高中数学易错点梳理
俗话说，明抢易躲，暗箭难防。数学中的隐含条件往往最容易被忽视，这些隐含条件通常被称为题中
的“陷阱”，解题过程中一不小心就会掉进去。本文列举出了高中课本中一些常见的易错点，希望同学们在今后的学习中引以为戒。
一、集合与简易逻辑
易错点1 对集合表示方法理解存在偏差
错因分析：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。
【问题】1: 已知A?{x|x?0},B?{x?0}，求A?B。 错解： A?B?A
剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。
【问题】2: 已知A?{y|y?x?2},B?{(x,y)|x2?y2?4}，求A?B。 错解： A?B?{(0,2),(?2,0)}
剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。 【问题】3:已知A?xy?x,B?yy?x,求A?B. 错解：A?B??.
剖析：没能理解代表元素的含义。 易错点2 在解含参数集合问题时忽视空集
错因分析：由于空集是任何集合的子集。因此对于集合A?B就有A??，A?B，A?B三种情况。在解题中，如果思维不够缜密，就有可能忽视了A??，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 【问题】: 已知A?{x|2a?x?a},B?{x|?2?x?1}，且A?B，求a 的取值范围。 错解：[-1，0）
剖析：忽视A??的情况
易错点3 在解含参数问题时忽视元素的互异性
错因分析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。
2【问题】: 已知1∈{a?2,(a?1), a?3a?3 }，求实数a的值。
2?2??2?2错解：a??2,?1,0
(a?1)2=a?3a?3=1；剖析：忽视元素的互异性，其实当a??2时，当a??1时， a?2=a?3a?3=1；
均不符合题意。
易错点4 命题的否定与否命题关系不明
错因分析：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”所得的命题。对此
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考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。 【问题】: 写出“若a?M或a?P，则a?M?P”的否命题。 错解一：否命题为“若a?M或a?P，则a?M?P” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。
错解二：否命题为“若a?M或a?P，则a?M?P”
剖析：知识不完整，a?M或a?P的否定形式应为a?M且a?P。 易错点5 充分必要条件颠倒出错
错因分析：对于两个条件A,B，如果A?B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，如果A?B，则A是B的充要条件。判断充要条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时，一定要根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断。
【问题】:已知a,b是实数，则“a?0且b?0”是“a?b?0且ab?0”的 A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 错解：选B
剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。 易错点6 对逻辑联结词及其真值表理解不准 错因分析：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：
“p或q”——有真则真；“p且q”——有假则假；“非p”——真假相反。
【问题】: 命题p：若a、b∈R，则a?b?1是a?b?1的充分而不必要条件；命题q：函数y=|x?1|?2的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则 A.“p或q”为假 错解一：选A或B
剖析：对真值表记忆不准，本题中p假q真，因此“p或q”为真，而“p且q”为假。 错解二：选C.
剖析：基础不牢，在判断命题p,q真假时出错。 易错点7 否定全称、特称命题出错
错因分析：全称命题p:?x?M,p(x)，它的否定?p:?x?M,?p(x)，特称命题p:?x?M,p(x)，它的否定?p:?x?M,?p(x)。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论p(x)，而且还要对量词“?和?”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 【问题】写出下列命题的否定：
2
2
B.“p且q”为真 C . p真q假 D. p假q真
① p：对任意的正整数x, x2?x ； ② q：三角形有且仅有一个外接圆；
③ r：存在一个三角形，它的内角和大于1800； ④ s：有些质数为奇数。 错解：①
p：对任意的正整数x, x2?x；
②?q：存在一个三角形有且仅有一个外接圆； ③?r：所有的三角形的内角和小于1800； 剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。
二、函数与导数
易错点8 求函数定义域时条件考虑不充分
错因分析：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的零次幂没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。 【问题】: 求函数y=错解：[-3，1]
剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为(x?1)0=1对任意实数成立。
易错点9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”
错因分析：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类型为：
①若已知f(x)的定义域为?②若已?a,b?,其复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a?g(x)?b解出即可；知f[g(x)]的定义域为?相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域（即f(x) 的定义域）。 ?a,b? ,求g(x)的定义域，【问题】已知函数f?x??log3x?2,x??1,9?,求函数y??f?x???fx2的值域。
213?2x?x2+(x?1)0的定义域。
??2错解：设t?log3x，?x??1,9?,?t??0,3?，?y?t?6t?6， ?t??0,3?，?y??6,33?。
剖析：知识欠缺，求函数y??f?x???fx2定义域时，应考虑?2???1?x?9. 21?x?9?易错点10 判断函数奇偶性时忽视定义域
错因分析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果f(?x)??f(x)，则f(x)为奇函数；如果f(?x)?f(x)，则f(x)为偶函数。同时还应注意在验证f(x)与f(?x)关系时，保持自变量在定义域内的任意性。
(x?1)(x2?1)【问题】1: 判断函数y?的奇偶性。
x(x?1)3 3
x2?1错解：原函数即y?，∴为奇函数
x剖析：资料误导，忽略定义域。要在函数的原始形式下求函数的定义域,即不能变形后求,因为变形很可能不是等价变形。
【问题】2: 判断函数f(x)?x2?1?1?x2的奇偶性。
错解：?f(?x)?f(x)，∴为偶函数
剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。
易错点11 求复合函数单调区间时忽视定义域
错因分析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。
【问题】: 求函数y?log0.5(4?3x?x2)的增区间。
错解一：∵外层函数为减函数，内层函数u?4?3x?x2减区间为[,??)，∴原函数增区间为[,??)。 剖析：基础不牢，忽视定义域问题
错解二：∵4?3x?x2?0，函数定义域为??1,4?，又内层函数u?4?3x?x2在 (?1,]为增函数，在
32323233[,??)为减函数，∴原函数增区间为(?1,]。
22剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。
易错点12 解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论
错因分析：在二次型函数y?ax2?bx?c中，当a?0时为二次函数，其图象为抛物线；当a?0,b?0时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意x项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们应关注的对象。例如：
2ax2?bx?c?0解集为R?a?0,??0或a=b=0,c>0； ax2?bx?c?0解集为??a?0,??0或a=b=0,c?0.
【问题】: 函数f(x)?(m?1)x?2(m?1)x?1的图象与x轴只有一个交点，求实数m的取值范围。 错解：由??0解得m?0或m??3
剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑m?1?0的情况。
易错点13 用函数图象解题时作图不准 错因分析：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图形“失真”，从而得出错误的答案。
【问题】1: 求函数f(x)?x的图象与直线f(x)?2的交点个数。 错解：两个 。
剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。
4
4
2x2
易错点14 忽视转化的等价性
错因分析：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。
【问题】1: 已知方程mx2?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数m的取值范围。 错解：∵方程mx2?3x?1?0有且只有一个根在区间（0，1）内，∴函数y?mx2?3x?1的图象与x轴在（0，1）内有且只有一个交点，∴f(0)f(1)?0，解得m?2 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到m?0的情况。 【问题】2:函数y?e|lnx|?|x?1|的图象大致是（ ）
剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。
②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。
易错点15 分段函数问题
错因分析：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分步讨论，同时还要关注分界点附近函数值变化情况。
??2?a?x?1x?1【问题】1:.已知f(x)??是R上的增函数，求a的取值范围。 ?xx?1??a错解：(1,2)。
剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视f(x)在分界点附近函数值大小关系。 ?x2?bx?c,x?0,x?0,【问题】2:设函数f(x)??若f(?4)?f(0),f(?2)??2，求关于x的方程
x?0.?2,f(x)?x解
的个数。 错解：两个。
剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程易错点16 函数零点定理使用不当
错因分析：函数零点定理是指如果函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有
f(x)?x分两种情况来解。
f(a)f(b)?0，那么函数f(x)在区间(a,b)内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和
方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变
号零点”无能为力。
【问题】1:.下列函数图象与x轴有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是（ ）
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