高中数学的数形结合思想方法
解略.
【评析】 事实上，不等式组（*）并不与题意等价，图象3中的（2）也满足不等式组（*），但两实根均大于3，还可以举出两实根均小于-1的反例.若不等式组（*）与图3中的（1）等价，需加上条件-3 4、注意仔细观察图象 【例22】已知关于x、y的方程组 （a>b>0）有四组实数解，求a、b、m应满足的关系. 错解：已知方程组中的两个方程分别是椭圆和抛物线的方程，原方程组有四组实数解等价于椭圆与抛物 【评析】 观察图象过于草率！事实上，图5也是一种可能的情形，即当=a时，仍有可能为四组解.b=1，m=-4时，例如当a=2，可得解集为：｛（２，０），（－２，０），（ 现用数形结合求解： 考虑一元二次方程 a2y2+b2y-（m+a2）b2=0， 令Δ=0（即相切情形）， 解得m=- 结合图象， 注意到m<-b，则a、b、m应满足的关系是- ， ，），（－ . ）｝ 从以上看出，有些问题可以用图象解决，但要认真分析，有些问题很难由图象直观而得，值得注意. 5. 数形结合也有简繁之分 数形结合的核心与灵魂是“结合”.解题时，由于观察与联想的视角不同，会出现不同的“结合”，“结合”得好就得到好的解题方法，“结合”得不好就使解题过程繁琐且易出错，“结合”的优劣反映出了我们的基础与能力，也反映出我们思维灵活性与创造性的水平，“结合”的优化选择，应是数形结合法研究的重要一环.为便于说明，我们先看几例： 【例23】已知方程mx=x+m有两个相异实根，求实数m的取值范围. 视角一：视方程mx=x+m两边的代数式为两个函数，分别画出函数y=mx，y=x+m的图象（如图1），由于两个函数中都含有m，故需进一步对m进行分类讨论，情况复杂.图1仅表示m>0时的示意图. 视角二：由m≠0，先将原方程变形，得x-1=x，再视方程x-1=x两边的代数式为两 11 高中数学的数形结合思想方法 个函数，分别画出函数y=x-1，y=x的图象（如图2），由图易看出： 当0<<1或-1<<0，即m<-1或m>1时，图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角三：用分离参数法，先将原方程化为 分别作出函数y= =m. ，y=m的图象（如图3），由图易看出，当m<-1，m>1 时，两函数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 视角四：用分离参数法，先将原方程化为 当x>0时，得1-=，当x<0时，得-1-=. 分别作出函数y= ，y=的图象（如图4），由图易 . 看出，当0<<1或-1<<0，即当m>1或m<-1时，两函 数的图象有两个不同交点，此时原方程有两个相异实根. 可见，例1的各解虽同是数形结合，但大有简繁之分，视角二优于视角一，视角一中两函数中的都含有m，因而他们的图象也是变化的，虽可以通过讨论而获得结论，但讨论时容易因考虑不周而产生漏解，视角三虽看图直观明了，但图象不易作出，而视角四既比视角三作图方便，又比视角二简单，不用讨论，这是因为视角二还有一个函数中含有m，而视角四中已不含m，所以这里以视角四为最理想. 【例24】已知函数f（x）=ax2+bx且2≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，求f（-2）的取值范围. 这是我们常出错的题，其代数解法有待定系数法、特征函数法、三角代换法等，而众所周知的数形结合法是线性规划法. 这类问题可看作一个条件极值问题，即变量a、b在 2≤a+b≤4 ① 1≤a-b≤2 ② 这两个约束条件下，求目标函数y=4a-2b的最大（小）值问题 .约束条件2≤a+b≤4，1≤a-b≤2的解集是非空集，在坐标平面上表 示的区域是由直线：a+b=4，a+b=2，a-b=2，a-b=1所围成的封闭 图形（图5中的阴影部分）. y的大小又可以看作直线b=2a-y在b轴上截距的大小， 从图中易知当直线b=2a-y经过A（，），C（3，1） 时截距分别为最小f（-2）=5和最大f（-2）=10. 所以5≤f（-2）≤10. 其实还可有如下数形结合法： 要求f（-2）的取值范围，只要确定f（-2）的最大（小）值，即找到f（x）的图象在x=-2时的最高点F与最低点E的纵坐标，为此只要确定f（x） 2 经过E、F时的函数表达式，由于f（x）=ax+bx是经过原点（c=0）的抛 12 高中数学的数形结合思想方法 物线系，所以只要再有两点就可确定，由已知2≤f（1）≤4，1≤f（-1）≤2，知f（x）在x=1时的最高点B（1，4），最低点A（1，2），f（x）在x=-1时的最高点D（-1，2），最低点C（-1，1），（如图6）， 2 由抛物线的图象特征易知经过F点的图象就是经过O、B、D的图象C，经过E点的图象就是经过O、A、C的图象C1，于是： 将B（1，4），D（-1，2）坐标代入f（x）=ax2+bx得 解得a=3，b=1. 故图象经过O、B、D的函数为C2∶f（x）=3x2+x，所以 fmax（-2）=10. 将A（1，2），C（-1，1）的坐标代入f（x）=ax2+bx得 故图象经过O、A、C的函数为C1∶f（x）=x2+x，fmin（-2）=5. 所以5≤f（-2）≤10. 2 【例25】正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA 本题的难度较大，用代数方法一时是无从下手的.若能数形结合，揭示其条件a+A=b+B=c+C=k中隐含的几何背景——联想到三数相等的几何图形是等边三角形，则可得如下简捷的证法. 证明：如图7， 作边长为k的正三角形PQR，M、N，LR=a，RM=B，MP=b，PN=C，分别在各边上取点L、使得QL=A，NQ=c， 如果再观察a+A=b+B=c+C=k这个代数条件，从三数相等的几何图形是等边三角形， . 联想到四数相等a+A=b+B=c+C=k的几何图形是正方形.则又可作边长k的正方形（图8） 由面积关系知其结论aB+bC+cA 仅举三例，可见一斑，不但数形结合的确好，而且同是数形结合，也有不好与好之分， 只有把握住“结合” 这一数形结合法的核心，才能把在由数到形这一变换、操作过程中的图形选择的多样性，变成解题的灵活性和创造性.在实际学习中要结合具体问题掌握一些常规的操作策略，例如要画的若是函数图象，那就要设法让要画图象的函数尽可能少含参变量，最好不含参变量，如果一定要含有，也要设法让它在较低次的函数（如一次函数）或在简单函数中含有.只有这样，才能从一个新的层面上去理解、掌握、运用好数形结合法. 【结束语】 在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的，“数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”“把证明的严格化与简捷化绝对对立起来是错误的.相反，我们可以通过大量的例子来证实；严格的方法同时也是比较简捷比较容易理解的方法.正是追求严格化的努力驱使我们去寻求更简捷的推理方法”. 13 高中数学的数形结合思想方法 数形结合的思想方法(2)---高考题选讲 数形结合思想是一种很重要的数学思想，数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.” 把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合的思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来. 在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化. 考试中心对考试大纲的说明中强调：“在高考中，充分利用选择题和填空题的题型特点，为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查考生将复杂的数量关系转化为直观的几何图形问题来解决的意识，而在解答题中，考虑到推理论证的严密性，对数量关系问题的研究仍突出代数的方法而不提倡使用几何的方法， 14 高中数学的数形结合思想方法 解答题中对数形结合思想的考查以由?形?到?数?的转化为主.” 1. 注重图形的内涵与拓展，突出对数字直觉能力的考查 【例1】图1有面积关系 则由图2有体积关系： _______. 解： 【点评】 本题注重考查图形分析能力.思维方式上从平面向空间拓展，面积与体积类比，直观类比与猜想并举.体现了高考题以能力立意考查注重素质的命题原则. 【例2】 如图所示，已知椭圆 =1的左、右焦点分别为 F1，F2，点P在椭圆上，若F1，F2，P是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（ ）. 解：以Ｏ为圆心以ＯＦ1为半径画圆，可知此圆与椭圆无交点，则△Ｆ1Ｆ2P中∠ＰＦ1Ｆ2（或∠ＰＦ2Ｆ1）为直角，如此求出Ｐ点坐标即得yp=±，故选Ｄ. 【点评】 本题以作图直观判断为突破口，直觉与逻辑推理互动，化解析几何问题为平面几何问题，化计算为判断，在理性的高度认识问题. 【例３】某城市各类土地租价y（万元）与该地段和市中心的距离x（km）关系如图所示.其中l1表示商业用地，l2表示工业用地，l3表示居住用地.要使各类用地租金收入最高，应将工业用地划在（ ）. Ａ. 与市中心距离分别为3km和5km的圆环型区域上 Ｂ. 与市中心距离分别为1km和4km的圆环型区域上 Ｃ. 与市中心距离为５km的区域外 Ｄ. 与市中心距离为5km的区域内 解：由函数y的实际意义知：在区间（１，４）上，即在与市中心距离分别为１km和４km的圆环型区域上，工业用地的租金大于商业用地的租金和居住用地的租金，为了获取最高的租金，因此这个区域应租用给工业，故选B. 【点评】 这道题考查的是阅读理解能力，提醒我们在日常的学习中，要注意训练直觉思维，养成整体观察、检索信息、把握问题实质的良好习惯. 15