《数学建模》期末作业题 20014-6-12
9疏散问题
甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做以外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，所值每年万元数如下表： 部门 A B C D E 迁市 乙 5 10 15 10 20 丙 10 20 15 15 15 然而，疏散之后个部门间的通讯费用将增加。部门间每年通讯量如表：
部门 B C D E A 0 1000 1500 0 B 1400 1200 0 C 0 2000 D 700
不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元） 市 甲 乙 丙 甲 100 130 90 乙 50 140 丙 50 试求各个部门应置于何市，使年费用最少？ 10、农场计划
英国某农场主有81英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。每头幼牛需用0.27英亩土地供养，每头奶牛需用0.4英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。
一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养130头牛，超过此数
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每多养一头，每年要多花费200英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有32.4英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组8.1英亩，亩产2.7吨；第二组12.1英亩，亩产2.2吨；第三组8.1英亩，亩产2吨；第四组4.1英亩，亩产1.6吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。
养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须10小时；种一英亩甜菜每年须35小时。
其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年37.1英镑；种甜菜每亩每年24.7英镑；劳动费用现在每年为4000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.20英镑。
任何投资支出都从10年期贷款得到。贷款年利率15%，每年偿还本息总和的1/10，十年还清。每年货币的收支之差不能为负植。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。
应如何安排5年的生产，使收益最大？
11、销售问题
一家大公司有二个分部D1和D2。该公司的业务是向零售商供应石油产品和酒精。
现在要将零售商划分给二个分部，由分部向属于它的零售商供货。这种划分要尽可能地使分部D1占有40%的市场，D2占有60%。零售商共23家，记作M1到M23。其中M1至M8在1区，M9至M18在2区，M19至M23在3区。有好的发展前途的零售商作为A类，其余为B类。各零售商目前估计占有的销售额，及所据有的货点数给出在表1（见附表）中。要求对分部D1和D2的这一划分。在下述七个方面，都接近于40/60比例，具体说，在每个方面，D1所占份额在35%至45%之间，当然D2所占份额在65%至55%之间。这七个方面是： （1） 货点总数；
（2） 酒精市场占有份额；
（3） 区1的油品市场占有份额； （4） 区2的油品市场占有份额； （5） 区3的油品市场占有份额； （6） A类零售商数； （7） B类零售商数。
第一步目标是根据七个方面都接近于40/60比例的要求找一个可行解，也就是说看这种划分法是否存在，如果存在，找出一种分法。
进一步，如果存在多种划分法的话，按下列两种目标分别求最优解： 目标（i）划分的七个方面的百分数对40/60的偏差总和最小； 目标（ii）最大偏差为最小。 附表： 油品市场区 零售商 M1 M2 （106加仑） 9 13 货点 11 47 酒精市场(106加仑） 34 411 分类 A A 7
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2 3 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 M21 M22 M23 14 17 18 19 23 21 9 11 17 18 18 17 22 24 36 43 6 15 15 25 39 47 25 10 26 26 54 18 51 20 105 7 16 34 100 50 21 11 19 14 10 21 82 157 5 183 14 215 102 21 54 0 6 96 118 112 535 8 53 28 69 65 27 A B A A B B B A B B B B A B B B B A B B B 12、农产品定价
某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组份，去掉供生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。 各种产品的百分数组成分见下表： 成分 脂肪 奶粉 水 产品 奶粉 4 9 87 奶油 80 2 18 奶酪1 35 30 35 奶酪2 25 40 35
往年的国内消费和价格如下表： 产品 奶粉 奶油 奶酪1 奶酪2 消费量（千吨） 4820 320 210 70 价格（元/吨） 297 720 1050 815 价格的变化会影响消费要求。为表现这方面的规律性，定义需求的价格伸缩性E： E?需求降低百分数
价格提高百分数各种产品的E值，可以根据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计
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方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性概念。从产品A到B的交叉伸缩性E12定义作 E12?A需求提高百分数
B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的E21值，同样可以凭数据用统计方法求出。
已经求出牛奶、奶油、奶酪1和奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4，以及E12=0.1，E21=0.4。
试求4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。 然而，政策不允许某种价格指标上升。这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。
13、采矿问题
某地区有4个矿区，产同一种矿石。某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中的开采权。但在每年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。对于闲置的矿，如果这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。各矿每年土地使用额见表1第2行。各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。不同矿所产矿砂质量不同。矿砂质量同一质量指数表示，见表1第4行。将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。每年公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。不同年度的约定质量指数如表2所示。各年度成品矿砂售价每吨10元。年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨价因素，以逐年9折计入5年总收入和费用中。 表1 矿 1 2 3 4 土地使用费（万元） 500 400 400 500 产量上限（万吨） 200 250 130 300 质量指数 1.0 0.7 1.5 0.5 表2 年度 1 2 3 4 5 质量指标 0.9 0.8 1.2 0.6 1.0 试问各年度应开采哪几个矿？产量应各为多少？
14、电价问题
几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中
0点至6点 15000（MW，兆瓦） 6点至9点 30000（MW，兆瓦） 9点至15点 25000（MW，兆瓦） 15点至18点 40000（MW，兆瓦）
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18点至24点 27000（MW，兆瓦）
有三种类型的发电机可投入运输。1型12台，2型10台，3型5台， 表一给出了有关的数据。 最低水平每最高水平以上每开动费类型 最低水平 最高水平 小时费用 兆瓦每小时费用 用 1 850 MW 2000 MW 1000 2 2000 2 1250 MW 1750 MW 2600 1.30 1000 3 1500 MW 4000 MW 2000 3 500 表中第2，3列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机运转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高于最低水平运转时，每超出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。
在满足估计的负载要求之外，在每开动一发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通调高运转着的发电机的输出（在最高水平界定的范围内）满足增载的要求。
试求在一天中的各段时间应使那些发电机运转，使总费用最低？
在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少？也就是说应当为电定什么价？
将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险性的费用如何？
15、人力计划问题
某公司正经历一系列的变化，这要影响到它在未来几年的人力需求。由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和不熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类岗位人力的需求。据估计，当前及以后三年需要的人员数如表1：
表1人数需求（单位：人） 分类 现有人数 第一年需求 第二年需求 第三年需求 不熟练 2000 1000 500 0 半熟练 1500 1400 2000 2500 熟练 1000 1000 1500 2000 为了满足以上人力需要，该公司考虑为未来三年确定1、招工；2、再培训；3、解雇和超员雇佣。；4、设半日工的计划方案。
因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题，在招工中，受雇后不满一年就自动离职的人数特别多；工作一年以上再离职的人数就很少了。考虑到这一点，设自然减员率如表2：
表2 离职的人数比例 分类 不熟练 半熟练 熟练 工作不到一年 25% 20% 10% 工作一年以上 10% 5% 5% 10