七、立体几何
易错点47 不会将三视图还原为几何体
错因分析：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。 【问题】：若某空间几何体的三视图如图所示， 求该几何体的体积。
错解： 如图该几何体是底面为边长2正方形，高为1 的棱柱，∴该几何体的体积为V?(2)2?1?2 剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。
易错点48 对斜二测法规则掌握不牢
错因分析：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②“位置规则”——与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长度规则”——图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见的错误有①不会建新坐标系x?o?y?，②不会用“倒过去”的方法还原几何体，③“位置规则”和“长度规则”不清楚。
【问题】：已知?ABC的平面直观图△A?B?C?是边长为a的正三角形，求?ABC的面积。 剖析：①对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉； ②不会将直观图还原成实际图形； ③对一些等量关系不清楚。
易错点49 空间几何体面积、体积计算错误
错因分析：计算空间几何体体积要注意①分析清楚空间几何体的结构，弄清该几何体的各个部分的结构特点；②进行合理的转化和一些必要的等积变换；③正确选用体积计算公式。 【问题】1：一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积。 错解： 2??23
剖析：空间想象能力欠缺，计算错误。该空间 几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱的底 面半径为1，高为2，体积为2?，四棱锥的底 面边长为2，高为3，所以体积为
1?3?2??23?23 323. 3计算该几何体
所以该几何体的体积为2??【问题】2：右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，的表面积。
错解：11?
剖析：题意理解不清楚，①由三视图还原几何体不准确；是只考虑圆柱的下底面，忽略了上底面。
②计算表面积
易错点50 平面公理运用不准确
错因分析：平面公理包括公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；公
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理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。其中，公理1是确定一条直线是否在某个平面内的依据；公理2是证明点线共面的依据；公理3是确定两个平面交线的依据，是证明点共线、线共点的依据。 【问题】：三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条直线相交于一点，求证第三条也经过此点。 剖析：①应用定理时条件不全，推理不严密；
②不清楚要证明点在直线上，需先证明点在平面内； ③不会用数学的语言进行翻译。
易错点51 空间点、线、面位置关系不清
错因分析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问题全面细致。 【问题】：给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 错解：A
剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断； ②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。
易错点52 平行关系定理使用不当
错因分析：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归。如在证明线面平行时，可先把其中一一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面平行的性质定理和判定定理证明这两个平面平行，最后利用面面平行的性质说明线面平行。使用定理时要注意找足条件，书写规范，推理严谨。 【问题】：如图，已知AB、CD是夹在两平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α
剖析：①根据一个平面内两条直线平行与另一个平面， 就断定这两个平面平行，忽视了两条直线相交的条件； ②把立体几何图形误认为平面图形，直接应用平面几 何的性质和定理而造成错误。
易错点53 垂直关系定理使用不当
错因分析：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。
【问题】：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB= 4AN，M、S分别为PB、BC的中点。 ①证明：CM⊥SN；
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②求SN与平面CMN所成角的大小.
剖析：①在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时， 只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两 条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有 说明找角的过程。
易错点54 利用空间向量求线面角几种常见错误
??错因分析：若直线与平面所成的角为?，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin?=|cos|。
容易出错的是①误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。 【问题】：如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。 ①若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的大小； ②用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。
????剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量DA=（0，0，2）及
MN=(－1,1,2)后，可得cos(MN可能出现的错误有：
① 误以为直线MN与平面DCEF所成角为arccos????,DA)=
MN?DA||MN||DA|??63·
6; 36; 36)。 3② 误以为直线MN与平面DCEF所成角为π-arccos③ 计误以为直线MN与平面DCEF所成角为arcsin(?易错点55 二面角概念模糊
??错因分析：若两个平面的法向量分别为a，b，若两个平面所成的锐二面角为?，则cos??cos?a,b?；??若两个平面所成二面角为钝角，则cos???cos?a,b?。总之，在解此类题时，应先求出两个平面的法
向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。
【问题】： 如图，四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为矩形，
SD?底
?面
ABCD，AD?2，DC?SD?2，点M在侧棱SC上，
①证明：M是侧棱SC的中点；
②求二面角S?AM?B的大小。
∠ABM=60。
剖析：本题在求得平面SAM、MAB的法向量a=(2，1，1)，b=(2，0，2)后，然后计算出
??66cos?a,b?=；接着可能错误地以为二面角S?AM?B为arccos，其实本题中的二面角是钝角，3318
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??6。 ?a,b?仅为其补角，所以二面角S?AM?B的大小为??arccos3易错点56 利用空间向量证明位置关系几种常见错误
错因分析：利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书写不规范。 【问题】：如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，AB?AE,FA?FE,?AEF?45?
，①求证：；
②设线段CD、AE的中点分别为P、M， 求证： PM∥平面BCE
剖析：本题可能出错的情形有两点：
①不会转化，不会建系，运算出错，书写不规范。 ②基础不牢，如①中，在证明EF?BE?0?条件。
11??0后，直接得出EF?平面BCE，不符合线面垂直22八、解析几何
易错点57 倾斜角与斜率关系不明
错因分析：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。求直线斜率两种方法①在已知直线上找两点，再代公式k=
y2?y1(x1≠x2); ②
x2?x1确定直线的倾斜角α，再代公式k=tanα。解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为00或1800；③不了解倾斜角与斜率关系。 【问题】：下列命题正确的为_______________。 ①任何一条直线都有倾斜角，都有斜率； ②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③平行于x轴的直线，倾斜角为0或180；
④平行于y轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在； 剖析：知识残缺，概念模糊。
易错点58 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在
错因分析：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种： ① 若直线l1: y?k1x?b1，l2: y?k2x?b2，则有
0
0
l1与l2相交?k1?k2； l1∥l2? k1?k2，且b1≠b2； l1⊥l2? k1?k2??1
②若直线l1:A1x?B1y?C1，l2:A2x?B2y?C2，则有
?A1B2?A2B1?0l1与l2相交?A1B2?A2B1?0；l1∥l2??；l1⊥l2?A1A2?B1B2?0
CB?CB?0?1221两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出错的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。
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【问题】：已知直线l1: a x+2y+6=0和l2: x+（a -1）y + a2-1=0， ① 试判断l1与l2是否平行；②当l1⊥l2时，求a的值。
剖析：本题中的直线为一般式，宜用②中的等价关系求解，如果用①中的等价关系求解，一定要考虑斜率不存在的情况。
易错点59 平行线间的距离公式使用不当
错因分析：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。若直线l1: A x+By+C1=0和l2: A x+By+C2=0(C1≠C2)，则直线l1与l2的距离为d?两直线中x、y系数是否相等。
【问题】：求两条平行线l1: 3x?4y?6?0和l2: 6x?8y?4?0=0间的距离。
错解：d?C1?C2?6?(?4)?2或d?C1?C2?6?(?4)?1
A2?B232?42A2?B262?82∴直线l1与l2的距离为2或1
剖析：技能不熟，求两条平行线间的距离时，没有把x、y的系数化成相同。 易错点60 误解“截距”和“距离”的关系
错因分析：截距是指曲线与坐标轴交点的横（纵）坐标，它是一个实数，可为正数、负数、零，而距离一定是非负数，对此考生应高度重视。 【问题】：若直线ax?2y?2?0(a?0)与抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距相等，求a的值。 错解：直线ax?2y?2?0(a?0)在x轴上的截距为x??为2，∴?C1?C2A?B22。常见的错误是忽视判断
2，抛物线（y－1）2＝x －1在x轴上的截距a2?2,解得a=±1 a剖析：概念模糊，错把截距当成距离。
易错点61 忽视直线点斜式和斜截式方程适用范围
错因分析：点斜式y?y0?k(x?x0)和斜截式y?kx?b是两种常见的直线方程形式，应用非常广泛，但它们仅适用于斜率存在的直线。解题时一定要验证斜率k是否存在，若情况不明，一定要对斜率k分类讨论。 【问题】：求过点（2，1）和（a，2）的直线方程。 错解：先求出斜率k?2?111，故所求直线方程为y－1=（x－2） ?a?2a?2a?2剖析：知识残缺，未考虑k不存在的情况。 易错点62 忽视直线截距式方程适用范围 错因分析：直线的截距式方程为
xy??1( ab≠0)， a为直线在x轴上的截距，b为直线在y轴上的截ab距。其适用范围为①不经过原点，②不与坐标轴垂直。 【问题】：直线l经过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程。 错解：设直线l方程为
xy??1（a≠0），将点P代入得a=5，∴l的方程为x+y-5=0 ab22剖析：知识残缺，不了解截距式方程适用范围，漏掉直线过原点的情况。 易错点63 忽视圆的一般式方程成立条件
22错因分析：在关于x、y的二元二次方程x?y?Dx?Ey?F?0中，当D?E?4F?0，表示一个
圆；当D?E?4F?0时，表示一个点；当D?E?4F?0时，不表示任何图形。
2222x2?y2?Dx?Ey?F?0仅仅是曲线为圆的一个必要不充分条件，在判断曲线x2?y2?Dx?Ey?F?0类型时，判断D2?E2?4F的符号至关重要，这也是考生易错点之一。
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