由赛瓦定理得：
CBDHFG???1 BDHFGC∵ΔFCD被直线AH所截，由梅涅劳斯定理得：
DHFGCA???1 HFGCADCBCAACAD??由上面两个式子得: ， BDADCBDB112??或 ACADAB
∴A、B、C、D四点共线，CD调和分割AB，新定理证明成立。
由射影几何知识可得，F点为射影点，A、G、Q、H四点共线，AQ也调和分割GH。 由射影几何知识可得，D点为射影点，B、E、Q、F四点共线，BQ也调和分割EF。
推理1：椭圆内接四边形的其中一条对角线通过椭圆圆心，则另一条对角线的极点必定平分对椭圆内接四边形的对边延伸线两交点连线。
推理1是徐文平新定理的一种特殊情况，如图22，椭圆内接四边形KLMN的对角线LN通过椭圆心，则对角线LN的极点在无穷远处，对角线KM的极点C必定平分椭圆内接四边形KLMN的对边延伸线两交点AB连线，即AC＝CB。
图 22
至此，本文过椭圆上一点作椭圆切线方法2、3、4、5有了快速证明的理论依据。
参考文献：
[1]吉众.椭圆的切线问题研究[J]，数理天地，2008.12
[2]张觉.过椭圆上一点作椭圆切线的一种方法[J]，数学通讯，2010.6 [3]熊星飞.椭圆问题圆处理[J]，中学数学教学，2004.4
[4]张子路.调和分割的基本性质及其应用初探[J]，中学数学研究，2009.7 [5]王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线[J]，中学数学教学，2006
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椭圆焦点弦的优美性质及其简证
徐文平
（东南大学 南京210096）
摘要：针对椭圆焦点弦，发现了一组优美的性质，运用极点与极线的知识，进行了快速简捷证明。 关键词：圆锥曲线、椭圆焦点弦、椭圆切线、极点与极线、调和分割
文献李康海老师发现了圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质，读后深受启发。笔者感觉李老师的证明方法比较繁琐，通过思考，作者找到了快速简捷证明，并又发现了椭圆焦点弦的一些优美的性质，供大家参考。
定理1：过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于P、Q点，点A、B为椭圆长轴上的顶点，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为MN的中点，则有以下一些优美的性质。 1） MF⊥NF；
2） MN的中点C为焦点弦PQ的极点，即PC、QC与椭圆相切； 3） FC⊥PQ；
4） MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。
[1]
图 1
针对定理1中的4个性质，进行简捷证明，具体如下：
0?，F?c，0?，M?t，m?，N?t，n?。 性质1：假设A??a,0?，B?a，x2y2设椭圆的方程为2?2?1，直线PQ的方程为x?k?y?c（c?0），
ab依据极点与极线的基本知识，ΔMNF为自配极三角形，极点M与NF极线对应，极点N
与MF极线对应，极点F与MN极线对应。
椭圆外任意一点W?x0，y0?，对应的极线方程为：
x0xyoy?2?1 2ab0?为极点时，极点F对应的MN极线方程为：x?a2/c， 当椭圆焦点F?c，因此 Ma/c，m，Na/c，n。
?2??2? 22
极点M对应的NF极线方程为：
a2/c?xm?y??1 （1） 22ab由于M极点对应的NF极线通过点Na2/c，n，
??a2/c?a2/cm?n则： ??1 （2） 22ab整理得：mn?b2(1?a2/c2)
?a2?42??c ?mn?b/c???c? （3）
??由（3）式可知，ΔMNF满足直角三角形斜边上的高的平方等于它分斜边两部分的乘积
的条件，所以ΔMNF是直角三角形，所以MF⊥NF。
性质2：对于椭圆切线问题，可以先进行圆的切线命题证明，然后采用线性坐标压缩变换方法，证明椭圆情况下成立。
如图2中，圆⊙O的任意割线PQ与水平x轴交于F点，A、B是圆⊙O的象限点，直线AP与BQ交于M点，直线AQ与BP交于N点，C点为直线MN的中点，则PC、QC为圆⊙O的切线。
2
图 2
在ΔAMN中，由于AB为圆⊙O的直径，∴A、B、P、Q四点共圆，∴PB⊥AM，QB⊥AN，∴B点是ΔAMN垂心，那么 AB⊥MN，∴MN为竖向直线。
∵PN⊥AM，QM⊥AN，∴P、Q、M、N四点共圆，且以MN为直径。 ∵C点为MN的中点，∴C点为圆心，
∴MC?NC?PC?QC
易知 ∠NPC＝∠CNP＝∠MQP＝∠BAP＝∠APO，
∠OPC＝∠OPB＋∠NPC＝∠OPB＋∠APO＝∠APB＝90°， ∴PC⊥OP ，∴直线PC与圆⊙O相切。
同理可知：直线QC与圆⊙O相切于Q点，MN的中点C点就是PQ的极点。
在此基础上，采用线性坐标压缩变换方法，圆转化为椭圆，圆的切线就转化为椭圆切线。如图1，MN的中点C为PQ的极点，即PC、QC与椭圆相切，性质2成立。
23
性质3：如图3，延伸PQ与y轴交于R点，在射影几何中，则点R、C调和共轭。
图 3
x2y2设椭圆的方程为2?2?1，直线PQ的方程为x?k?y?c（c?0），
ab?c/k?，R点的极线方程为：可得： R?0，xRxyRy?2?1 2abk?b2即 y??，依据极点与极线知识可知，点R的极线通过C点，
c则点Ca2/c，?k?b2/c 则： kFC???k?b2/c?0???k 2a/c?c1c1?x?， 则：kPQ? kkk直线PQ的方程可以变换为 ： y?∵kPQ?kFC??k?1??1 ， k∴ FC⊥PQ，因此，性质3成立。
性质4：在图3中，又∵ MF⊥NF，ΔFMN为直角三角形， 则：FC?NC?MC，
∵FC⊥PQ，可知PQ与ΔFMN的外接圆⊙C相切， 则：弦切角∠PFM＝∠FNM， ∴ ∠FNM＝∠MFB＝∠PFM，
因此：MF平分∠PFB角，同理NF平分∠QFB角，性质4成立。
定理2：过椭圆一个焦点F的任意两条焦点弦PQ与AB，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，点C为PQ的极点，点D为AB的极点，则有以下一些优美的性质。
1)MF平分∠PFB角，NF平分∠QFB角。 2)MF⊥NF；
3)FC⊥PQ，FD⊥AB；
4)CD调和分割MN，即1/NC+1/ND＝2/NM。
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图 4
针对定理2中的4个性质，进行简捷证明，具体如下：
性质5：PQ、AB为两条椭圆焦点弦，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，则FM平分∠PFB角，FN平分∠QFB角。
图 5
如图5，由A、P点分别作水平线与F焦点的极线MN交于A1、P1 ， 由椭圆第二定义可得：
PFPP1?e ，
AFAA1?e
因此，
PFPP1?AFAA1
又因为 ΔMPP1∽ΔMAA1相似
PP1AA1?PMAM?PFAF
由三角形外角平分线定理可知，则FM平分∠PFB角。
同理，FN平分∠QFB角。
性质6：如图5中，PQ、AB为两条椭圆焦点弦，AP和BQ交于M，BP和AQ交于N，连接MF和NF线段，则MF⊥NF。
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