（2）通过线圈导线横截面的感应电荷为
?1q??1??2??t?1.1?10?8C
RR12－10 如图（ａ）所示，把一半径为R的半圆形导线OP置于磁感强度为B的均匀磁场中，当导线以速率v水平向右平动时，求导线中感应电动势E 的大小，哪一端电势较高？
题 12-10 图
分析 本题及后面几题中的电动势均为动生电动势，除仍可由E??解外（必须设法构造一个闭合回路），还可直接用公式E?解．
在用后一种方法求解时，应注意导体上任一导线元ｄl上的动生电动势上述各量可能是ｄl所在位置的函数．矢量dE??v?B??dl.在一般情况下，
（v×B）的方向就是导线中电势升高的方向．
解1 如图（ｂ）所示，假想半圆形导线OP在宽为2R的静止形导轨上滑动，两者之间形成一个闭合回路．设顺时针方向为回路正向，任一时刻端点O或 端点P距 形导轨左侧距离为x，则
dΦ求dt??v?B??dl求
l1??Φ??2Rx?πR2?B
2??即
E??dΦdx??2RB??2RvB dtdt由于静止的 形导轨上的电动势为零，则E＝－2RvB．式中负号表示电动势
的方向为逆时针，对OP段来说端点P的电势较高．
解2 建立如图（c）所示的坐标系，在导体上任意处取导体元ｄl，则
dE??v?B??dl?vBsin90ocosθdl?vBcosθRdθ
E??dE?vBR?cosθdθ?2RvB
?π/2π/2由矢量（v ×B）的指向可知，端点P的电势较高．
解3 连接OP使导线构成一个闭合回路．由于磁场是均匀的，在任意时刻，穿过回路的磁通量Φ?BS?常数.由法拉第电磁感应定律E??E ＝0
又因 E＝EOP＋EPO 即 EOP＝－EPO＝2RvB
由上述结果可知，在均匀磁场中，任意闭合导体回路平动所产生的动生电动势为零；而任意曲线形导体上的动生电动势就等于其两端所连直线形导体上的动生电动势．上述求解方法是叠加思想的逆运用，即补偿的方法． 12－11 长为L的铜棒，以距端点r处为支点，以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动.设磁感强度为B的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差．
dΦ可知，dt
题 12-11 图
分析 应该注意棒两端的电势差与棒上的动生电动势是两个不同的概念，如同电源的端电压与电源电动势的不同．在开路时，两者大小相等，方向相反（电动势的方向是电势升高的方向，而电势差的正方向是电势降落的方向）．本题可直接用积分法求解棒上的电动势，亦可以将整个棒的电动势看作是OA 棒与OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．而EOA和EOB则可以直接利用第12－2节例1给出的结果．
解1 如图（ａ）所示，在棒上距点O为l 处取导体元ｄl，则
EAB???v?B??dl??-rABL-r1?ωlBdl??ωlB?L?2r?
2因此棒两端的电势差为
1UAB?EAB??ωlB?L?2r?
2当L ＞2r时，端点A 处的电势较高
解2 将AB 棒上的电动势看作是OA 棒和OB 棒上电动势的代数和，如图（ｂ）所示．其中
EOA?则
112Bωr2,EOB?ωB?L?r? 221EAB?EOA?EOB??ωBL?L?2r?
212－12 如图所示，长为L的导体棒OP，处于均匀磁场中，并绕OO′轴以角速度ω旋转，棒与转轴间夹角恒为θ，磁感强度B与转轴平行．求OP棒在图示位置处的电动势．
题 12-12 图
分析 如前所述，本题既可以用法拉第电磁感应定律E??dΦ计算（此时dt必须构造一个包含OP导体在内的闭合回路，如直角三角形导体回路OPQO），也可用E???v?B??dl来计算．由于对称性，导体OP旋转至任何位置时产
l生的电动势与图示位置是相同的． 解1 由上分析，得
EOP??lOP?v?B??dl
???lsinθω?Bcos90o?θdl
l??vBsin90ocosαdl
??L12??Bsin2??0ldl??B?Lsin??
2由矢量v?B的方向可知端点P的电势较高．
解2 设想导体OP为直角三角形导体回路OPQO中的一部分，任一时刻穿过回路的磁通量Φ为零，则回路的总电动势
E??显然，EQO＝0，所以
dΦ?0?EOP?EPQ?EQO dtEOP??EPQ?EQO?112ωB?PQ???B(Lsin?)2 22由上可知，导体棒OP旋转时，在单位时间内切割的磁感线数与导体棒QP等效．
12－13 如图（ａ）所示，金属杆AB 以匀速v?2.0m?s平行于一长直导线移动，此导线通有电流I＝40 A．求杆中的感应电动势，杆的哪一端电势较高？
?1
题 12-13 图
分析 本题可用两种方法求解． 方法1：用公式E???v?B??dl求解，建立图（a）所示的坐标系，所取导
l体元dl?dx，该处的磁感强度B?μ0I． 2πx方法2：用法拉第电磁感应定律求解，需构造一个包含杆AB 在内的闭合回路．为此可设想杆AB在一个静止的导轨上滑动，如图（ｂ）所示．设时刻t，杆AB 距导轨下端CD的距离为y，先用公式Φ?B?dS求得穿过该回路的
S?磁通量，再代入公式E??电动势．
dΦ，即可求得回路的电动势，亦即本题杆中的dt解1 根据分析，杆中的感应电动势为
EAB???v?B??dl?dxl???0.1mAB1.1mμ0μIvvdx??0ln11??3.84?10?5V2πx2π式中负号表示电动势方向由B 指向A，故点A 电势较高．
解2 设顺时针方向为回路ABCD的正向，根据分析，在距直导线x处，取宽为ｄx、长为y的面元ｄS，则穿过面元的磁通量为
dΦ?B?dS?穿过回路的磁通量为
μ0Iydx 2πxΦ??dΦ??Sμ0IμIyydx??0ln11
0.1m2πx2π1.1m回路的电动势为
E??dΦμIdyμIy??0ln11??0??3.84?10?5V dt2πxdt2π由于静止的导轨上电动势为零，所以
EAB?E??3.84?10?5V
式中负号说明回路电动势方向为逆时针，对AB导体来说，电动势方向应由B指向A，故点A电势较高．
12－14 如图（ａ）所示，在“无限长”直载流导线的近旁，放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以匀速率v向右移动，求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向．