高中数学的数形结合思想方法
【点拨】读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析中，去寻觅解题的灵感. a2
那么a与k如何取得联系呢？
这样一来，一个二次函数的图形出现了，它对解题有帮助吗？
二次函数g（a）的图象的对称轴为a=，而k≥2，则g（a）在0
在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形的启示，以后的思路畅通无阻了.
数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或精心地去构造直观的几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出现的，这就是解题中的灵感.
数形结合的思想方法(3)--巩固练习
1. 设命题甲：0 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 若loga2 A. 0b>1 D. b>a>1 3. 如果|x|≤ π2,那么函数f(x)＝cosx＋sinx的最小值是（ ） 4A. 2?12?11?2 B. － C. －1 D. 2224. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是（） A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 21 高中数学的数形结合思想方法 5. 设全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| y?3＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等x?2于（ ） A. φ B. {(2,3)} C. (2,3) D. {(x,y)|y＝x＋1 6. 如果θ是第二象限的角，且满足cos θθθ－sin＝1?sinθ,那么是（ ） 222A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7. 已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3π,π) B. (,) C. (π, ) D. (,) 4424245π8. 若复数z的辐角为，实部为－23，则z＝（ ） 6A. －23－2ｉ B. －23＋2ｉ C. －23＋23ｉ D. －23－23ｉ 9. 如果实数x、y满足等式(x－2)＋y＝3，那么 22y的最大值是（ ） x133A. B. C. D. 3 23210. 满足方程|z＋3－3ｉ|＝3的辐角主值最小的复数z是_____。 11.条件甲：x2+y2≤4；条件乙：x2+y2≤2x，那么甲是乙的（ ）. Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充分必要条件 Ｄ. 既非充分条件又非必要条件 12. 已知集合U=｛1，2，3，4，5，6，7｝，A=｛２，４，５，７｝，Ｂ＝｛３，４，５｝，则（B）=（ ）. Ａ. ｛１，６｝ Ｂ. ｛４，５｝ Ｃ. ｛２，３，４，５，７｝ Ｄ. ｛１，２，３，６，７｝ 13. “a=1”是“函数f（x）＝x-a在区间［１，＋∞）上为增函数”的（ ）. Ａ. 充分不必要条件 Ｂ. 必要不充分条件 Ｃ. 充要条件 Ｄ. 既不充分也不必要条件 14. 已知函数f（x）＝ax2+2ax+4（0f（x2） B. f（x1） C. f（x1）=f（x2） D. f（x1）与f（x2）的大小不能确定 15. 将函数y=sinωx（ω>0）的图象按向量a=（-，0）平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）. 22 A∪ 高中数学的数形结合思想方法 16. 已知向量a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），且a≠±b，那么a+b与a-b的夹角的大小是 . 17. 若a>0，b>0，则不等式-b< 18. 已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点（x，y）可使目标函数z=x+my取得最小值，则m=（ ）. Ａ. -2 Ｂ. －１ Ｃ. １ Ｄ. ４ 19. 已知点P（x，y）的坐标满足条件 ，点O为坐标原点，那么PO的最小值等于 ，最大值等于 . 巩固练习答案 1：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝>乙，选A; 2：由已知画出对数曲线，选B； 3：设sinx＝t后借助二次函数的图像求f(x)的最小值，选D； 4：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7：利用单位圆，选A； 8：将复数表示在复平面上，选B； 9：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 3310小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离公式求解,答案－＋ｉ。 2211. 【点拨】 画一张示意图如图1.圆面x2+y2≤2x（包括圆周）被另一个圆面x2+y2≤４包含，结论不是 一目了然了吗？选B. 12. 思路分析： （1）. （ A）∪（ B）是由不属于Ａ或不属于Ｂ的元素组成的集合，显然选择Ｂ、C中都含有集合 A、B的元素，而选择支A中｛１，６｝表示既不属于Ａ又不属于Ｂ的元素组成的集合，即｛１，６｝（ A）∪（ B），从而排除了选项Ａ、Ｂ、Ｃ，选Ｄ. （2）. 利用文氏图，直观求解，不难得到选项Ｄ. 23 高中数学的数形结合思想方法 （3）. 由（A）∪（B）=（Ａ∩Ｂ），显然，Ａ∩Ｂ＝｛４，５｝，故（Ａ∩Ｂ）＝｛１，２， ３，６，７｝，选Ｄ. （4）. 直接可求得 Ａ＝｛１，３，６｝， B＝｛１，２，６，７｝，则（ Ａ）∪（ B）=｛１， ２，３，６，７｝，选Ｄ. 【点评】 思路１是从集合的概念出发的针对选择题的排除法，思路２、思路3、思路4都是针对解答题的方法，思路2体现了数形结合的解题思想，思路3是区别于思路4的利用德摩根定律解题的间接法.但我们认为思路2最简捷. 13. 【分析】本题是以函数f（x）=x-a的图象为依托构造的一道考查充要条件的题目，要求学生要熟悉函数y=x、y=x、y=x－a的图象之间的关系，并要理解充分条件和必要条件的含义. 思路分析： （1）. 若a=1，函数f（x）=x-1图象是由函数y=x的图象向右平移1个单位得到的，所以其在区间［１，＋∞）上为增函数；反之，函数f（x）=x-a在区间［１，＋∞）上为增函数，a不一定等于１，如a=0，所以选Ａ. （2）. 函数f（x）=x-a在区间［a，＋∞）上为增函数的充要条件为a≤1，且 ， 所以选Ａ. 【点评】思路１紧扣概念，借助图象性质理性分析，着实有效.思路２从“函数f（x）=x-a在区间［１，＋∞）上为增函数”的充要条件入手，学会用集合思想解决有关条件命题应引起重视. 14. 【分析】本题考查含参数的二次函数问题，题设表述简洁，问题的实质是比较两个函数值的大小，解决问题的关键是确定x1、x2的相对位置. 思路分析： （1）. 易得f（x1）-f（x2）=a（x1-x2）（x1＋x2＋２），由已知可得，a>0，x1-x2<0，x1＋x2＋２＝３－a>0，从而f（x1） （2）. 由f（x）=a（x+1）2+4-a知对称轴为x=-1，又0 （3）. 由已知可得x1、x2不可能都在对称轴左侧，若x1、x2在对称轴两侧，则x1<-1 （1）. 直接法：由平移得图象所对应的解析式为y=sinω（x+），再由图象五点对应法，ω（= ，所以ω＝２，因此选Ｃ. ，－１），即x= 时，y=-1，对Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个选项检 +） （2）. 排除法：由图象可得函数过点（验得选项Ｃ正确. （3）. 反向检验法：平移后的图象由a=（，0）得y=sinωx（ω>0），由y=f（x-）＝sinωx排除Ｂ、Ｄ，再由x= +=时，y=-1，得选项Ｃ正确. 24 高中数学的数形结合思想方法 【点评】 三角函数图象与性质、向量是本题涉及的主要知识点，作为选择题我们推崇方法２的简捷；方法１直接法中五点对应要求掌握及正确运用；方法３反过来考虑有时也是一条思路，这里我们不推崇. 16. 【分析】本题是一道涉及向量的坐标表示、坐标运算、向量运算的几何意义等知识点的常规问题，解题的入口较宽，对训练我们思维的发散性有价值. 思路分析： （1）. 根据题意知，所求结论与α、β的大小无关，不妨取α=0，β＝，则a=（１，０），b=（０，１），从而a+b=（１，１），a-b＝（１，－１），所以=90°. （2）. 因为a+b=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），a-b=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），所以（a+b）·（a-b）=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0，故=90°. （3） 如图，在单位圆中作所以 OAPB是菱形，则 ⊥ ，再作 OAPB，则 =a-b， =a+b，由于 ， ，即（a+b）⊥（a-b），故=90°. （4）. 不难发现a=b，所以（a+b）·（a-b）=a2-2=0，故=90°. 【点评】思路1是基于该题答案的不变性而采用了特殊化思想；思路2采用了直接运算的方法；思路3抓住了向量运算的几何意义，利用了数形结合的思想；思路4挖掘了两向量模为1的隐含条件，并运用了向量的符号运 算.这4种思路各有特色，都是处理本题的较好方法. 17. 【点评】 从同解变形是等价变形的角度考查了解不等式. 思路分析： （1）. 求解对照，过程略. （2） 将a、b特殊化为具体数字，如令a=b=1，解后对照选项. （3）. 从数形结合的角度考虑.分别作y=-b，y=a，y=的图象（图略），可知选D. 【点评】 函数、方程、不等式密不可分，对本题而言思路3最简捷. 18. 解：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标位置知道 ，△ABC所在的区域D在第一象限，故x>0，y>0.由z=x+my得y=-x+，它的斜率为-. =kAC= ，即m=1时满足在区域 （1）若m>0，则要使z=x+my取得最小值，必须使最小，此时需-D上有无穷多个点使得z=x+my取得最小值；当-合要求. 不平行于kAC时，满足条件的点只有一个点，这不符 25