图 11
如图11，在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线。
∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、E、F四点共圆，且以EF为直径。 ∵N点为EF的中点，∴N点为圆心，
∴EN?NF?NA?NB
易知 ∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，
∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°， ∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。
同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点，N点就是AB的极点。
综上所述，证明了已知圆上一条割线找极点方法的正确性，在此基础上，采用坐标变换方法，圆就变化成为了椭圆，那么方法仍然成立，方法4命题成立。
方法5：已知椭圆Y的一斜向割线AB，作一条过椭圆圆心O点的任意割线JK，与椭圆Y相交于J、K两点。JA、BK交于E点，作AK、JB交于F点。确定EF的中点 N点，连线NA、NB就是椭圆的切线。
图 12
证明：在方法4中，已经证明，圆内接四边形的其中一条对角线通过圆心，则另一条割线的极点必定位于圆内接四边形的二组对边延伸线交点连线的中点。那么将圆图形旋转一个角度，由于圆的对称性，三交点共线且平分现象仍然成立。在此基础上，采用坐标变换方法，圆的切线问题转化为椭圆切线问题，那么作切线方法仍然成立，方法5命题成立。
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二、过椭圆外一点作切线
方法1：虚拟椭圆法
已知椭圆Y1和椭圆外一点A，以椭圆Y1的长轴a为半径作圆G1，过A点做竖向垂线L1，与水平轴相交于C点，在竖向垂线L1截取一点B，使得BC:AC?a/b，过B点，作小圆G1的切线T1，相交于圆G1于切点D，相交于水平轴于N点，连接N点与A点连线，NA即所求小椭圆Y1的切线T2。
图 13
证明：分析可知，圆G1和G2是同心圆，椭圆Y1和Y2是离心率相同的同心椭圆，A点在虚拟大椭圆Y2上，B点在虚拟同心圆的大圆G2上。
采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题转化为圆切线问题。过B点，作同心小圆G1的切线T1，相交于小圆Y1于切点D，相交于水平轴于N点。
NB切线与小圆G1相切，只有唯一解，坐标线性变换后，NA直线与小椭圆Y1也只有唯一解，即NA与小椭圆Y1相切，切线T2与椭圆Y1相交于切点E。
方法2：极点与极线法 1）勒姆柯尔方法
勒姆柯尔过椭圆外一点P，引四条割线PAiB（,直线A1B2与A2B1 交于Q点，ii=1,2,3,4）直线A3B4与A4B3交于R点，直线Q R交椭圆于S、T两个点，则S、T是椭圆对应点P的两个切点，直线PS、PT就是所求的切线（图14）。
图 14 图 15 图 16
2）舒马赫方法
大数学家高斯的朋友舒马赫不满足勒姆柯尔的方法，写信给高斯，信中说他找到了一个只需引三条割线就可以作椭圆切线的方法。（图15）。
3）高斯方法
高斯在收到舒马赫的信第六天，回信提出了一个只需引两条割线。就可以作椭圆切线的简捷方法（图16）。
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证明：高斯等三位大数学家的过椭圆外一点作切线方法，其实质就是利用P极点与ST极线对应的关系，以P极点寻找ST极线上的两个点 Q与R，连接Q与R连线并延伸与椭圆相交，交点S与T就是两个切点。
对于这个命题，可以采用坐标线性变化方法，椭圆切线问题化为圆处理，并运用极点与极线知识，进行S、T、Q、R四点共线的特性证明，证明如下：
引理1： 从圆外一点P，引圆的两条切线和一条割线，S、T为切点，A、B点为割线与圆的交点，切点弦线ST与PAB割线交于Q点，那么PQ调和分割AB。
图 17
如图17，假设N点为AB的中点，分析得知，AB⊥ON，∴Q、M、N、O四点共圆， 则 PQ?PN?PM?PO
∵ΔPOT与ΔPMT是相似三角形，PT?PM?PO ∵PT22?PA?PB，∴PQ?PN?PA?PB
∵PN??PA?PB?/2，∴PQ?(PA?PB)?2PA?PB
∴
112PAPB??? 或 PAPBPQAQQB∴ PQ调和分割AB。
引理2：从圆外一点P引两条切线，得到两个切点S、T点，从圆外一点P引两任意割线，与圆交于 A、B与C、D四点，交叉连接AD、BC直线交于Q点，AC与BD延伸交于R点，则 S、T、Q、R四点共线。
图 18
18
联结AS、SB、BD、DT、TC、CA直线，得圆内接的凸六边形ASBDTC。 欲证S、Q、T三点共线，只需证明AD、BC、ST三线共点。 对于圆内接凸六边形ASBDTC，利用塞瓦定理, 只须证明
BD?TC?AS?1
DT?CA?SB∵ ΔPBD∽ΔPCA，ΔPTC∽ΔPDT，ΔPAS∽ΔPSB，
BDPBTCPCASPS???， ， CAPCDTPTSBPB又 ∵ PS?PT，
DBTCASPBPCPS??????1 ∴
CADTSBPCPTPBDBTCAS???1 ∴
DTCASB则
因此，BC、AD、ST三线共点, S、Q、T三点共线。
在三角形ΔRCD中，假设M点为RQ与CD的交点， 由赛瓦定理得：
CMDBRA???1 MDBRACRBDPCA???1 DBPCAR∵ΔRCD被直线PB所截，由梅涅劳斯定理得：
将上面两个式子相乘得:
CMDP??1 MDPCCMPC?即： MDDP∴CD被PM调和分割，同时PM被CD也调和分割。
依据引理1可知，M点在极线ST上，所以M、R、S、T四点共线, ∴M、S、T、Q、R五点共线，因此S、T、Q、R四点共线。
引理3(侯明辉三割线定理)： PAB、PCD为过椭圆外一点P引出的两条任意割线，AD与BC交于Q，直线PQ交椭圆于E、F，则PQ调和分割EF，即1/PE+1/PF=2/PQ。
由引理2可知，AD与BC交于Q，则Q点在以P点为极点的ST极线上。由引理1可知，因为Q点在ST极线上，则PQ调和分割EF。因此，对于在圆的情况下，三割线定理成立。依据坐标线性变换原理，令X??X , Y??bY，圆转换为椭圆，直线段仅是线性a变换其位置，线段比例关系不变，因此，对于在椭圆的情况下，三割线定理也成立。
图 19
19
三、椭圆极点与极线的性质
徐文平新定理：椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。
椭圆内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。
图 20
证明：如图21，椭圆外切四边形EHFG的四个切点为K、L、M、N，椭圆外切四边形EHFG的对角线连EF、GH交于Q点。
图 21
由帕斯卡定理，将其椭圆内接六边形化简为椭圆内接四边形，可知A、B、C、D四点共线，四极点共线成立。
由牛顿定理，椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。椭圆外切四边形EHFG的对角线EF、GH交点Q和以K、L、M、N四个切点为顶点的椭圆内接四边形KLMN的对角线KM、LN交点Q重合。
由麦克马林定理，椭圆外切四边形EHFG的对角线EQF为A点关于椭圆的极线，由完全四边形KLMNAB性质可知，QB也为A点关于椭圆的极线，因此，F、Q、E、B四点共线。同理可知，A、G、Q、H四点共线，AH为B点关于椭圆的极线。
极点A与QB极线对应，极点B与AQ极线对应，极点Q与AB极线对应，ΔAQB为自配极三角形。
ΔFCD中FB、CH、DG三线共点交于E点，
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