分析 两平行长直导线可以看成无限长但宽为d的矩形回路的一部分．设在矩形回路中通有逆时针方向电流I，然后计算图中阴影部分（宽为d、长为l）的磁通量．该区域内磁场可以看成两无限长直载流导线分别在该区域产生的磁场的叠加．
解 在如图所示的坐标中，当两导线中通有图示的电流I时，两平行导线间的磁感强度为
B?穿过图中阴影部分的磁通量为
μ0Iμ0I? 2πr2π?d?r?d?aΦ??B?dS??SaBldr?μ0ld?aln πa则长为l的一对导线的自感为
L?Φμ0ld?a?ln Iπa如导线内部磁通量不能忽略，则一对导线的自感为L?L1?2L2．L1称为外自感，即本题已求出的L，L2称为一根导线的内自感．长为l的导线的内自感
L2?μ0l，有兴趣的读者可自行求解． 8π12－19 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB和A′B′，每个线圈的自感均为L，求：（1）A和A′相接时，B和B′间的自感L1；（2）A′和B 相接时，A和B′间的自感L2．
题 12-19 图
分析 无论线圈AB和A′B′作哪种方式连接，均可看成一个大线圈回路的两个部分，故仍可从自感系数的定义出发求解．求解过程中可利用磁通量叠加的方法，如每一组载流线圈单独存在时穿过自身回路的磁通量为Φ，则穿过两
线圈回路的磁通量为2Φ；而当两组线圈按（1）或（2）方式连接后，则穿过大线圈回路的总磁通量为2Φ±2Φ，“±”取决于电流在两组线圈中的流向是相同或是相反．
解 （1）当A 和A′连接时，AB 和A′B′线圈中电流流向相反，通过回路的磁通量亦相反，故总通量为
Φ1?2Φ?2Φ?0，
故L1＝0．
（2）当A′和B连接时，AB和A′B′线圈中电流流向相同，通过回路的磁通量亦相同，故总通量为
Φ2?2Φ?2Φ?4Φ，
故L2?Φ2Φ?4?4L． II本题结果在工程实际中有实用意义，如按题（1）方式连接，则可构造出一个无自感的线圈．
12－20 如图所示，一面积为4.0cm2共50匝的小圆形线圈A，放在半径为20cm共100匝的大圆形线圈B的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈A内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈B中电流的变化率为－50A·ｓ时，线圈A中感应电动势的大小和方向．
－1
题 12-20 图
分析 设回路Ⅰ中通有电流I1，穿过回路Ⅱ的磁通量为Φ21，则互感M＝M21
＝Φ21/I1；也可设回路Ⅱ通有电流I2，穿过回路Ⅰ的磁通量为Φ12，则
M?M12?Φ12． I2虽然两种途径所得结果相同，但在很多情况下，不同途径所涉及的计算难易程度会有很大的不同．以本题为例，如设线圈B中有电流I通过，则在线圈A中心处的磁感强度很易求得，由于线圈A很小，其所在处的磁场可视为均匀的，因而穿过线圈A的磁通量Φ≈BS．反之，如设线圈A通有电流I，其周围的磁场分布是变化的，且难以计算，因而穿过线圈B的磁通量也就很难求得，由此可见，计算互感一定要善于选择方便的途径．
解 （1）设线圈B有电流I 通过，它在圆心处产生的磁感强度B0?NB穿过小线圈A的磁链近似为
μ0I,2RψA?NAB0SA?NANB则两线圈的互感为
μ0ISA 2RM?ψAμS?NANB0A?6.28?10?6H I2REA??MdI?3.14?10?4V dt（2）线圈A中感应电动势的大小为
互感电动势的方向和线圈B中的电流方向相同．
12－21 如图所示，两同轴单匝线圈A、C的半径分别为R和r，两线圈相距为d．若r很小，可认为线圈A在线圈C处所产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈C的匝数为N 匝，则互感又为多少？
题 12-21 图
解 设线圈A中有电流I 通过，它在线圈C所包围的平面内各点产生的磁 感强度近似为
B?穿过线圈C的磁通为
2R?d?μ0IR2223/2?
ψ?BSC?则两线圈的互感为
2R2?d?μ0IR223/2?πr2
ψμ0πr2R2 M??3/222I2R?d??若线圈C的匝数为N匝，则互感为上述值的N倍．
12－22 如图所示，螺绕环A中充满了铁磁质，管的截面积S 为2.0cm2，沿环每厘米绕有100匝线圈，通有电流I1＝4.0×10A，在环上再绕一线圈C，共10匝，其电阻为0.10Ω，今将开关Ｓ突然开启，测得线圈C中的感应电荷为2.0×10C．求：当螺绕环中通有电流I1时，铁磁质中的B 和铁磁质的相对磁导率μr．
－3
－2
题 12-22 图
分析 本题与题12-8相似，均是利用冲击电流计测量电磁感应现象中通过回路的电荷的方法来计算磁场的磁感强度．线圈C的磁通变化是与环形螺线管中的电流变化相联系的．
解 当螺绕环中通以电流I1时，在环内产生的磁感强度
B?μ0μrn1I1
则通过线圈C的磁链为
ψc?N2BS?N2μ0μrn1I1S
设断开电源过程中，通过C的感应电荷为qC，则有
qc??由此得
11NμμnISΔψc???0?ψc??20r11 RRRB??0?rn1I1?相对磁导率
RqC?0.10T N2S?r?RqC?199
N2S?0n1I112－23 一个直径为0.01m，长为0.10m的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Ω．求：（1）如把线圈接到电动势E ＝2.0V的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？*（2）从接通电路时算起，要使线圈储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？ 分析 单一载流回路所具有的磁能，通常可用两种方法计算：
方法 1：如回路自感为L（已知或很容易求得），则该回路通有电流I 时所储存的磁能Wm?12LI，通常称为自感磁能． 2方法 2： 由于载流回路可在空间激发磁场，磁能实际是储存于磁场之中，因而载流回路所具有的能量又可看作磁场能量，即Wm??VwmdV，式中wmB2为磁场能量密度，积分遍及磁场存在的空间．由于wm?，因而采用这
2μ种方法时应首先求载流回路在空间产生的磁感强度B的分布． 上述两种方法还为我们提供了计算自感的另一种途径，即运用
12LI??wmdV求解L．
V2解 （1）密绕长直螺线管在忽略端部效应时，其自感L??0N2Sl，电流