《数学建模》期末作业题 20014-6-12
年度（t+2）增单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.0 0.7 0.9 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.4 0.2 0.1 假设存货可以无费用的从一年转入下一年。现在(第0年)存货量和年生产能力见表3，人力的年供应量限制不超过4.7亿元。
表3
存货 生产能力 煤炭 1.5 3.0 钢铁 0.8 3.5 运输 1.0 2.8 试研究该经济系统未来五年的不同增长模式。具体说,按下述的不同目标，分别求各产业各年度的产出应为何？目标：
(1) 第5年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭，0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外)。
(2) 第4年和第5年总产出(不是生产能力)为最大，但忽略每年的外部消费。 (3) 在满足(1)的外部消费要求的同时，使人力需求最大（即就业机会最多）。忽略人力供应量的限制。
22、停车场收费问题
伊顿公学（Eton College）是英国的一所著名的公学，位于英格兰温莎，泰晤士河的河边。 伊顿公学学生的成绩都十分优异，也是英国王室、政界经济界精英的培训之地，被公认是英国最好的学校。目前学校有住校生4000人，走读生8000人，教师1600人，职工2400人。拥有个人汽车的人数分别占其中的77%，91%，89%和97%，则拥有汽车数分别为3080，7280，1424和2328，共计14112辆，但学校现有停车位仅9988个，供不应求。为了限制停车数量和维持正常的经费开支，实行停车许可证和年度收费政策。在这9988个停车位中，包括最近新建的两个停车平台(即学生中心停车平台)的1500个停车位，平均每个停车位的建设费用高达4000英镑。为了逐步付清这项工程的贷款，该停车平台单独设了较高的收费，除了原有的每年每车位100英镑的费用，另加收使用费每天1．50英镑。但这项收费引起了各方面，特别是学生的极大不满。有些学生宁愿把车停在1英里以外，然后步行，或者乘校车，也不愿付这1．50英镑，造成现将车停在校园内人数仅为9590人，全校停车位不足，而学生中心停车平台却远远没有停满，致使学校的停车和交通经费预算短缺100，000英镑以上，而且导致校外乱停车，使校园北部居民抱怨很大。请根附件信息，在考虑各方面因素的基础上，①从新制定学校停车规划，有利于学校的长期发展；②在现在的收费情况下，按你的规划计算停车场的盈利。
（附件1）：现有车位类型及收费情况 停车类型 数量(个) 收费（每个车位全年100英镑） 零散无限制车位 6600 只要有停车许可证（学生5500，教职工1100） 短期按天收费车位 1328 若有停车许可证，每天加收1．5英镑，否则每天加收3英镑 6
《数学建模》期末作业题 20014-6-12
钥匙卡车位 800 每年加收50英镑 预定车位 600 每年加收100英镑 受限制车位 500 家庭住宅，体育协会等 临时来访车位 100 免费使用 残疾人车位 60 免费使用 合计 9988 （附件2）学校全年停车与运输资金来源包括：年度停车注册许可费115．5万英镑，钥匙卡车场收费3．5万英镑(每车每年额外收费50英镑)：特留车位6．0万英镑(每车每年额外收费100英镑)：违章收费25万英镑；学生中心停车平台收费16万英镑：一些零散收费6万英镑，以及校车收费35万英镑。
（附件3）学校全年停车与运输总花费包括：94，6英镑停车场费用；72，5万英镑停车运作费用：35万英镑校车运输费用。
23、工件的安装与排序问题
某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题1．按重量排序算法；
问题2．按重量和体积排序算法；
问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。
请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计算：
序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5
7
《数学建模》期末作业题 20014-6-12
16 17 18 19 20 21 22 23 24 348 347.5 348 333 330 332.5 331.5 331.5 332 104.5 104 104.5 97 97 99 98 96.5 94.5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 356.5 356 352.5 342.5 344 339.5 341.5 341 345 103.5 103.5 104 98 96.5 98 96 96 97
24、农场计划
英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。 其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。
贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？
25、制定月建造计划
某市某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2005年上半年的销售情况如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6
8
《数学建模》期末作业题 20014-6-12
销售量（套） 42 32 41 67 25 29 该公司的楼盘2004年12月的销售均价为4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售价保持不变。2004年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40％），按照2004年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平房成正比，比例系数是0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10％，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用。与当月的销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40×12）＝0.1万元。
2004年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2004年12月的价格为基准）见下表： 月份 1 2 3 4 5 6 增长速度 10％ 10％ 20％ 20％ 30％ 30％ 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2005年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。
（1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前全部完成交房，如何制定月建造计划？
（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？
26、人力资源安排问题
“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。
表1 公司的人员结构及工资情况 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 人 数 9 17 10 5 日工资（元） 250 200 170 110 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。
表2 不同项目和各种人员的收费标准 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 收费 A 1000 800 600 500 （元/天） B 1500 800 700 600
9
《数学建模》期末作业题 20014-6-12
C 1300 900 700 400 D 1000 800 700 500 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：
表3：各项目对专业技术人员结构的要求 A B C D 高级工程师 1～3 2～5 2 1～2 工程师 ≥2 ≥2 ≥2 2～8 助理工程师 ≥2 ≥2 ≥2 ≥1 技术员 ≥1 ≥3 ≥1 -- 总计 ≤10 ≤16 ≤11 ≤18 说明： 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；
项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；
高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；
各项目客户对总人数都有限制；
由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。
27、零件装配优化 在航空工业中，特别在飞机工业制造过程中，各零部件合理装配非常有助于提高整机的性能。
现有19个零件均匀装配在一个圆盘周围，每个零件具有频率和质量，装配时要求满足以下条件：
1.相邻零件应具有频率差，且为一大一小分布；
2.相邻零件频率差应不小于6Hz，允许在不相邻的三处，相邻零件频率差不小于4Hz；
3.整个圆盘上的配重值不大于10g , 配重值计算公式为：则： a.设计满足上述要求的优化算法，并用表2中三组数据验证； b.如果数据可做局部调整（可换一个零件），分析对装配效果的影响。 表2 数据 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 1 111 70 1 96 39 1 96 32 2 108 65 2 100 32 2 113 90 3 112 86 3 108 62 3 106 59 4 100 32 4 98 10 4 96 27
10