错解：选A,B,D。
剖析：二分法的本质是函数零点定理，因此，二分法只能解决变号零点问题。
?x2+2x-3,x?0fx)=?【问题】2:求函数（的零点个数。
-2+lnx,x>0?错解：1个 。
剖析：本题解法有图象法和方程法两种。出错的原因是分段函数图象不会画或用方程法求解时不会分类讨论。
易错点17 混淆两类切线的概念
错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一条；而曲线过某一点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，此时的切线可能不止一条。因此求曲线的切线时，首先要区分是什么类型的切线。即要判断给出的点是否在曲线上。
【问题】:已知曲线C:y?3x4?2x3?9x2?4，求曲线上横坐标为1的点的切线方程，该切线与曲线C是否还有其它公共点？
错解：?y??12x3?6x2?18x，∴斜率k??12，∴所求切线为y?4??12(x?1)。
∴ 该切线与曲线C没有其它公共点
剖析：知识残缺，当曲线为二次曲线时，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。判断一条直线是否为曲线的切线，内需判断在直线与曲线的交点处导数是否为0，曲线的切线与曲线除了切点外还可能有其它交点。
易错点18 误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系
错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件。 【问题】:函数f(x)?x?ax?bx?a在x=1处有极值10，求a,b的值。 错解：由f(1)?10,f?(1)?0解得a?4,b??11或a??3,b?3
剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把f(x0)为极值的必要条件当作充要条件。 易错点19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻
错因分析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。
【问题】:若函数f(x)?ax?x在R上为减函数，求实数a的取值范围。
6
6
3322
错解：由f?(x)=3ax2?1?0在R上恒成立，∴??a?0???12a?0 ，解得a?0
剖析：概念模糊，错把f(x)在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条件。事实上a?0时满足题意。
易错点20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
错因分析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。
【问题】: 已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有可能的是______.
错解：选A,B,D
剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于f?(0)?f?(2)?0，且两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当x?0和x?2时，f?(x)?0，当0?x?2时，f?(x)?0，所以函数f(x)在(??,0)和(2,+?)上为增函数，在(0,2)上为减函数。
三、数列
易错点21 由Sn求an时忽略对“n?1”检验
(n?1)?S错因分析：在数列问题中，数列的通项an与其前n 项和Sn之间关系如下an??1，*?Sn?Sn?1(n?2,n?N)在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给出数列｛an｝的an与Sn关系时，先令n?1求出首项a1，然后令n?2求出通项an?Sn?Sn?1，最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令n?2求出通项an?Sn?Sn?1，也不对n?1进行检验。
【问题】:已知数列｛an｝的前n 项和Sn?n?n?1，求an。 错解：由an=Sn?Sn?1解得an=2n?2
剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了an=Sn?Sn?1成立的条件n≥2，实际上当n=1时就出现了S0，而S0是无意义的，所以使用an=Sn?Sn?1求an，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这个an表示，尚需检验。
易错点22 忽视两个“中项”的区别
7
7
2
错因分析：如果a,b,c成等差数列，则b为a和c的等差中项；若a,b,c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知，任意两数都有等差中项，且只有一个，“2b?a?c”是“b为a和c的等差中项”的充要条件；而只有同号的两数才有等比中项，且为一对互为相反数，“b2?ac”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题时务必要注意此点。 【问题】: b2?ac是a,b,c成等比数列的 （ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分有不必要条件 错解： C
剖析：思维不缜密，没有注意到当b2?ac 时，a,b,c可能为0。 易错点23 等比数列求和时忽视对q讨论
错因分析：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比均不为0，等比数列的其前n项和Sn为分段函数，其中当q=1时，Sn?na1。而这一点正是我们解题中被忽略的。 【问题】:在等比数列｛an｝中，Sn为其前n 项和，且S3?3a3，求它的公比q。
a1(1?q3)1错解： ?S3=?3a3，解得q=-
21?q剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是否等于1进行讨论，导致失误。 易错点24 用错了等差、等比数列的相关公式与性质
错因分析：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略），这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不正确的命题举出反例予以说明。
【问题】:已知等差数列｛an｝的前m项和为30，前2m项和为100，求它的前3m项和S3m。 错解一：170
剖析：基础不实，记错性质，误以为Sm,S2m,S3m成等差数列。 错解二：130
剖析：基础不实，误以为Sm,S2m,S3m满足S3m?Sm?S2m。
易错点25 用错位相减法求和时项数处理不当
错因分析：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为Sn，在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-1项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n项，有时只有n?1项。另外，如果公比为字母需分类讨论。 【问题】:求和Sn?1?3a?5a???(2n?1)a2n?1。
剖析：①考虑不全面，未对a进行讨论，丢掉a?1时的情形。 ②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。 ③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。 易错点26 数列中的最值错误
8
8
错因分析：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。
【问题】:在等差数列｛an｝中，a1?25，S9?S16，求此数列的前几项和最大。 剖析：①解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5，误认为n=12.5。 ②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出a13=0时，误认为只有S13最大。
四、三角函数
易错点27 用平方关系求解时忽略角的范围
错因分析：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号”。
53【问题】: 在?ABC中，sinA=,cosB=，求cosA，sinB的值。
513错解：cosA=±
412，sinB=± 513剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。
易错点28 由值求角时忽视讨论角的范围
错因分析：三角函数求值题分由角求值、由值求值和由值求角三类，其中最容易出错的是第三类。由值求角步骤为①合理求出该角的一个三角函数值，②分析该角的范围，③确定角的大小。解题时务必深入挖掘题中隐含的条件，缩小角的范围，合理进行取舍。 【问题】:已知A、B为锐角，tanA=错解：∵tan(A?2B)?31, tan2B=，求A?2B的值。 74tanA?tan2B?5?。 ?1，又由于A、B为锐角，∴A?2B=或441?tanAtan2B1, 7剖析：知识残缺，只注意到A、B为锐角，没有兼顾到A、B的三角函数值的大小。实际上，由于tanA=
tan2B=
3，∴A和2B都为锐角，∴0?A?2B??，而在这个范围内，A?2B的值只有一个了。 4易错点29 三角公式选用不当
错因分析：三角函数公式多，综合性强，解题有一定的技巧，同学们解题时，经常因为审题不细、分类不清、方法不当、忽略隐含条件、公式用错等原因而致错。 【问题】: 在?ABC中，A、B为锐角，且sinA?510,sinB?，求A?B的值。 510错解： 先求出sin(A?B)=
2?3?（0，?），∵A?B?，∴A?B=或
244（0，?）（0，?）剖析：知识残缺，由于A、B为锐角，所以A?B?。又由于正弦函数在上不是单调函数，
所以本题不宜求sin(A?B)，宜改求cos(A?B)或tan(A?B)。
易错点30 求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值域
错因分析：求关于sinx,cosx最值的常规方法是通过令t?sinx（或cosx）将三角函数的最值问题转化
9
9
为关于t的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t只能在某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。
1，求siny?cos2x的最大值。 32错解：令t?sinx，得siny?cos2x?t2?t?(?1?t?1)，通过配方、作图解得siny?cos2x的最大
34值为。
3【问题】:已知sinx?siny?剖析：本题虽注意到sinx的值域，但未考虑到sinx与siny相互制约，即由于-1≤siny≤1，
??1?sinx?1?∴sinx必须同时满足?。 1?1??sinx?1?3?易错点31 三角函数单调性判断错误
错因分析：对于函数y?Asin(?x??)来说，当??0时，由于内层函数u??x??是单调递增的，所以函数y?Asin(?x??)的单调性与函数y?sinx的单调性相同，故可完全按照函数y?sinx的单调性来解决；但当??0时，内层函数u??x??是单调递减的，所以函数y?Asin(?x??)的单调性与函数
y?sinx的单调性正好相反，就不能按照函数y?sinx的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 【问题】:已知函数y=cos(错解： 2k?≤
?-2x)，求它的单调减区间。 4?-2x≤2k??? 4剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。 易错点32 图象变换的方向把握不准
错因分析：函数y?Asin(?x??)（A?0,??0）的图象，可由下面的方法得到①将正弦曲线上所有点向左或向右平行移动|?|个单位（正左负右）；②再把所得曲线上各点横坐标变为原来的
1?倍；③最后把
所得曲线上各点纵坐标变为原来的A 倍。即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换。 【问题】: 要得到函数y?sinx的图象，只需将函数y?cos?x?A向右平移
?????的图象（ ） ??????个单位 B向右平移个单位 C向左平移个单位 D向左平移个单位 ????错解一：C
剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。 错解二：D
剖析：基础不牢，弄错了平移方向。 易错点33 由图象求函数解析式忽略细节
错因分析：由三角函数图象求y?Asin(?x??)（A?0,??0）的解析式主要分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅A；②由函数的周期求?；③由曲线上的一个特殊点的坐标求初相?或用图象变换求
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