四川理工学院本科毕业（设计）论文
第2章 倒立摆的建模
2.1 二级倒立摆的简介及物理模型
二级倒立摆系统主要由如图1所示的机电装置和控制装置两部分组成。机电装置由上下两摆杆和小车组成。此系统为一个不稳定的系统，控制目的使双摆直立而不倒，主要有3个参考量即上下两摆杆的角度要保持小几乎为0，小车要位于滑竿中间。在实际操作中，小车由电机通过同步带驱动在滑杆上来回运动，保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）。
图2-1 二级倒立摆实物图
2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构
如图2-2 二级倒立摆的结构简图.它是由机械部分、 电气部分和计算机控制 3大部件组成.机械部分包括:轨道、 传动皮带和皮带轮、 倒立摆本体 (包括小
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何安林： 二级倒立摆系统建模与仿真
车 ,上、 下摆 ,以及一些轴连接部件 )等.电气部分主要由伺服驱动器、 伺服电机、 直流功率放大器、 光电码盘 ,以及保护电路等几部分组成. 计算机控制部分由 A /D, D /A,运动控制卡和 PC计算机组成. 这几个部分组成一个闭环系统。
计算机 运动控制卡 伺服驱动器 伺服电机 光电码盘1 光电码盘2 摆杆1 光电码盘3 摆杆2
图2-2为直线二级倒立摆计算机控制系统结构示意
图 2-2中的光电码盘 1由伺服电机自带 ,可以通过该码盘的反馈换算出小车的位移、 速度信号 ,并反馈给伺服驱动器和运动控制卡;通过光电码盘 2和光电码盘 3的反馈 ,可以分别换算出摆杆1和摆杆 2的角度、 角速度信号 ,并反馈给运动控制卡;计算机从运动控制卡中读取实时数据 ,确定控制决策 (小车向哪个方向移动、 移动的速度、 加速度等 ) ,并由运动控制卡来实现该控制决策 ,产生相应的控制量 ,使电机转动 ,带动小车运动 ,保持摆杆 1和摆杆 2的平衡.
2.3 二级倒立摆的数学模型
二级倒立摆数学模型的建立基于以下假设： 1）上下两摆杆都是刚体。
2)在实验过程中同步带长度保持不变。
3)实验过程中的库仑摩擦、动摩擦等所有摩擦力足够小,在建模过程中可忽
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略不计。
二级倒立摆的模型如图2-3，图中接触小车的为摆杆1，其偏角为?1，摆杆2的偏角为?2，电机对小车的力为F。
?2 b ?1 a F
图2-3 二级倒立摆结构简图
2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型
由运动合成原理：绝对运动=牵连运动+相对运动，为了便于理解将动坐标
建立于小车、摆杆1、摆杆2的质心处，应用运动学对系统进行分析。通过牛顿力学对系统进行动力学分析，由此得出二级倒立摆的数学模型。利用力学中的隔离法,将二级倒立摆系统分为小车、摆杆 l、摆杆 2 三部分.首先,对小车进行分析.如图2 所示,将摆杆 1 对小车的作用力分解为竖直方向的分力F11和水平方向的分力F12。水平方向方程为:
? （2-1） F?F12?m0?x
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N F12 F F11
图2-4 小车受力分析
图2-5摆杆2对摆杆1的水平方向分力和竖值方向的分力为F22和F21，利用牛顿第二定律和动量矩定理得摆杆1的运动学和动力学方程:
Y F22 F11 F12 F21 X m1g
图2-5 摆杆1的受力分析
??cos??ml???2sin? （2-2） ??m1l1?F12?F22?m1?x1111118
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（2-3）
??sin??ml??m1g?F11?F21?m1l1?11111cos?1
?)d(j1?1?F11l1sin?1?F21(L1?l1)sin?1?F12l1cos??F22(l1?L1)cos?1 （2-4） dt根据牛顿第二定律和动量矩定理得到二摆的运动学和动力学方程： Y F21 F22 m2g X 图2-6 摆杆2的受力分析
??cos??mL???????m2l2?F22?m2?x22211cos?1?m2L1?1sin?1?m2l2?2sin?2 （2-5） ??sin??ml????2?2F21?m2g?m2L1?11222sin?2?m2l1?1cos?1?m2l2?2cos?2 (2-6)
?)d(j2?2?F21l2sin?2?F22l2cos?2 (2-7)
dt由拉格朗日方程可得：
L?T?V=?1?21?211d(x?l1sin?1)2d(l1cos?1)2?2?m1{[j?1?j2?2?m0x]?[]}
2222dtdt?[[d(l1cos?1)21d(L1cos?1?l2cos?2)2d(x?L1sin?1?l2sin?2)2]}?m2{[]?[]} dt2dtdtd(x?L1sin?1?l2sin?2)2]}?m1l1cos?1]2?m2g(L1cos?1?l2cos?2) (2-8)
dt拉格朗日方程表示为：
d?L?L??u j=1，2?s （2-9） ?j?q?jdt?q9