（1）三边对应相等的两个三角形全等，简称：“SSS”； （2）两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，简称：“SAS”； （3）两角和其夹边对应相等的两个三角形全等，简称：“ASA”； （4）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简称：“AAS”； （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简称：“HL”；
（6）三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；
3、 成比例线段；(1)比例的基本性质： 如果a:b=c:d,那么ad=bc；如果ad=bc,那么a:b=c:d; (2)若a:b=b:d,那么b2?ad；b叫a、d的比例中项； (2)合比性质： 如果
(3)等比性质
如果
aca?bc?d?,那么?; bdbdacma?c???ma???? ?k (b?d???n?0) , 那么??k; bdnb?d???nb4、 平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例;
5、 推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例; 6、 定理： 如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直
线平行于三角形的第三边;
7、 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对
应成比例;
8、 定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三
角形相似；
9、 相似三角形判定定理1： 两角对应相等，两三角形相似（ASA）； 10、 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 11、 判定定理2 ：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）； 12、 判定定理3： 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）；
13、 定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边
对应成比例，那么这两个直角三角形相似；
14、 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比； 15、 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比；
16、 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方；
17、 在圆中，两条弦相交，每条弦被交点分得的线段之积等于另一条弦被交点分得的线段之积； 18、 一条弦被直径垂直，弦的一半是弦分直径所得两条线段的比例中项；
19、 从圆外一点向圆作切线，切线长是此点向圆作的割线（圆外部分和割线）的比例中项；
A ADDC
PD PBOACOO2 B1PABC BC2PC=PA?PB2 PA?PB=PD?PCPD=PA?PB图18 图17 三例解： 1. 已知
图19 a2a?b?，则的值为（ ） b3b3453(A) (B) (C) (D)
23352. 已知，线段a= 2 cm，c?(2?3)cm，则线段a、c的比例中项b是 .
3. 如图，ΔABC与ΔADB中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm，AB=4cm，如果图中的两个直角三角 形相似，求AD的长. AABAC??AB2?AD?AC ADAB16D∵AB=4 cm，AC=5 cm，∴AD?cm 5CB04. 如图，在等腰直角?ABC中，?ACB?90，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、
CBC上，且?DOE?900，DE交OC于点P.则下列结论：
（1）图形中全等的三角形只有两对； E（2）?ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍； PD分析：由?ABC??ADB?（3）CD?CE?2OA；
A（4）AD2?BE2?2OP?OC.其中正确的结论有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析：由△ADO≌△CEO有CE=AD，则CD=BE，又△CDO≌△BEO，△ACO≌△BCO，（1）错； S?ABC?2S?AOCO第12题图 B?2(S?AD?ADO??S)2(S?D?OC?CSE?O)?D2SOCCDO，四边形E（2）对；
?CD? CD?CEA?C2O，（3A）对；
，∴
OECAD2?BE2?CE2?CD2?DE2?2OE2，∵?OPE??OPOE??OE2?OP?OCOEOC，
∴AD2?BE2?2OP?OC，（4）对；
5. 如图．已知在△ABC中，∠A、∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC 于Q，OR⊥AB于R，AB=7，BC=8，AC=9． （1）求BP、CQ、AR的长．
（2）若BO的延长线交AC于E，CO的延长线交AB于F，若∠A=60゜，求证：OE=OF． 解：[(1)提示：连接OA,OB,OC,证AR=AQ，BR=BP，CQ=PC，设AR=x,BR=7-x,CQ=9-x
BC=BP+PC=BR+CQ=8,7-x+9-x=8;
点评：若AB?c,BC?a,AC?b，设AQ?AR?x，则有：
BR?BP?c?x , CQ?CP?b?x，而BC?BP?CP?a
A1∴a?c?x?b?x，AQ?AR?(b?c?a)
2RQ1O同理：BR?BP?(a?c?b)
21 CQ?CP?(a?b?c)
2B图1PC(2)证△FOR≌△EOQ，由（1）可知，OR=OQ，∠FRO=∠EQO=900,只需证∠FOR=∠EOQ 在四边形AROQ中，∠A+∠ARO+∠ROQ+∠OQA=3600 , ∵∠A=600,∠ARO=∠AQO=900 ∴∠ROQ=1200, ∴∠FOR+∠QOC=600 (1) * 又BE，CF分别是∠ABC,∠ACB的角平分线，∠OBC=在△OBC中，?EOC是?OBC的外角
11∠ABC, ∠OCB=∠ACB 22∠EOC=
0
11（∠ABC+∠ACB）=（1800-∠BAC)=600 220
ARFOB图2EQC∴∠EOC=60,即∠EOQ+∠QOC=60 (2) * 由*（1）（2）得：∠FOR=∠EOQ，
则△FOR≌△EOQ得证，从而有OE=OF
点评：利用非900的同角的“余角”相等，是近年来证角相等的趋势；
6. 如图，在?ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O． （1）求证：△ABN≌△CDM；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM， ∵M、N分别是AD，BC的中点， ∴BN=DM，
?AB?CD?∵在△ABN和△CDM中，??B??CDM
?BN?DM?∴△ABN≌△CDM（SAS）；
（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，
∴MN=MD=
1AD，∴∠1=∠MND， 2∵AD∥BC，∴∠1=∠CND，
∵∠1=∠2，∴∠MND=∠CND=∠2，∴PN=PC， ∵CE⊥MN，∴∠CEN=90°， ∴∠2=∠PNE=30°，
∵PE=1，∴PN=2PE=2， ∴CE=PC+PE=3， ∴CN=
CE?23
cos300，∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，∴△CNM是等边三角形， ∵△ABN≌△CDM，∴AN=CM=23．
7. 如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E．
8. （1）求证：△ABD∽△CED．
9. （2）若AB＝6，AD＝2CD，求BE的长．
A分析：∵△ABC是等边三角形，?ABC?600，?ACF?1200， ∵CE是外角平分线，∴?ECF?600， E0D ∴?ABC??ECF?60，CE//AB
FCECD11BCM∴?ADB??CED????CE?AB?3，
AD22过E作EM⊥CF于F，∵?ECF?600，∴?CEF?300，
33315∴CM=，EM?3，则BE?BC?CM?6??，
2222ABBE?EM2?BM2?(点评：相似与三角函数综合.
3153)2?()2?63?37； 2210. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，⊿BCE沿BE折叠为⊿BFE,点F落在AD上。
（1） 求证：⊿ABF∽⊿DFE （2） 若sin∠DFE=
AFDE1,求tan∠EBC的值. 3B分析：由折叠可知：FE?CE，?BFE?900，∴?AFB??DFE?900， 又?ABF??AFB?90
∴?ABF??DFE，且?BAF??FDE
∴⊿ABF∽⊿DFE 在Rt?FDE中，sin∠DFE=
0C1DE1，∴ ?，CE?3DE，设DE?b，则EF?CE?3b，3EF3 ∴FD?FE2?DE2?22b
∵⊿ABF∽⊿DFE，∴∠DFE=∠ABF， sin∠ABF=
1AF1，∴?，BF?3AE，设AF?a，则BF?BC?3a， 3BF3∴AB?BF2?AF2?22a，由CD?DE?EF?b?3b?4b，且CD?AB得：
4b?22a，∴b?2a
AaF22aB3a3bCE在Rt?FDE中，tan?EBC?，
BC而CE?3b?32a，BC?3a ∴tan?EBC?DbE3b3aC32a?2 3a点评：相似与三角函数综合.
11. 如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O, ⊙O与BC边的交点恰好为，过点D 作⊙O的切线交AC于点E. A(1)AB=AC
(2) 求证：DE⊥AC； O(3) 若AB=3DE,求tan∠ACB的值； E BCD (1)证明：连接AD，∵AB为直径，∴AD⊥BC，
∵BC边的中点为D，∴AD是BC的垂直平分线， ∴AB=AC；
(2) ∵D为BC边的中点，O为AB边的中点，连接OD， ∴OD是△ABC的中位线，∴OD//AC，
∵过点D作⊙O的切线交AC于点E.
∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；
(3)∵AB=AC，AB=3DE，∴AC=3DE，
在Rt?ADC中，?DAC??ACD?900，
在Rt?DEC中，?EDC??ACD?900， ∴?EDC??DAC，又?ADC??DEC?900 ∴?DEC??AED?AOEBDCDECE??CE?AE?DE2 AEDE ∵AC=3DE，∴CE?AE?3DE，设CE,AE分别为方程：t2?3DE?t?DE2?0的两根，
3?53?5DE，t2?DE，由图知： 223?53?5DE，AE?DE CE?22???5DE2?0，∴t1?∴在Rt?DEC中，tan?ACB?DEDE23?5???； CE3?523?5DE212. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于点O，将对角线AC所在 <α<90°的直线绕点O顺时针旋转角α（0°）后得直线l，直线l与AD、BC两边分别相交于点E和点 F。
（1）求证：△AOE≌△COF； （2）当α=30°时，求线段EF的长度。
AOBFElDC解：（1）略；
（2）四边形ABCD是菱形，有AB=BC=CD=AD，AC垂直平分BD
∵∠ABC=60°，∴△ABC和△ADC是等边三角形， ∴∠BAC和∠CAD都为60°
又∠AOE=30，则EF⊥AD， 在Rt?ABO中，
0AlE30°DAOAO，∴cos600?cos?BAO??AO?1， AB2BOAO，∴sin600?sin?BAO??BO?3， AB21S菱形ABCD?4S?ABO?4?AO?BO?EF?AD，
22AO?BO2?1?3EF???3；
AD2OBFC8. 如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0,0），点A(6 , 0)与点B(0,?2)，点D在劣弧 OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO。
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；