题 12 -14 图
分析 本题亦可用两种方法求解．其中应注意下列两点：
（1）当闭合导体线框在磁场中运动时，线框中的总电动势就等于框上各段导体中的动生电动势的代数和．如图（ａ）所示，导体eh 段和fg 段上的电动势为零［此两段导体上处处满足?v?B??dl?0］，因而线框中的总电动势为
E???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl???v?B??dl?Eef?Ehgefghefhg其等效电路如图（ｂ）所示． （2）用公式E??dΦ求解，式中Φ是线框运动至任意位置处时，穿过线框dt的磁通量．为此设时刻t时，线框左边距导线的距离为ξ，如图（c）所示，显然ξ是时间t的函数，且有
dξ在求得线框在任意位置处的电动势E（ξ）?v．
dt后，再令ξ＝d，即可得线框在题目所给位置处的电动势． 解1 根据分析，线框中的电动势为
E?Eef?Ehg
???v?B??dl???v?B??dl
efhgl2μ0Ivl2μ0Iv?dl?dl 2πd?02π?d?l1??0?2πd?d?l1??0Ivl1l2
由Eef＞Ehg可知，线框中的电动势方向为efgh．
解2 设顺时针方向为线框回路的正向．根据分析，在任意位置处，穿过线
框的磁通量为
???0相应电动势为
l12π?x????0Il2dx??0Il22πln??l1 ?E?ξ???dΦμIvll?021 dt2πξ?ξ?l1?μ0Ivl2l1
??2πdd?l1令ξ＝d，得线框在图示位置处的电动势为
E?由E＞0可知，线框中电动势方向为顺时针方向．
12－15 在半径为R的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B的方向与柱的轴线平行．如图（ａ）所示，有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B随时间的变化率
dB为常量．试证：棒上感应电动势的大小为 dtdBl?l?2??R???
dt2?2?2
题 12-15 图
分析 变化磁场在其周围激发感生电场，把导体置于感生电场中，导体中的自由电子就会在电场力的作用下移动，在棒内两端形成正负电荷的积累，从而产生感生电动势．由于本题的感生电场分布与上题所述情况完全相同，故可利用上题结果，由???lEk?dl计算棒上感生电动势．此外，还可连接
OP、OQ，设想PQOP构成一个闭合导体回路，用法拉第电磁感应定律求解，由于OP、OQ沿半径方向，与通过该处的感生电场强度Ek处处垂直，故
Ek?dl?0，OP、OQ两段均无电动势，这样，由法拉第电磁感应定律求出
的闭合回路的总电动势，就是导体棒PQ上的电动势． 证1 由电磁感应定律，在r＜R区域，
???Ek?dl??dB?dS ?dtdB dt2πr?Ek??πr2解得该区域内感生电场强度的大小
Ek?rdB 2dt设PQ上线元ｄx处，Ek的方向如图（b）所示，则金属杆PQ上的电动势为
?PQ?Ek?dx??Ekcos?dxrdBR2??l/2???dx 2dtr0dBl2?R2??l/2?dt2l2证2 由法拉第电磁感应定律，有
EPQdΦdBdBl?l??EΔ???S?R2???
dtdtdt2?2?2讨论 假如金属棒PQ有一段在圆外，则圆外一段导体上有无电动势？该如何求解？
12－16 截面积为长方形的环形均匀密绕螺绕环，其尺寸如图（ａ）所示，共有N匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L．
题 12-16 图
分析 如同电容一样，自感和互感都是与回路系统自身性质（如形状、匝数、介质等）有关的量．求自感L 的方法有两种：1．设有电流I 通过线圈，计算磁场穿过自身回路的总磁通量，再用公式L?Φ计算L．2．让回路中通I以变化率已知的电流，测出回路中的感应电动势EL，由公式L?EL计
dI/dt算L．式中EL和
dI都较容易通过实验测定，所以此方法一般适合于工程dt中．此外，还可通过计算能量的方法求解．
解 用方法1求解，设有电流I 通过线圈，线圈回路呈长方形，如图（ｂ）所示，由安培环路定理可求得在R1＜r＜R2范围内的磁场分布为
B?μ0NI 2πx由于线圈由N 匝相同的回路构成，所以穿过自身回路的磁链为
ψ?N?B?dS?N?SR2R1μ0NIμ0N2hIR2hdx?ln 2πx2πR1则
ψμ0N2hR2L?ln
I2πR1若管中充满均匀同种磁介质，其相对磁导率为μr，则自感将增大μr倍． 12－17 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为S1和S2，磁导率分别为μ1和μ2，管长为l，匝数为N，求螺线管的自感．（设管的截面很小）
题 12-17 图
分析 本题求解时应注意磁介质的存在对磁场的影响．在无介质时，通电螺线管内的磁场是均匀的，磁感强度为B0，由于磁介质的存在，在不同磁介质中磁感强度分别为μ1 B0和μ2 B0．通过线圈横截面的总磁通量是截面积分别为
S1和S2的两部分磁通量之和．由自感的定义可解得结果．
解 设有电流I通过螺线管，则管中两介质中磁感强度分别为
B1?μ1nl?μ1通过N匝回路的磁链为
NNI,B2?μ2nl?μ2I LLΨ?Ψ1?Ψ2?NB1S1?NB2S2
则自感
ψN2L?L1?L2??μ1S1?μ2S2
Il12－18 有两根半径均为a的平行长直导线，它们中心距离为d．试求长为l 的一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．
题 12-18 图