所以振幅为
A?v0m?Mkx1 = Mg/k．
= 5×10-2(m)．
物体与托盘磁盘之后，在新的平衡位置，弹
簧伸长为x2，则
x2 = (M + m)g/k．
取新的平衡位置为原点，取向下的方向为正，则它们振动的初位移为
x0 = x1 - x2 = -mg/k． 因此振幅为 A?x?20（2）振动的圆频率为
??km?M= 40(rad·s-1)．
取木块静止的位置为原点、向右的方向为位移x的正方向，振动方程可设为
x = Acos(ωt + υ)．
当t = 0时，x = 0，可得
υ = ±π/2；
由于速度为正，所以取负的初位相，因此振动方程为
x = 5×10-2cos(40t - π/2)．
6．10 如图所示，在倔强系数为k的弹簧下，挂一质量为M的托盘．质量为m的物体由距盘底高h处自由下落h 与盘发生完全非弹性碰撞，而使其作简谐振动，设两物体碰后瞬时为t = 0时
?mgkv022??(mgk)?22ghm2k(m?M)
1?2kh(m?M)g；
初位相为
??arctan
x1 x 2m M x 图6.10
?v0?x0?2kh(m?M)g．
k O 6．11 装置如图所示，轻弹簧一端固定，另一端与物体m间用细绳相连，细绳跨于桌边定滑轮M上，m悬于细绳下端．已知弹簧的倔强系
M T1 数为k =
k 50N·m-1，滑
R 轮的转动惯
T2 量J = m O 0.02kg·m2，半
图6.11 mg 径R = 0.2m，
X 物体质量为
m = 1.5kg，取g = 10m·s．
（1）试求这一系统静止时弹簧的伸长量和绳的张力；
（2）将物体m用手托起0.15m，再突然放手，任物体m下落而整个系统进入振动状态．设绳子长度一定，绳子与滑轮间不打滑，滑轮轴承无摩擦，试证物体m是做简谐振动；
（3）确定物体m的振动周期； （4）取物体m的平衡位置为原点，OX轴竖直向下，设振物体m相对于平衡位置的位移为x，写出振动方程．
[解答]（1）在平衡时，绳子的张力等于物体的重力
-2
刻，求振动方程．
[解答]物体落下后、碰撞前的速度为
v?2gh，
物体与托盘做完全非弹簧碰撞后，根据动量守恒定律可得它们的共同速度为
v0?mm?Mv?mm?M2gh，
这也是它们振动的初速度．
设振动方程为
x = Acos(ωt + υ)， 其中圆频率为
??km?M．
物体没有落下之前，托盘平衡时弹簧伸长为x1，则
36
T = G = mg = 15(N)．
这也是对弹簧的拉力，所以弹簧的伸长为
x0 = mg/k = 0.3(m)．
（2）以物体平衡位置为原点，取向下的方向为正，当物体下落x时，弹簧拉长为x0 + x，因此水平绳子的张力为
T1 = k(x0 + x)．
设竖直绳子的张力为T2，对定滑轮可列转动方程
T2R – T1R = Jβ，
其中β是角加速度，与线加速度的关系是
β = a/R．
对于物体也可列方程
mg - T2 = ma． 转动方程化为
T2 – k(x0 + x) = aJ/R2， 与物体平动方程相加并利用平衡条件得
a(m + J/R2) = –kx，
可得微分方程
dxdt22周期．
[解答]通过质心垂直环面有一个轴，环绕此轴的转动惯量为
O 2
Ic = mR． R 根据平行轴定理，环绕过Oθ C 点的平行轴的转动惯量为 I = Ic + mR2 = 2mR2．
当环偏离平衡位置时，重力的力矩为
M = mgRsinθ，
方向与角度θ增加的方向相反．
根据转动定理得
Iβ = -M，
即 Id?dt22mg ?mgRsin??， 0由于环做小幅度摆动，所以sinθ≈θ，可得
微分方程
d?dt22?km?J/R2?mgRI??0．
x?0，
摆动的圆频率为
可知：物体做简谐振动．
（3）简谐振动的圆频率为
??周期为
T?2?mgRI，
??km?J/R2= 5(rad·s-1)．
周期为
T2 = 2π/ω = 1.26(s)． （4）设物体振动方程为 x = Acos(ωt + υ)，
其中振幅为
A = 0.15(m)．
当t = 0时，x = -0.15m，v0 = 0，可得
cosυ = -1，
因此
υ = π或-π，
所以振动方程为
x = 0.15cos(5t + π)， 或 x = 0.15cos(5t - π)．
6．12 一匀质细圆环质量为m，半径为R，绕通过环上一点而与环平面垂直的水平光滑轴在铅垂面内作小幅度摆动，求摆动的
??2?ImgR?2?2Rg．
6．13 重量为P的物体用两根弹簧竖直
悬挂，如图所示，各弹簧的倔强系数标明在图上．试求在图示两种情况下，系统沿竖直方向振动的固有频率． [解答]（1）前面已经证明：当两根弹簧串联时，总倔强系k1 数为k = k1k2/(k1 + k2)，因此固有频率为 k 2 k ???2??12?km(a) (b)
图6.13
37
?12?k1k2g(k1?k2)P谐振动的x-t曲线如图所示，求：
．
（1）两个简谐振动的位相差；
（2）两个简谐振动的合成振动的振动方程．
[解答]（1）两个简谐振动的振幅为
A = 5(cm)，
2km?12?2kgP（2）前面还证明：当两根弹簧并联时，总倔强系数等于两个弹簧的倔强系数之和，因此固有频率为
???2??12?周期为
．
圆频率为
ω =2π/T = π/2，
它们的振动方程分别为
x1 = Acosωt = 5cosπt/2，
x2 = Asinωt = 5sinπt/2 = 5cos(π/2 - πt/2) 即 x2 = 5cos(πt/2 - π/2)． 位相差为
Δυ = υ2 - υ1 = -π/2．
（2）由于
x = x1 + x2 = 5cosπt/2 + 5sinπt/2
= 5(cosπt/2?cosπ/4 + 5sinπt/2?sinπ/4)/sinπ/4 合振动方程为
??x?52cos(t?)(cm)．
24T = 4(s)，
6．14 质量为0.25kg的物体，在弹性力作用下作简谐振动，倔强系数k = 25N·m，如果开始振动时具有势能0.6J，和动能0.2J，求：
（1）振幅；
（2）位移多大时，动能恰等于势能？ （3）经过平衡位置时的速度． [解答]物体的总能量为
E = Ek + Ep = 0.8(J)． （1）根据能量公式
E = kA2/2， 得振幅为
A?2E/k= 0.253(m)．
-1
6．16 已知两个同方向简谐振动如下：
x1?0.05cos(10t?x2?0.06cos(10t?3515（2）当动能等于势能时，即Ek = Ep，由于
E = Ek + Ep，
可得
E = 2Ep，
即 解得
x??2A/2= ±0.179(m)．
12kA?2?2?)， ?)．
12kx，
2（1）求它们的合成振动的振幅和初位相；
（2）另有一同方向简谐振动x3 = 0.07cos(10t +υ)，问υ为何值时，x1 + x3的振幅为最大？υ为何值时，x2 + x3的振幅为最小？
（3）用旋转矢量图示法表示（1）和（2）两种情况下的结果．x以米计，t以秒计．
[解答]（1）根据公式，合振动的振幅为
-1
（3）再根据能量公式
E = mvm2/2， 得物体经过平衡位置的速度为
2.53(m·s)． vm??2E/m= ±
6．15 两个频率和振幅都相同的简
5 x1 0
A?A1?A2?2A1A2cos(?1??2) -2
22x/cm x2 2 3 4 38
= 8.92×10(m)． 初位相为 ??arctanA1sin?1?A2sin?2A1cos?1?A2cos?2= 68.22°．
t/s 1 -5 图6.15 （2）要使x1 + x3的振幅最大，则
cos(υ – υ1) = 1，
因此
υ – υ1 = 0，
所以
υ = υ1 = 0.6π．
要使x2 + x3的振幅最小，则
cos(υ – υ2) = -1， 因此
υ – υ2 = π，
所以
υ = π + υ2 = 1.2π． （3）如图所示．
A A1 A2 υ1 υ υ2 x1 O x x2 x
A2 x3 A3 υ O υ2 x2 x
A3 A1 υ1 x3 x1 O x y?0.06cos(?3t??3)．
式中x和y以米(m)计，t以秒(s)计．
（1）求运动的轨道方程； （2）画出合成振动的轨迹；
（3）求质点在任一位置所受的力． [解答]（1）根据公式
x22A1?y22A2?2xyA1A2cos???sin??，
2其中位相差为
Δυ = υ2 – υ1 = -π/2，
所以质点运动的轨道方程为
x220.08?y220.06?1．
（2）合振动的轨迹是椭圆．
（3）两个振动的圆频率是相同的ω = π/3，质点在x方向所受的力为
Fx?max?my Fx b=0.06 F θ Fy O a=0.08 x dxdt22
??m?0.08cos(?t?2?6)，
即 Fx = 0.035cos(πt/3 + π/6)(N)． 在y方向所受的力为
Fy?may?m2dydt22
π3)，
??m?0.06cos(?t?即 Fy = 0.026cos(πt/3 - π/3)(N)．
???用矢量表示就是F?Fxi+Fyj，其大小为
6．17 质量为0.4kg的质点同时参与互相垂直的两个振动：
?x?0.08cos(3F?Fx?Fy，
22t??6)，
与x轴的夹角为
θ = arctan(Fy/Fx)．
39
6．18 将频率为384Hz的标准音叉振动和一待测频率的音叉振动合成，测得拍频为3.0Hz，在待测音叉的一端加上一小块物体，则拍频将减小，求待测音叉的固有频率． [解答]标准音叉的频率为 v0 = 384(Hz)，
ν`2 ν`1 拍频为
Δν Δν Δv = 3.0(Hz)，
ν2 ν0 ν1 ν 待测音叉的固有频率可能是
v1 = v0 - Δv = 381(Hz)，
也可能是
v2 = v0 + Δv = 387(Hz)．
在待测音叉上加一小块物体时，相当于弹簧振子增加了质量，由于ω2 = k/m，可知其频率将减小．如果待测音叉的固有频率v1，加一小块物体后，其频率v`1将更低，与标准音叉的拍频将增加；实际上拍频是减小的，所以待测音叉的固有频率v2，即387Hz．
6．19 示波器的电子束受到两个互相垂直的电场作用．电子在两个方向上的位移分别为x = Acosωt和y = Acos(ωt +υ)．求在υ = 0，υ = 30o，及υ = 90o这三种情况下，电子在荧光屏上的轨迹方程．
[解答]根据公式
x222即 x2?y2?3xy?A/4，
轨迹是倾斜的椭圆．
（3）当Δυ = υ = 90o时，可得
xA22?yA2
22y ?1，
2
2
即 x + y = A， 质点运动的轨迹为圆．
O x
6．20 三个同方向、同频率的简谐振动为
x1?0.08cos(314t?x2?0.08cos(314t?x3?0.08cos(314t??6)， )， )．
?25?6求：（1）合振动的圆频率、振幅、初相及振动表达式；
（2）合振动由初始位置运动到
x?22A所需最短时间（A为合振动振
幅）．
[解答] 合振动的圆频率为
ω = 314 = 100π(rad?s-1)．
设A0 = 0.08，根据公式得
Ax = A1cosυ1 + A2cosυ2 + A3cosυ3 = 0，
A1?y22A2?2xyA1A2cos???sin??，
2其中Δυ = υ2 – υ1 = -π/2，而υ1 = 0，υ2 = υ．
（1）当Δυ = υ = 0时，可得 xA22Ay = A1sinυ1 + A2sinυ2 + A3sinυ3
= 2A0 = 0.16(m)， 振幅为
A?Ax?Ay= 0.16(m)，
22?yA22?2xyA2?0，
y O x 初位相为
υ = arctan(Ay/Ax) = π/2．
合振动的方程为
x = 0.16cos(100πt + π/2)． （2）当x?y cos(100?t??/2)?2/2，
质点运动的轨道方程为 y = x，
轨迹是一条直线． （2）当Δυ = υ = 30o时，可得质点的轨道方程
xA222A/2时，可得
?yA22?2xyA232?14，
O x 解得
100πt + π/2 = π/4或7π/4．
40