第一章：随机事件和概率
1 Y991-1-5
设两两相互独立的三个事件A, B和C满足条件：ABC=?，P(A)=P(B)=P(C)<1/2, 且已知 P(A∪B∪C)=9/16，则 P(A)= 。
【讲评】考点：事件的独立性，和事件的概率计算公式等。
[解]: P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+P(ABC),
22
令P(A)=x, 则3x –3x=9/16 ? 16x-16x+3=0 ? x=1/4 或3/4(舍去) 则P(A)=1/4 ? 2 Y001-1-5
设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为1/9，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则 P(A) = 。
【讲评】考点：事件的独立性，事件的运算及事件的概率计算公式等。
ˉBˉˉ)=P(BAˉ), P(A∪B)=1-P(Aˉˉ [解]:A,B独立，P(A)=1/9, P(ABB)=8/9. ˉˉ,B独立 Aˉ,Bˉˉˉ)P(B) ? A,B独立? A,B独立, A独立, P(A)P(B)=P(Aˉ)+P(B)]=P(A)P(Bˉ)+P(A)P(B)=P(Aˉ)P(B) +P(A)P(B)=[ P(Aˉ) +P(A)]P(B)=P(B) P(A)= P(A)[P(B
ˉ)=P(Bˉ) ? 由 P(A)=P(B) ? P(A
ˉBˉˉ)P(Bˉˉ)=1/3 ? P(A)=2/3 ?1/9= P(A)=P(A) ? P(A
填 2/3 。 3 Y003-2-5
在电炉上安装4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，而T(1)? T(2)? T(3)? T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于
A、{ T(1)?t0} B、{ T(2)?t0} C、{ T(3)?t0} D、{ T(4)?t0} 【讲评】考点：应用问题，审清语义，各事件的意义。 [解]: 因为T(1)? T(2)? T(3)? T(4) ，所以当T(3)?t0时，至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，则E发生。所以E={ T(3)?t0}。 . ? 选C 。
4 Y004-2-4
设A, B, C三个事件两两独立，则A, B, C相互独立的充分必要条件是
A、A与BC独立 B、AB与A∪C独立 C、AB与AC独立 D、A∪B与A∪C独立 【讲评】考点：三个事件A,B,C两两独立与A, B, C相互独立的区别与联系。
[解]: 在A, B, C三个事件两两独立的前提下，则A,B,C相互独立?P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 因为A,B,C相互独立?A与BC相互独立， 反之，A与BC相互独立?P(ABC)=P(A)P(BC)
由于在A, B, C三个事件两两独立的前提下，P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C)，
所以A与BC相互独立?P(ABC)=P(A)P(BC)= P(A)P(B)P(C)? A,B,C相互独立。?
5 Y01-4-2-4
对于任意二事件A和B，与 A∪B=B 不等价的是 A、A?B B、 Bˉ ? Aˉ C、 ABˉ =? D、 Aˉ B = ? [解]: A∪B=B ? A?B ? Bˉ ? Aˉ ? ABˉ =?，当然不等价于Aˉ B = ? 。 故选D ? 6 Y024-11
设A, B是任意二事件，其中A的概率不等于0和1，证明：P(B|A)=P(B|Aˉ) 是事件A与B独立的充分必要条件。
P(BA)P(BAˉ)P(BA)P(B)-P(BA)
[证]: P(B|A)=P(B|Aˉ) ? = ? =
P(A)P(Aˉ)P(A)1-P(A)
? P(BA)=P(B)P(A) ? A与B独立 ? 7 y033-2-6
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，
1
A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件
A、A1,A2,A3相互独立 B、A2,A3,A4相互独立 C、A1,A2,A3两两独立 D、A2,A3,A4两两独立
【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.
【详解】 因为P(A1)=1/2, P(A2)=1/2, P(A3)=1/2, P(A4)=1/4,
且 P(A1A2)=1/4, P(A1A3)=1/4, P(A2A3)=1/4, P(A2A4)=1/4, P(A1A2A3)=0, 可见有 P(A1A2)= P(A1)P(A2), P(A1A3)= P(A1)P(A3), P(A2A3)= P(A2)P(A3),
P(A1A2A3)? P(A1)P(A2)P(A3), P(A2A4)?P(A2)P(A4)
故A1, A2, A3两两独立但不相互独立；A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选(C). 【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立. 8 y034-2-5
对于任意二事件A和B
A、若AB??，则A,B一定独立. B、若AB??，则A,B有可能独立. C、若AB=?，则A,B一定独立. D、若AB=?，则A,B一定不独立.
【分析】 本题考查独立与互斥事件之间的关系，事实上，独立与互斥事件之间没有必然的互推关系.
【详解】 AB?? 推不出P(AB)=P(A)P(B), 因此推不出A,B一定独立，排除(A); 若AB=?，则P(AB)=0，但P(A)P(B)是否为零不确定，因此(C),(D) 也不成立，故正确选项为(B). 选 B 。
【评注】 当P(A)?0, P(B)?0时，若A,B相互独立，则一定有P(AB)=P(A)P(B)?0，从而有AB??. 可见，当A,B相互独立时，往往A,B并不是互斥的. 9 Y061-13
设A,B为随机事件，且P(B)>0, P(A|B)=1，则必有
A、P(A∪B)>P(A) B、P(A∪B)>P(B) C、P(A∪B)=P(A) D、P(A∪B)=P(B) 【讲评】考点：事件的运算及条件概率的定义，和事件的概率公式。
P(AB)
本题：P(A|B)=1 ? =1 ? P(AB)=P(B) ? P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)
P(B)
选 C 。 10 Y071-9
某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0 A、3p(1-p)2 B、6p(1-p)2 C、3p2(1-p)2 D、6p2(1-p)2 【讲评】考点：事件的独立性，n重独立试验的概率。 2 本题为前3次中恰有一次击中，且第4次也击中。前3次中恰有一次击中的概率为C13p(1-p)，第4次击中的概率为p，故此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为3p2(1-p)2 。 选C。 11 Y071-16 在区间(0,1)中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于1/2的概率为 。 【讲评】考点：二维均匀分布，求(X,Y)在某个区域D的概率。 本题 设X~U(0,1), Y~U(0,1) ? (X,Y)~UD ，D：0 ?1 (x,y)?D (X,Y)的密度函数为f(x,y) = ? , ?0 其他 1 P{|X-Y|<}= ? ?f(x,y)dxdy = ?? dxdy = G的面积 G2(|x-y|<1/2) 13= 1- = 44 填 3/4 。 12 y083-23 (本题满分9分) 设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有3/4产品可进行再加工且再加工的 2 合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少生产多少产品？. [讲评]：应用题，搞清题意，搞清事件之间的关系，及概率的意义。 [解]：设每天至少生产x件产品。 3 则合格产品为 0.96x+(1-0.96) x??0.8 = 0.984x 4 废品为 x - 0.984x = 0.016x 由题意知 80?0.984x - 29?0.016x ? 2?104 ? x ? 255.10 因为 x为整数, 所以 x=256 ? 13 Y093-7 设事件A与B事件互不相容，则 ( ) ˉˉ)=0, B、P(AB)=P(A)P(B) C、P(A)=1-P(B) D、P(Aˉ∪BˉA、P(AB)=1 [解]: A与B事件互不相容 ? AB=? ˉ∪ˉˉˉ，所以Aˉ∪ˉˉˉ=Ω ? P(Aˉ∪Bˉ 因为 AB= ABB= AB)=1 选 D 。 第二章：随机变量及其分布 1 Y993-1-4 在天平上重复称量一重为a的物品，假设各次称量结果相互独立且同服从正态分布 2ˉˉN(a,0.2)。若以Xa表示n次称量结果的算术平均值，则为使P{|Xa-a|<0.1}?0.95，n的最小值 应小于自然数 。 ˉ-?X-?X 【讲评】考点：随机变量的标准化的方法，当X~N(?, ?2)，则 ~N(0,1), ~N(0,1)。 ??/n利用标准正态分布的函数值（查表得到）来计算有关的参数。 ˉX0.10.1a-aˉ[解]: P{|X-a|<0.1}= P{||<} = 2?() - 1?0.95 a 0.2/n0.2/n0.2/nnn ?()?0.975 因为?(1.96)=0.975 ? ?1.96 ? n?15.27, 22所以 n的最小值应小于自然16 ? 2 Y994-2-5 假设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y=min{X,2}的分布函数 A、是连续函数 B、至少有两个间断点 C、是阶梯函数 D、恰好有一个间断点 【讲评】考点：分布函数的求法与性质。随机变量的函数的分布函数的求法。 ? 0 x<0 [解]: 设X~Exp(?), F(x)= ? ?1-e-?x x?0 ?P{X?y} y<2 F(y)=P{Y?y}=P{min{X,2}?y}=? ? 1 y?2 y<0? 0 -?y 所以 F(y)= ?1-e 0?y<2, 当y=2是一个间断点，只有一个间断点， ? ? 1 y?2 选 D 。. 3 Y003-1-4 ??1/3 若x?[0，1] 设随机变量X的概率密度为f(x)= ?2/9 若x?[3，6]， 若k使得P{X?k}=2/3，则k的取值 ??0 其他 范围是 。 【讲评】考点：已知密度函数及带有未知参数的概率，求未知参数。对连续型随机变量可以用积分或用分布函数的方法。 3 0 若x<0 x/3 若x?[0，1] [解]: 先求分布函数F(x)= 1/3 若x?(1,3) 1/3+2x/9 若x?[3，6] 1 若x?(6,+∞) 2/3=P{X?k}=1-P{X 22 设随机变量X服从正态分布N(?,?)(?>0)，且二次方程y+4y+X=0无实根的概率为1/2。则 ?= 。 2 [解]: y+4y+X=0无实根 ? ?=16-4X<0 ? X>4, 所求的概率为 P{X>4}=1/2, 因为X~N(?,?2)，所以P{X>?}=1/2，即 ?=4。 ? 填 4 。 5 Y021-2-5 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则 A、f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度 B、f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度 C、F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数 D、F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数 ????? [解]: ① 因为?② 不能有? +∞-∞ +∞-∞ f1(x)dx=1, ? +∞-∞ f2(x)dx=1, 所以? +∞-∞ (f1(x)+f2(x))dx=1+1=2，则f1(x)+f2(x)不是 +∞-∞ 某一随机变量的概率密度。 f1(x)f2(x)dx=1，反例：X1~U[0,1], X2~U[2,3]，但? f1(x)f2(x)dx=0. ③ 因为F1(+∞)+F2(∞)=1+1=2，所以F1(x)+F2(x)不是某一随机变量的分布函数。 ④ 对的。令X=max{X1,X2}，则P{X?x}=P{X1?x} P{X2?x}， 于是X的分布函数为F1(x)F2(x)。 ? 选 D 。 6 Y023-12 设一设备开机后无故障工作的时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障的时间Y的分布函数 F(y)。 [解]: X~E(?), 因为EX=1/?=5 ? ?=1/5, 每次开机无故障的时间Y=min{X,2}, 易见当y<0 时，F(y)=0；当y?2时，F(y)=1； -y/5 当0?y<2时，F(y)=P{Y?y}=P{ min{X,2}?y}=P{X?y}=1-e。 若y<0?? 0 -y/5 所以Y的分布函数 F(y)= ?1-e 若0?y<2 ? ? 1 若y?2? 7 y033-11 1??3 若x?[1，8] 设随机变量X的概率密度为 f(x)= ?3x2 F(x)是X的分布函数. 求随机 ?? 0 其他 变量Y=F(X)的分布函数. 【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。注意应先确定Y=F(X)的值域范围 (0?F(x)?1)，再对y分段讨论. 【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于x?[1, 8]，有 x13 F(x)= ? 1dt = x - 1 323t 设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数., G(y)=P{Y?y}=P{F(x)?y}，注意0?F(x)?1， 4 所以当y?0时，G(y)=0；当y?1时，G(y)=1. 对于y?[0,1]，有 3 G(y)=P{Y?y}=P{F(x)?y} = P{x- 1?y} = P{X?(y+1)3}= F[(y+1)3] = y ??0 若y<0 于是，Y=F(X)的分布函数为 G(y) = ?y 若0?y<1 ? ?1 若y?1? 【评注】 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布: 当y<0时，G(y)=0; 当 y?1时，G(y)=1; 当 0?y<1时，G(y)=P{Y?y}=P{F(x)?y} = P{X?F-1(y)} = F(F-1(y)) = y 8 y041-6 设随机变量X服从参数为 ? 的指数分布，则P(X>DX ) = . 【分析】 已知连续型随机变量X的分布，求其满足一定条件的概率，转化为定积分计算即可。 【详解】 由题设，知DX= 1/?，于是 P{X>DX}=P{X>1/?}=?1/??e dx = - e 2 -?x +∞ -?x +∞ |1/? = 1/e ? 填 1/e 。 9 Y041-13 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的?(0u?}=?，若P{|X| A、u ?/2. B、 u 1 - ?/2. C、u (1-?)/2 . D、u 1 - ? . 【分析】 此类问题的求解，可通过u?的定义进行分析，也可通过画出草图，直观地得到结论。 【详解】 由标准正态分布概率密度函数的对称性知，P{X<-u?}=?，于是 1-?=1 – P{|X| 10 Y061-14 设随机变量X服从正态分布N(?1,?12)，Y服从正态分布N(?2,?22)，且 P{|X-?1|<1}> P{|Y-?2|<1} 则必有 A、 ?1?2 C、?1?2 【讲评】考点：正态分布的标准正态化，化为同一分布的概率的比较。 X-?11Y-?21X-?1Y-?2 本题：标准正态化，P{||<}> P{||<}，因为~N(0,1)，~N(0,1)，所以 ?1?1?2?2?1?2 11 > ? ?1 选 A 。 11 y081-7 设随机变量X, Y独立同分布且X分布函数为F(x)，则Z=max{X,Y}分布函数为（ ） A、F2(x) B、F(X)F(y) C、1-[1-F(x)]2 D、[1-F(x)][1-F(y)] [讲评]：顺序统计量的分布函数，利用定义求分布函数F(z)=P{Z?z}，独立随机变量的性质， 2 [解]：F(z)=P{Z?z}=P{max{X,Y}?z}= P{X?z} P{Y?z}=F(z)F(z)=F(z) 选 A 12 y081-14 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}= . ?k-? [讲评]：泊松分布的基本性质，X~P(?)，P{X=k}=e ? k! 22 EX=?, DX=?，及EX=DX+ (EX)。 222 [解]：因为X 服从参数为1的泊松分布，所以 EX=DX+ (EX)=1+1=2， 1 于是 P{X=EX2}=P{X=2}=e -1 2 5