化为
11?x?1?x，
2
?`?arctanuu`y?arctanuc?u22．
或 1?(1?x)?1x， 平方得
1 = (1 – x)(1 - x)，
化简得
x(x – x -1) = 0． 由于x不等于0，所以
x2 – x -1 = 0．
解得
x?1?252
2
方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S`系中，光速也为c，当地球以速度v = u沿x轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x`轴的分量为uy` = -u，所以星光速度沿y`轴的分量为
u?`yc?u/?2`2xc?u，
22从而可求出星光速度垂直地面的夹角为
?`?arctanuu`x`y?arctanuc?u22，
．
取正根得速率为
v?c[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．
此题与书中的例题5.4类似，这里的太阳相当于5.4题中的地球，这里的地求相当于5.4题的乙飞船，这里的星光相当于5.4题中的甲飞船．
5．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？
[解答]（1）粒子的非相对论动能为 Ek = m0v2/2，
相对论动能为
E`k = mc2 – m0c2，
其中m为运动质量
m?m01?(v/c)21?25= 0.786c．
（2）粒子的非相对论动量为
p = m0v， 相对论动量为
p`?mv?m0v1?(v/c)2，
根据题意得方程
m0v1?(v/c)2?2m0v．
很容易解得速率为
v?32c= 0.866c．
5．12．某快速运动的粒子，其动能为
．
4.8×10J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．
[解答]在相对论能量关系中
E = E0 + Ek，
30
-16
根据题意得