【问题】：已知圆的方程为x2?y2?ax?2y?a2?0，过A(1,2)作圆的切线有两条，求a的取值范围。 错解：∵过A(1,2)作圆的切线有两条，∴点A在圆外，∴a2?a?9?0, ∴ a?R
剖析：技能不熟，忽视圆的一般式方程的充要条件。 易错点64 求圆的切线方程时忽视斜率不存在的情况
错因分析：求圆的切线方程常用的方法有几何法和代数法两种，两种方法实质相同，但运算量有很大的区别，为此在解此类问题时方法的选取尤为重要，方法得当，则思路清晰，解法简明，否则运算量大，且容易出错。但是上述两种方法也只能求出斜率存在时的切线，若斜率不存在，则要结合图形配补。 【问题】：已知圆（x+1)2?y2?1和圆外一点P(0,2)，求过点P的圆的切线方程。 错解：设切线方程为y＝kx＋2 ∴ kx－y＋2＝0 ∴圆心到切线的距离为
|?k?2|k2?1＝1 ∴k＝
3 4∴点P的圆的切线方程为y＝
3x＋2 4剖析：知识残缺，考虑不全面导致错误。 易错点65 忽视圆锥曲线定义中的限制条件
错因分析：在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于F1F2。这种规定是为了避免出现两种特殊情况——轨迹为一条线段或无轨迹。在双曲线的定义中，不仅对常数加了限制条件，同时要求距离差加了绝对值，其实如果不加绝对值其轨迹只表示双曲线的一支，对此考生经常出错。
【问题】1：已知定点F1(?3,0),F2(3,0)，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A PF1?PF2?4 B PF1?PF2?6 C PF1?PF2?10 D PF1错解：A或B
剖析：概念模糊，由于|F1F2|=6，所以A选项无轨迹，B选项的轨迹为线段F1F2。 【问题】2：说出方程(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示的曲线。 错解：双曲线
2?PF22?12
（x,y）剖析：知识不全，(x?6)2?y2?(x?6)2?y2?8表示动点P到定点F1(6,0),F2(?6,0)的距离只差
为8，且PF1|>|PF2|，∴轨迹为以为焦点F1(6,0),F2(?6,0)的双曲线的左支。
易错点66 求椭圆标准方程时忽视“定位”分析
错因分析：确定椭圆标准方程包括“定位”与“定量”两个方面，“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点在哪个坐标轴上，以判断方程的形式，若情况不明，应对参数进行讨论，“定量”则是指确定a2、b2的值，常用待定系数法求解。
x2y210【问题】：若椭圆，求m的值是。 ??1的离心率e?5m510222
错解：a＝5，b＝m,∴c＝5-m, 又e?，∴m=3
5剖析：技能不熟，没有考虑到焦点在y轴上的情形。 易错点67 求双曲线几何元素出错
错因分析：求双曲线几何元素时，要先将方程化为标准形式，再确定a,b，然后利用c?a?b求出c，最后依据相关定义求解。
【问题】：双曲线方程为x?2y?1，则它的右焦点坐标为
22222?2??6??5?A、??2,0?? B、??2,0?? D、?2,0?? C、????????3,0
?21 21
错解一：由方程可得a2?1,b2?2，∴c2?a2?b2?3，选D
剖析：基础不牢，不了解求几何元素应先方程化成标准形式，从而得出错误结论。 错解二：由方程可得a2?1,b2?11，∴c2?a2-b2?，选A 22剖析：记忆错误，不了解双曲线中几何元素的关系，误认为c2?a2-b2，从而得出错误结论。 易错点68 求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置
错因分析：求与抛物线有关的最值问题常见题型及方法：
① 具备定义背景，可用定义转化为几何问题来处理；
② 不具备定义背景，可由条件建立目标函数，然后利用求函数最值的方法来处理。 在这两类题型中，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错。
【问题】：已知定点A(2,5)，F为抛物线y2?4x的焦点，P为抛物线上动点，求PA?PF 的最小值。 错解：∵P为抛物线上动点,∴PF=P到准线距离，∴PA?PF的最小值为2?p?3 2剖析：审题出错，误认为点A在抛物线的内部，得到|PA|+|PF|的最小值就是A到准线的距离。实际上点
22A(2,5)在抛物线的外部，∴PA?PF的最小值为AF?(2?1)?5?26. 易错点69 用“点差法”解决中点弦问题时忽视直线与曲线相交
错因分析：用“点差法”解决双曲线中点弦问题步骤为①设弦两端点P(x1,y1),Q(x2,y2)，代入曲线方程，②将两方程求差，并用中点公式求出弦所在直线的斜率k，③写出弦的方程并代入验证，其中代入验证不可少。一般来说，以椭圆内任意一点为中点的弦一定存在；以双曲线和其渐近线所夹区域内的点为中点的弦一定不存在。
y2【问题】：已知双曲线x??1，问过A（1，1）能否作直线l交双曲线于P,Q两点，且A为线段PQ中
22点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由。 错解：用“点差法”求出斜率k=2，故 l 的方程为 y=2x-1
剖析：知识残缺，用“点差法”求解时，忽视了代入验证，其实此时??0，直线与双曲线不相交。 易错点70 解决直线与圆锥曲线位置关系是易错的几个问题
错因分析：解决直线与圆锥曲线位置关系时，常规的方法是设出直线方程，然后与圆锥曲线方程联立，转化为方程的根与系数间的关系问题求解，因此应注意以下几个问题①所设直线的斜率是否存在，②消元后的方程是否为一元二次方程，③一元二次方程是否有实根。
【问题】：求过定点P（0，1）且与抛物线y?2x只有一个公共点的直线l的方程。 错解：设直线l的方程为y?kx?1，消y得kx?2(k?1)x?1?0，令△＝0，求出k?2221，∴直线l 的 21方程为y=x+1
2剖析：知识残缺，遗漏直线斜率不存在的情况及消元后的方程kx?2(k?1)x?1?0可能为一次方程的 情况。
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九、概率与统计
易错点71 互斥事件与对立事件关系模糊 错因分析：“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是指事件A与事件B在一次实验中不会同时发生，而对立事件是指事件A与事件B在一次实验中有且只有一个发生，因此，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件。 【问题】：某城市有两种报纸甲报与乙报供居民们订阅。记A=“只订甲报”，B=“至少订一种报”，C=“至多订一种报”，D=“不订甲报”，E=“一种报也不订”。判断下列事件是不是互斥事件？如果是互斥事件，再判断是不是对立事件。
①A与C；②B与E；③B与D；④B与C；⑤E与C 错解：选①或③或④或⑤
剖析：识记错误，两类事件的概念不清。
易错点72 使用概率加法公式没有注意成立条件
错因分析：概率加法公式是指当事件A、B为互斥事件时，则有P(A?B)?P(A)?P(B)，否则只能使用一般的概率加法公式P(A+B)＝P(A)+P(B) +P(A∩B)。解此类题关键是要分清已知事件是由哪些互斥事件组成的，然后代公式P(A+B)＝P(A)+P(B)求解，若已知事件不能分解为几个互斥事件的和，则只能代一般的概率加法公式。 【问题】：投掷一枚均匀的骰子，事件A=“朝上一面的点数为奇数”，B=“朝上一面的点数不超过3”，求
P(A?B)。
错解： p(A)?1111，P(B)= ，∴P(A?B)?P(A)?P(B)= +=1 2222剖析：概念模糊，未验证公式成立条件。
易错点73 运用古典概型概率公式解题时计数出错
错因分析：运用古典概型的概率公式解题时，需确定全部基本事件的个数，及所求事件A包含的基本事件数，然后代公式为p(A)?card(A)m?。为此，计数是解题的关键，求解时①要分清是“分类”还是“分
card(I)n步”，分类时要不重不漏，分步时要注意连续性；②要分清“有序”还是“无序”， 有序用排列，无序用组合；③ 要分清“放回”还是“不放回”。 【问题】：一个口袋中有大小相同的3个黑球和2个白球，从中不放回地依次摸出2个，求其中含有黑球的概率。
错解：“含有黑球”的对立事件是“全为白球”， ∴P(A)?1?119 ?2020剖析：计数出错，计算基本事件总数时考虑“顺序”，而求事件A包含的基本事件数个数时没考虑“顺序”。 易错点74 将其它问题转化为几何概型时出错
错因分析：几何概型具有两大特点：一是试验的可能的结果为无限个；二是试验的结果在一个区域内均匀分布。解题的关键是判断试验的结果在哪个区域内是均匀的。
【问题】：在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部任作一条射线CM，交线段AB于M，求“AM?AC”的概率。
错解：∵△ABC等腰直角三角形，∠C为直角， ∴AB=2AC，∴ p?AB?AC2?2? AB2剖析：知识残缺，虽然射线在∠ACB的内部的分布是等可能的， 但是点M在线段AB上的分布不是等可能的。
易错点75 使用直方图解题时错把纵坐标当成频率
错因分析：统计学的基本思想之一是用样本的频率分布估计总体的概率分布，其中最常用来表示频率分布
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图形是直方图。解与直方图有关的识图题时，一定要看清图中横坐标和纵坐标分别表示什么，单位是什么，唯有这样才能正确求解。
【问题】：某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.108 B.90 C. 75 D45
错解：产品净重小于100克的概率为0.050+0.100=0.15, 已知样本中产品净重小于100克的个数是36，设样本容量为
，所以n=240，净重大于或等于98克并且小于104克的产品的概率为
频率/组0.100+0.150+0.125+0.75=0.45,所以样本中净
0.150 重大于或等于98克并且小于104克的产品的 0.125 个数是240×0.45=108，故选A.
剖析：不会看图，直方图的纵坐标不是频率, 矩形的面积才是频率。
0.100 0.075 0.050 n易错点76 对样本数字特征认识不到位 96 98 100 102 104 克 错因分析：统计学的另一基本思想是通过科学合理地获取样本，再通过对样本数据的处理，用样本数字特
征去估计总体的相应数字特征。对此我们要有一个辩证的理解，即有时会出现偏差，而解决这一问题的方法是适度增加样本容量，当样本容量越大，它对总体接近程度越大，可信度越高。 【问题】：下列判断正确的是（ ）
A 样本平均数一定小于总体平均数 B 样本平均数一定大于总体平均数
C 样本平均数一定等于总体平均数 D 样本容量越大，样本平均数越解决总体平均数 错解： 选A或B或C
剖析：概念不清，样本平均数仅仅用来估计总体平均数，没有必然的大小关系。 易错点77 在求离散型随机变量分布列时忽视所有事件概率和为1 错因分析：设离散型随机变量X的分布列如下：（p(X= xi)= pi） X p x1 p1 x2 p2 ?? ?? xi pi ?? ?? xn pn 它具有以下两条性质：（1）pi?0,i?1,2,3,?,n，(2) p1?p2?p3???pn?1。
解答此类题常见的错误为①事件的概率不会求；②所求的事件概率不满足p1?p2?p3???pn?1。对于②我们通常先求出一些简单事件的概率，如果某事件的概率不好求，在确保其它事件的概率正确的前提下，可用性质p1?p2?p3???pn?1求解。
【问题】：某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有四次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第四次为止。如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，0.9。求在一年内李明参加驾照考试的次数X的分布列。
错解：随机变量X可取1，2，3，4
p(X?1)?0.6，
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p(X?2)?0.4?0.7?0.28， p(X?3)?0.4?0.3?0.8?0.096， p(X?4)?0.4?0.3?0.2?0.9?0.0216
∴李明参加驾照考试的次数X的分布列为
X p 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.0216 剖析：知识残缺，对事件“X=4” 不理解，“X=4”表示李明前3次均没通过，而第四次可能通过也有可能不
通
过
，
∴
p(X?4)?0.4?0.3?0.2?(0.9?0.1)?0.024或利用性质求解
p(X?4)?1-p(X?1)-p(X?2)-p(X?3)?0.024。
十、其它
易错点78 对循环结构中控制条件理解存在偏差
错因分析：循环结构中一般有两个变量——累加（乘）变量和计数变量，累加（乘）变量是为了实现算法功能，计数变量是用来记录循环次数。解此类题关键是把握好两种循环结构特点及其它们的区别，设定好两种变量的初始值，根据循环次数确定好控制变量所满足的条件，必要时通过记录循环过程加以检验。 【问题】1：设计一个程序框图求s?1?2?3???30的值。 错解：
剖析：概念不清，用图不准，第一处错误在于第二个框应是S=1而不是S=0；第二处错误在于判断框应是
i?30而不是i?30。
【问题】2：说出下面算法的程序功能，并改写为UNTIL语句。
s=1 n=2 i=1
WHILE i＜=63 s=s+n∧i i=i+1 WEND PRINT s END
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