引理6：如图10，MA和MB是圆⊙O的切线，M点是AB弦线的极点，P是直线AB上的一点，则PM2?MA2?PB?PA。
图 10
联接MO交AB于点K，则有： PM?MK?PK ∵ AK?BK
∴ PA?PB??PK?AK??PK?BK? ?PK?AK 即 PK则 PM222222?AK2?PA?PB ?MK2?AK2?PA?PB
22 ?MA?PA?PB
引理7：如图11，圆⊙O的外切四边形ABCD，外切点为E、F、G、H四点，EH、FG相交于P点，则OP⊥AC，即AC是P点的极线。
图 11
证明一：AE、AH是A点关于圆⊙O的切线，EH是A点的极线，
所以P、A两点共轭，同理P、C两点共轭， 故AC是P点的极线，所以OP⊥AC。
证明二：要证明OP⊥AC，依据等差幂线定理，只需证明PA?PC?OA?OC 由引理6得： PA?AE?PH?PE
PC?FC?PG?PF
22222222 6
∵ PH?PE?PG?PF
PA2?PC2?AE2?FC2
∵ AE?OA?r ， FC?OC?r ∴ PA?PC?OA?OC
∴ OP⊥AC，即AC是P点关于圆⊙O的极线。 引理8 (麦克马林定理)：如图12， 假设K、L、M、N四点是圆⊙O的外切四边形FGEH的4个切点，圆⊙O的内接四边形KLMN的对角线KM、LN相交于Q点，则F、Q、E、B四点共线，A、G、Q、H四点共线。
2222222222
图 12
证明：由牛顿定理3可知，LN、KM、FE三线共点于Q，则F、Q、E三点共线。 依据引理6、7可知，FQE是A点关于圆⊙O的极线。
依据引理2和定义3可知，QB也是A点关于圆⊙O的极线。 因此，F、Q、E、B四点共线，麦克马林定理成立。 同理可知，A、G、Q、H四点也共线。
新定理证明：依据前面的引理的推导分析，可以构造出图13，新定理证明如下：
图 13
7
如图13，椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交于Q点，KN、LM对边延伸线交于A点，KL、NM对边延伸线交于B点，C点为对角线KM的极点，D点为对角线LN的极点。K、L、M、N四点为椭圆外切四边形EHFG的四个切点，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。
由帕斯卡定理，依据引理3，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。
由牛顿定理，依据引理5可知，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。
由麦克马林定理，依据引理6、7、8可知，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线。又依据引理2和定义3可知，QB也为A点关于椭圆的极线。因此，F、Q、E、B四点共线。
同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。
图14中，极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。
推理分析图14可知，ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点， 由赛瓦定理得：
CBDHFG???1 BDHFGC∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：
DHFGCA???1 HFGCADCBCA?由上面两个式子得: BDADACAD?整理得：： CBDB112??或 ACADAB
∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理1证明成立。
由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ调和分割GH，
当LN通过椭圆圆心，极点D在无穷远处，依据调和点列性质可知，此时AC?CB，新定理2也成立。
三、新定理的运用
例1（过椭圆上一点作切线）：已知椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、A是椭圆Y的象限点，作JA、BK延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。
证明：依据新定理2，可快速进行证明。
图 14
8
例2（椭圆内割线找极点）：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。
图 15
证明一：椭圆内接四边形AKBJ的其中一条对角线JK通过椭圆圆心，N点为EF的中点，依据新定理2，N点就是AB的极点，NA、NB与椭圆相切。AB与JK交于Q，ΔEQF为自配极三角形，因为极点Q在水平向x轴上，Q点的极线EF必定与水平轴垂直。
证明二：也可采用坐标线性变换，椭圆切线问题化圆处理，简化证明方法。
图 16
如图16，在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线。
∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。 ∵N点为EF的中点，∴N点为圆心，
∴EN?NF?NA?NB
易知 ∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，
∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°， ∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。
同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点，N点就是AB的极点。
综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性。那么将图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，即证明新定理2 成立。
分析可知，OQ⊥EF， A、K、E、M四点共圆，K、B、F、M四点也共圆，所以M点是完全四边形ABJKEF的密克尔点。
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例3：（极点极线与密克尔点）：M点是完全四边形ABCDEF的密克尔点，ABCD四点共圆，对角线AC、BD交于Q，圆⊙O内接四边形ABCD的AB、DC对边延伸交于E，BC、AD对边延伸交于E，连线EF是Q极点关于圆⊙O的极线，则M点必定在极线EF上，且O、Q、M三点共线，OM⊥EF。
图 17
上例2中，图16是本例的一种特殊情况，当对角线通过圆心时，证明本结论非常简单。 如图17，极点Q与EF极线是对应关系，即极点Q决定了EF极线位置，与对角线方向位置变化无关。由极点与极线性质可知，OQ⊥EF。
假如作ΔBCE的外接圆与EF极线交于M点， ∵A、B、C、D四点共圆， ∠ADC=∠CBE ∵B、C、E、M四点共圆， ∠CBE=∠CMF ∴ ∠ADC＝∠CMF，∴ ∠CMF＋∠CDF=180°
∴ D、C、M、F四点也共圆，所以EF极线上的M点是完全四边形ABCDEF密克尔点。
要证明OM⊥EF，可采用等差幂线定理，
只需证明：OE?OF?EM?MF
依据圆的幂定义，OE?EC?ED?r ，OF?BC?CF?r OE?OF?EC?ED?BC?CF ?EM?EF?MF?EF ??EM?MF??EF
2222222222??EM?MF???EM?MF?
?EM2?MF2
∴ OM⊥EF，因为OQ⊥EF，所以O、Q、M三点共线，密克尔点M在极线EF上。
参考文献：
[1]李建华.射影几何入门[M]，科学出版社，2011.6
[2]张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法[J]，数学通讯，2010.6 [3]徐峰.圆内接四边形的两个性质[J]，中学数学月刊，2011.7 [4]刘铮.椭圆与圆的变换关系应用[J]，数学通讯，2001.24 [5]沈文选.线段调和分割的性质及应用[J]，中学教研，2009.9
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