高中数学的数形结合思想方法
【解法１】由f（x）≥２得2≥２＝２.
立时，x的取值范围为［，
易求出g（x）和h（x）的图象的交点+∞）.
【解法3】 由
的几何意义可设Ｆ1（－１，０），Ｆ２（１，０），Ｍ（x，y），
则
，可知Ｍ的轨迹是以Ｆ1、Ｆ２为焦点的双曲线的右支，其中右顶点为（，
０），由双曲线的图象和x+1－x-1≥知x≥.
【点评】 本题的三种解法都是从不同角度构造函数或不等式的几何意义，让不等式的解集直观地表现出来，体现出数形结合的思想，给我们以“柳暗花明”的解题情境. （四）运用数形结合思想解三角函数题
纵观近三年的高考试题，巧妙地运用数形结合的思想方法来解决一些问题，可以简化计算，节省时间，提高考试效率，起到事半功倍的效果.
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高中数学的数形结合思想方法
【例13】函数f（x）=sinx+2sinx，x∈［０，２π］的图象与直线y=k有且仅有２个不同的交点，则k的取值范围是 .
【分析】本题根据函数解析式，画出图象，可以直观而简明地得出答案，在有时间限制的高考中就能大大地节约时间，提高考试的效率.
解：函数f（x）＝由图象可知：1 【例14】当0 Ｃ. ４ Ｄ. ４ 的最小值为（ ）. 则y为点Ａ（０，５）与点Ｂ（－sin2x，3cos2x）两点连线的斜率，又点 Ｂ的轨迹方程（0<α<），即x2+＝１（x<0），如图，当过点Ａ的直线l∶y=kx+5 与椭圆x2+＝１（x<0）相切时，k有最小值４，故选Ｃ. 【例15】若sinα+cosα=tanα（0<α<），则α∈（ ）. 解：令f（x）=sinx+cosx=点Ｐ的横从标xP> sin（x+ ）（0<α<），g（x）=tanx，画出图象，从图象上看出交≈１.366，tan= ≈1.732>1.367，由图象知 .再令α＝，则sin+cos= 7 高中数学的数形结合思想方法 xP应小于.故选Ｃ. 【点评】 本题首先构造函数f（x），g（x），再利用两个函数的图象的交点位置确定α>了Ａ、Ｂ两选项，然后又用特殊值估算，结合图象确定选项Ｃ，起到了出奇制胜的效果. 【例16】 已知函数f（x）是定义在（－３，３）上的奇函数，当0 ，淘汰 解：函数f（x）定义在（－３，３）上，且是奇函数，根据奇函数图象性质可知，f（x）在（－３，０）上的图象如图所示，若使f（x）cosx<0，只需f（x）与cosx异号，即图象须分别分布在x轴上下侧，由图可知，有三部分区间符合条件要求，即（－选B. 【点评】已知函数的一部分图象，根据函数的性质可得到函数的另一部分图象，利用数形结合的思想，可以先画出完整的函数图象，再研究有关问题. 【例17】△ＡＢＣ中，Ａ＝，ＢＣ＝３，则△ＡＢＣ的周长为（ ）. ，－１）∪（０，１）∪（ ，３），故 解：本题是我们常用三角恒等变形和正弦定理通过一定量的计算来完成的，但是应用数形结合，可 8 高中数学的数形结合思想方法 以很快解决问题.为此，延长ＣＡ到Ｄ，使ＡＤ＝ＡＢ，则ＣＤ＝ＡＢ＋ＡＣ，∠ＣＢＤ＝∠Ｂ＋， ∠Ｄ＝，由正弦定理 即ＡＢ＋ＡＣ＝６sin（B+），故选Ｃ. （五）运用数形结合思想解复数题 【例18】设|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求 z1的值。 z2【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解。 【解】 如图，设z1＝OA、z2＝OB后，则z1＝OC、z2＝OD如图所示 y A D 5z1由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得： O B x 2z2 C 452?22?(13)2cos∠AOD＝＝ 2×5×253z1543∴ ＝(±ｉ)＝2±ｉ 2z2255【另解】设z1＝OA、z2＝OD如图所示。则| 222z1z2|＝ 5，且 y A 2 D O x 435?2?(13)cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±， 552×5×2所以 z1z2＝ 54333z1(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。 25522z2【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等 都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼。 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解。 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z1＝5(cosθ则|z1－z2|＝|(5cosθ 1－2cosθ2)＋(5sinθ1＋2sinθ2)ｉ|＝ 1＋ｉsinθ1)，z2＝＋ｉsinθ2)， 4329?20cos(?1??2)＝13，所以cos(θ1＋θ2)＝,sin(θ1＋θ2)＝±， 55 9 高中数学的数形结合思想方法 5433z15[cos(??1)?isin(??2)]5＝＝[cos(θ1＋θ2)＋ｉsin(θ1＋θ2)]＝(±ｉ)＝2±ｉ。 225522(cos?2?isin?2)z2本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z1－z2|＝13得： （z1－z2）(z1－z2)＝z1z1＋z2z2－z1z2－z1z2＝25＋4－z1z2－z1z2＝13, 所以z1z2＋z1z2＝16,再同除以z2z2得 z1z2＋ 3z1z1＝4，设＝z，解得z＝2±ｉ。 2z2z2几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别。一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解。 四、运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意如下几点 在解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题 简单化、抽象问题具体化.但是，依赖图象直观解题，也要注意如下几个问题. 1、注意图象延伸趋势 【例19】 判断命题：“当a>1时，关于x的方程ax=logax无实解.”正确与否. 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=ax及y=logax的图象（a>1）（如图1），可见它们没有公共点，所以方程无实解，命题正确. 【评析】 实际上对不同的实数a，y=ax和y=logax的图象的延伸趋势不同.例如当a=2时，方程无实数解；而当a=时，x=2是方程的解.说明两图象向上延伸时，一定相交，交点在直线y=x上. 2、注意图象伸展“速度” n2 【例20】比较2与n的大小，其中n≥2，且n∈N+. 错解：在同一坐标系中分别作出函数y=2x及y=x2的图象（如图2）. 由图可知，两图象有一个公共点. 当x=2时，2x=x2； 当x>2时，2x ∴ 当n=2时，2n=n2； 当n>2，且n∈N+时，2n 【评析】事实上，当n=4时，2n与n2也相等；当n=5时，2n>n2.错因是没有充分注意到两个图象在x≥2时的递增“速度”！要比较两个图象的递增速度，确实很难由图象直观而得.本题可以先猜想，后用数学归纳法证明. 本题的正确答案是 当n=2、4时，2n=n2； 当n=3时，2n 当n≥5时，n∈N+时，2n>n2. 证明略. 3、注意数形等价转化 2 【例21】已知方程x+2kx-3k=0有两个实数在-1与3之间，求k的取值范围. 错解：令f（x）=x2+2kx-3k，结合题意画出图象3中的（1），再由图象列出不等 10