高中数学的数形结合思想方法
2. 注重绘图，突出对动手能力和探究性学习的考查
【例４】设奇函数f（x）定义域为［－５，５］，若当x∈［０，５］时，f（x）图象如下图，则不等式f（x）<0的解集是____.
解：由奇函数的图象关于原点对称，完成f（x）在定义域内的图象，再由f（x）<0找出使f（x）图象在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5］. 【点评】用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.
【例５】设集合Ｕ＝｛（x，y）x∈R，y∈R｝，Ａ＝｛（x，y）２x－y+m>0｝，Ｂ＝｛（x，y）x＋y-n≤0｝，那么点Ｐ（２，３）∈Ａ∩（
B）的充要条件是（ ）.
Ａ. m>-1，n<5 Ｂ. m<-1，n<5 Ｃ. m<-1，n>5 Ｄ. m>-1，n>5
解：n=5.再确定两个不等式2x-y-1>0先假定点Ｐ（２，３）在直线2x-y+m=0和直线x+y-n=0上，则m=-1，和x+y-5>0所共同确定的区域，平移两直线得到答案Ａ.
【点评】此题考查了集合、二元一次不等式表示的区域、充要条件等知识.以运动、变化、联系的观点考虑问题，变静态思维方式为动态思维方式，强调辨证思维能力. 3. 注重对思维的灵活性和创造性的考查 【例６】已知点Ｐ是椭圆
上的动点，Ｆ1，Ｆ２分别是左、右焦点，Ｏ为原点，则
的取值范围是（ ）.
解：此题的一种解法是：在△ＰＦ1Ｆ２中，根据中线定理得：PF1２+PF2２＝2ＯP２+2F1Ｏ２，再由椭圆定义，得到（PF1-PF２）２＝ＯP２－１６，由2≤ＯP≤2
得答案Ｄ.另一种解法是数形结合，根据Ｐ点所处
的位置对取值的影响来判断出结论.逐渐移动Ｐ点到长轴端点，ＯP值逐渐增大，
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逐渐接近
，当移动Ｐ点到短轴端点时PF1＝PF２，
取最
小值0.从而判断出答案为Ｄ.
【点评】解法二是采用极端性原则变静态思维方式为动态思维方式，把数与形分别视为运动事物在某一瞬间的取值或某一瞬间的相对位置.运用动态思维方式处理、研究问题，揭示了问题的本质，体现了思维的灵活性.
4. 注重方法的通用性、应用性，突出能力考查
【例7】电信局为了满足客户的不同需求，制定了A，B两种话费计算方案.这两种方案应付话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系如下图所示（MN∥CD）.
（1）若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？ （2）方案B从500钟以后，每分钟收费多少元？
（3）通话时间在什么范围内方案B才会比方案A优惠？
解：由M（60，98），C（500，168），N（500，230）. ∵ MN∥CD.
设这两方案的应付话费与通话时间的函数关系式分别为fA（x），fB（x），
（1）通话两小时的费用分别是116元和168元.
（2）由fB（n+1）-fB（n）=0.3（n>500）或由直线CD的斜率的实际意义知方案B从500分钟以后每分钟收费0.3元.
（3）由图知：当0≤x≤60时fA（x）
，即通话时间为（
，+∞）时方案B较优惠.
【评析】此题在实际问题中融入函数，直线等知识，考查了阅读理解能力，体现了在知识应用过程中对能力的考查.
下面就高考中出现的一些相关题进行点评
【例8】. 若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围。 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。
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?3?x?0【解】 原方程变形为 ? 2??x?3x?m?3?x?3?x?0即：? 2(x?2)?1?m?设曲线y1＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y2＝1－m，图像如图所示。由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1; ②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3 此题也可设曲线y1＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y2＝m后画出图像求解。 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）。 【例9】. 直线L的方程为：x＝－ 22pp (p>0),椭圆中心D(2＋,0)，焦点在x轴上，长半轴为2，22短半轴为1，它的左顶点为A。问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A 的距离等于该点到直线L的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）。 【解】 由已知得：a＝2，b＝1, A( p,0)，设椭圆与双曲线方程并联立有： 2?y2?2px?p2?2p2，消y得：x－(4－7p)x＋(2p＋)＝0 ?[x?(2?)]422??y?1?4?所以△＝16－64p＋48p>0,即6p－8p＋2>0，解得：p< 221或p>1。 3ppp22结合范围(,4+)内两根，设f(x)＝x－(4－7p)x＋(2p＋)， 224p4?7pp1pp<<4+即p<，且f()>0、f(4+)>0即p>－4＋32。 2222221结合以上，所以－4＋32 3所以 【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题。一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围。另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用。 【例10】. 设a、b是两个实数，A＝{(x,y)|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{(x,y)|x＝m，y＝3m＋15} (m∈Z)，C＝{(x,y)|x＋y≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立。 222 18 高中数学的数形结合思想方法 【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n＋15(n∈Z)有解（A∩B时x＝n＝m）。再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12。 【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ; 设动点(a,b)在直线L：nx＋y＝3n＋15上，且直线与圆x＋y＝144有公共点， 22222222所以圆心到直线距离d＝ |3n2?15|n?12＝3(n2?1＋ 4n?12)≥12 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在。 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究。此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法。 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n＋15 ,即b＝3n＋15－an （①式）； 由(a,b)∈C得，a＋b≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： (1＋n)a－2n(3n＋15)a＋(3n＋15)－144≤0 （③式）, 它的判别式△＝4n(3n＋15)－4(1＋n)[(3n＋15)－144]＝－36(n－3) 因为n是整数，所以n－3≠0,因而△<0，又因为1＋n>0,故③式不可能有实数解。 所以不存在a、b，使得A∩B≠φ与(a,b)∈C同时成立 【例11】已知f（x）=ax+b，2a2+6b2=3，证明对任意x∈［－１，１］恒有f（x）≤ 【点拨】从等式2a2+6b2=3联想到几何图形：椭圆.于是一个好解法出现了. . 2222222222222222222 这 19 高中数学的数形结合思想方法 是本题的一个优美解，从等式的外形联想到构造一个几何图形，思维在数和形的天地里驰骋. 【例12】设p=（log2x）2＋（t-2）log2x+1-t，当t∈［－２，２］时恒有p>0，求x的范围. 【点拨】初读，无论如何与图形挂不起钩来，但t的范围不是确定了吗？而且发现p是关于t的一次函数.这个发现好极了，一次函数的图象太简单了，于是按t降幂排列：p=f（t）=（log2x-1）t+log22x-2log2x+1， ∵ t∈［－２，２］时p>0恒成立（如图2）， ∴ f（－２）>0且f（２）>0， ∴ x>8或0 简捷吧？数与形和谐地统一，使得问题真正化繁为简了. 【例13】设x≥1，求点Ａ（x+，x-）与点Ｂ（１，０）之间的距离的最小值. 【点拨】Ａ是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？ 令z=x+，y=x-， 则y2-z2=-4（z≥2）. 这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支. 用不着画出图形来，在脑子里做想像，我们准确地判断ＡＢmin=1. 【例 15】 【例14】 【点拨】机敏的读者一下子发现了一个熟悉的图形：椭圆.这样，思路纳入了解析几何的轨道，下面的解法，当然与解析几何紧密地联系在一起了. 如图３所示，设椭圆的长轴为2a，焦距为2c， 丰富的想像，是数向形转化的前提，外形的启发，是构造图象的直接提示.数形结合，既有它的优越性又有其局限性，它决非放之四海而皆准，只有那些因为数形结合而使得解答简捷的问题，我们才选用. 20