椭圆切线尺规作图法及其简证
徐文平
（东南大学 南京210096）
摘要：探讨了多种椭圆切线的尺规作图方法，在此基础上，发现了椭圆内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点的新定理。采用坐标线性变换方法，椭圆问题化圆处理，并运用极点与极线的知识，进行了椭圆切线尺规作图法的简单证明。
关键词：椭圆切线、尺规作图、坐标线性变换、极点与极线、调和分割
一、过椭圆上一点作切线
方法1：已知椭圆Y和椭圆上一点A，以椭圆Y的长轴a为半径作圆G，过椭圆上已知点A做竖向垂线，与圆G相交于B点。过B点作圆G的切线T1，相交水平x轴于N点，连接N点与椭圆上A点，直线NA就是所求的椭圆切线T2。
证明：依据坐标线性变换原理，令X??X , Y??bY，椭圆Y转换为圆G，椭圆上aA点转换到圆上切点B。切线T1与圆G相切于B点，只有唯一解，坐标线性变换后，直线NA与椭圆Y也只有唯一解，即直线T2与椭圆Y相切于A点。
图 1
方法2：过椭圆Y上一点A，作竖向垂线，与椭圆Y相交于B点，点J、K是椭圆Y的象限点，JA、BK两条延伸线相交于C点，过C点作竖向垂线，与水平轴交于N点，NA连线就是所求的椭圆切线T1。
图 2
证明：圆是椭圆的一种特殊情况，直线与圆的几何位置关系相对简易证，如果将椭圆转化为圆，那么，直线与椭圆相切的问题就会大大简化。
如图3， ∵∠CNK＝∠KAC＝90°，∴A、C、N、K四点共圆， 易知 ∠KAN＝∠KCN＝∠CBA＝∠KJA＝∠JAO。
∵∠OAN＝∠OAK＋∠KAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°， ∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆G相切。
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图 3
采用坐标线性变换方法，圆G转换为椭圆Y，圆切线转换为椭圆切线，分析得知，对于过椭圆上一点的作切线问题，方法2也成立。
图 4
方法3：椭圆的斜向割线AB，作JA、 BK延伸线相交于C点。直线AB1与A1B相交于D点，过D点的水平线与过C点的竖向垂线相交于N点。NA就是椭圆的切线。
图 5
证明：首先证明过圆上一点作切线的方法3成立，然后证明对于椭圆方法3也成立。
图 6
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如图7，过椭圆外一点P作两条切线，S、T为切点，依据极点与极线知识，点P为极点，切线弦ST为极线。采用赛瓦定理可以证明，S、D、T三点共线。
图 7
如图8，圆⊙O的割线AB与水平x轴交于Q点，割线AB与竖向y轴交于P点，从点P作两条切线，S、T为两个切点，切点弦ST为点P关于圆⊙O的极线，J、K是圆⊙O的象限点，直线JA与BK交于E点，直线JB与AK交于F点，ST与直线EF相交于N点。则ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。现证明如下：
图 8
在ΔJEF中，由于JK为圆⊙O的直径，且A、B、J、K四点共圆，∴AK⊥JE，BK⊥JF，∴K点是ΔEFF垂心，那么 JK⊥EF，∴EF为竖向直线，∴水平直线ST⊥EF。
设⊙O圆的方程为x?y?r，直线AB的方程为y?kx?m（m?0）， 容易得出，点坐标P(0，m)，Q??m/k，0?，R0，r/m。
2222??设y?kx?m与圆交于点A?x1，y1?，B?x2，y2?，
?y?kx?m则他们满足方程组 ?2 （1） 22?x?y?r依据极点与极线知识，ΔEFQ是典型的自配极三角形，直线EQ为点F对应的极线，直线FQ为点E对应的极线。
对于ΔEOF分析可知，极点E与圆心O的连线EO必定与极点E的对应极线FQ垂直，即EO⊥FQ,，同理，FO⊥EQ ，∴Q点是ΔEOF的垂心。
圆⊙O方程为：x?y?r，则圆外任意一点W?x0，y0?对应的极线方程为：
222 13
x0x?y0y?r2 （2）
设极点E?x3，y3? ，F?x4，y4?，∵EF是竖向垂线，∴x3?x4，
则：极点E?x3，y3? 对应的极线FQ方程 x3x?y3y?r2 (3) 则：极点F?x4，y4? 对应的极线EQ方程 x4x?y4y?r2 (4)
∵极线EQ与极线FQ交于点Q，且坐标Q??m/k，0?已知，
由（3）或（4）式，可得： x3?x4??k?r2/m ∴可以解得N点坐标： N??k?r2/m，r2/m?
通过坐标点A?x1，y1?，作直线JA和AK直线，
直线JAE方程为: y?y1?x?r?/?x1?r? 直线AKF方程为: y?y1?x?r?/?x1?r? 将(5)式代入（6）、（7）式得： y3?y1??k?r2/m?r?/?x1?r?
y4?y1??k?r2/m?r?/?x1?r?
y?2y?y1?k?r/m?r?y1??k?r2/m?r?34?(x?r)?
1x1?r?r?y?x1?r???k?r/m?1???x1?1?r???k?r/m?1?x
1?r??x1?r??2?r2?y??k?x1/m?1?1x2?r2
1?2?r2?y?k?x1/m?1?1y2
1r2?2??k?x1?m?m?y 1其中： y2221?r?x1 ，y1?k?x1?m
则 y3?y42?r2?k?x1?m?m?y?r2/m （恒定值） 1
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(5) (6) (7)
8） 9）
（（∵坐标点R0，r2/m，则竖向垂线EF中点N坐标为N??kr2/m，r2/m， ∵水平直线STN与垂直线EF的交点为N?kr2/m，r2/m，∴N?与N坐标重合， ∴水平直线ST⊥EF，且交点N点平分竖向直线EF。
事实上，想要证明过圆上一点作切线的方法3的正确性，就必须证明图9中直线NA与圆⊙O相切。
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图 9
∵AF⊥JE，BE⊥JF，∴A、B、F、E四点共圆，且以N点圆心， ∴EN?NF?NA?NB
易知 ∠FAN＝∠NFA＝∠EBA＝∠KJA＝∠JAO，
∠OAN＝∠OAK＋∠FAN＝∠OAK＋∠JAO＝∠JAK＝90°， ∴NA⊥OA ，∴直线NA与圆⊙O相切。
同理可知：直线NB与圆⊙O相切于B点。
综上所述，证明了过圆上一点作切线方法3的正确性。通过坐标线性变化方法，圆转化为椭圆，可以证明过椭圆上一点作切线方法3也是正确的。
方法4：已知椭圆内的斜向割线AB，点J、K是椭圆的象限点，JA、BK交E点，JB、AK交F点，竖向垂线直线EF的中点为N点， N点就是AB割线关于椭圆的极点，连线NA、NB与椭圆相切。
图 10
证明：可以采用坐标线性变换方法，椭圆切线问题化圆处理，先证明圆的情况下命题成立，然后证明椭圆的情况也成立，以便简化证明方法。
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