采用射影几何思想用于圆锥曲线，可得到许多新颖的结果。大数学家笛沙格采用一种有效的方法——投射取截法来实现二次圆锥曲线的连续变化。只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲。因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次圆锥曲线也成立．这就提供了一种相当简便的方法。
从圆锥曲线外一点P作切线，关键是想办法寻找P点极线上的两个点，圆锥曲线的切线问题也就迎刃而解了。
引理3：二次圆锥曲线?的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。 命题4：已知椭圆外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意椭圆割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。
图 4
证明：由圆锥曲线的极点与极线知识可知，ΔPQR为自配极三角形，极点P与QR极线对应，极点R与QP极线对应，极点Q与PR极线对应。因此，连线QR与椭圆交于S、T两点，PS、PT就是椭圆的切线。
本命题也可以采用初等几何证明，首先采用赛瓦定理和梅涅劳斯定理，证明圆的情况下本命题成立。然后，采用坐标线性压缩变换原理，证明椭圆情况下命题也成立。
命题5：已知双曲线外一点P，过P点作PAB与PCD二条任意双曲线割线，AD、CB交于Q点，AC、BD延长交于R，连线QR与双曲线交于S、T两点，PS、PT就是双曲线的切线。
证明：采用圆锥曲线的极点与极线知识，类似椭圆方法，可以证明命题成立，略。
图 5
命题6：已知x?2py抛物线外一点P(x0，y0)，过P点作PAB与PCD二条任意抛物线割线，AD、CB交于Q点，在y轴上确定一点R(0，?y0)，连线QR与抛物线交于S、
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T两点，PS、PT就是抛物线的切线。
图 6
证明：依据圆锥曲线的极点与极线知识可知，抛物线内接四边形ABCD的对角线AD、CB交点Q在P的极线上。
抛物线方程为x?2py，则点P?x0，y0?对应的极线方程为：x0x?p?y?y0??0，
2则点R(0，?y0)满足P的极线方程，R点也在P的极线上，QR为P的极线，命题成立。
命题7：已知x?2py抛物线外一点P(x0，y0)，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作竖向垂线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作竖向垂线与AC交于Q点。在y轴上确定一点R(0，?y0)，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。
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图 7
证明：点R(0，?y0)满足P的极线方程，R点在P的极线上。依据射影几何理论，抛物线封闭于无穷远点处，本命题中抛物线内接四边形ABCD中的D点在无穷远处，四边形ABCD的对角线BD退化为一条竖向垂线而已。过B点作竖向垂线与AC交于Q点，Q点也在P的极线上。QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线，命题成立。
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命题8：已知y2?2px抛物线外一点P(x0，y0)，过P点作一条任意抛物线割线交于A、B两点，过P点作水平线与抛物线交于C，连接AC连线，过B点作水平线与AC交于Q点。在x轴上确定一点R(?x0，0)，连线QR就是P点的极线，QR与抛物线交于S、T两点，PS、PT就是抛物线的切线。
证明：采用类似命题7方法，可以证明命题成立，略。
图 8
参考文献：
[1]刘瑞美.与圆锥曲线切线有关的几个结论及其应用[J]，中学数学研究，2009.11 [2]郑新春、连春兴.关于圆锥曲线切线的一组命题及其尺规作图[J]，数学通报，2001.5 [3]王兴华.漫谈圆锥曲线的极点与极线[J]，中学数学教学，2006.6 [4]李建华.射影几何入门[M]，科学出版社，2011.6
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圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理
徐文平
（东南大学 南京210096）
摘要：在圆锥曲线内接四边形的极点与极线问题研究过程中，发现了圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理，即圆锥曲线内接四边形的对边延伸线交点调和分割对角线极点。运用极点与极线的知识，进行了新定理的简单证明，并提出了过圆锥曲线上一点作切线的尺规作图新方法。
关键词：圆锥曲线、内接四边形、二次曲线切线、极点与极线、调和分割
射影几何创始人大数学家笛沙格采用投射取截法来实现二次圆锥曲线的连续变化，只要改变截景平面的位置，就可使圆的截景从圆连续变为椭圆、抛物线和双曲。因此，对于圆成立的许多性质，都可通过取截景的方法来证明它们对其他二次圆锥曲线也成立．这就提供了一种相当简便的方法。
圆锥曲线的内接四边形有许多的奇妙性质，作者在研究圆锥曲线切线的性质过程中，发现了圆锥曲线内接四边形的四极点调和分割定理，供大家鉴析。
新定理1：圆锥曲线内接四边形的对边延伸线两交点调和分割对角线两极点。 椭圆、双曲线或者抛物线的内接四边形KLMN，对边线KN与LM交于A，对边线KL与NM交于B，对角线KM的极点为C，对角线LN的极点为D，KM与LN交于Q点，则A、B、C、D四点共线，且AB调和分割CD，即1/AC+1/AD＝2/AB。
图 1
图 2
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图 3
射影几何的极点与极线知识是研究圆锥曲线切线问题的强有力工具，下面以引理形式给出一些相关的初等几何经典定理和射影几何定理，以便用于证明新定理成立。
引理1：二次圆锥曲线?的内接完全四点形的对边三点形是圆锥曲线的自配极三点形。 引理2：圆锥曲线中的极线共点于P，则这些极线相应的极点共线于P相应的极线。反之亦然，称为极点与相应极线对偶性。
引理3（帕斯卡定理）：设六边形ABCDEF内接于椭圆，直线AB与DE交于点X，直线CD与FA交于点Z，直线EF与BC交于点Y，则X、Y、Z三点共线。
当椭圆内接六边形ABCDEF在两处各有2个顶点重合，即当B（C）点重合，E（F）点重合，椭圆内接六边形ABCDEF退化为椭圆内接四边形AB（C）DE（F），BY与EY退化为切线，帕斯卡定理仍然成立，即圆内接四边形的对边两交点与对角线极点共线。
图 5
引理4（牛顿定理3）：椭圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
图 6
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