P(Y=0)=P(Y=1)=1/2，记Fz(z)为随机变量Z=XY的分布函数，则函数Fz(z)的间断点的个数为
A、0 B、1 C、2 D、3 [解]: FZ(z)=P(XY?z)=P(Y=0)P(XY?z|Y=0)+ P(Y=1)P(XY?z|Y=1)
= 1/2(P(XY?z|Y=0)+ P(XY?z|Y=1)) = 1/2(P(X0?z|Y=0)+ P(X1?z|Y=1))
因为X与Y相互独立，所以FZ(z)= 1/2(P(X0?z)+ P(X1?z))。 又因为当z<0时，上式FZ(z)= 1/2(0+ P(X?z))=?(z)/2 , 当z?0时，上式FZ(Z)= 1/2(1+ P(X?z))=(1+?(z))/2 ,。 可见z=0是Fz(z) 的一个间断点，而且只有一个。 选 B 。
27 Y091-22
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两球，每次取一球，以X, Y, Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球和白球的个数。 (1) 求P(X=1|Z=0)； (2)二维随机变量(X,Y)概率分布。 [解]: (1) P(X=1|Z=0)=P(X=1,Z=0)/P(Z=0), P(Z=0)=3?391?2+2?144
= , P(X=1,Z=0)= = ? P(X=1|Z=0)= 6?6366?6369
(2)因为P(X=0,Y=0)= P(X=0,Y=0,Z=2)=3?3/6?6=1/4 ,
P(X=0,Y=1)= P(X=0,Y=1,Z=1)= (2?3+2?3)/6?6= 1/3 , P(X=0,Y=2)= P(X=0,Y=2, Z=0) = (2+2)/6?6= 1/9 , P(X=1,Y=0)= P(X=1,Y=0,Z=1)=(3+3)/6?6=1/6 , P(X=1,Y=1)= P(X=1,Y=1,Z=0)= (2+2)/6?6= 1/9 , P(X=1,Y=2)= 0
P(X=2,Y=0)= P(X=2,Y=0,Z=0)=1/6?6=1/36 , P(X=2,Y=1)= 0 P(X=2,Y=2)= 0
X╲Y 0 1 2 0 1/4 1/3 1/9
所以二维随机变量(X,Y)概率分布为： ?
1 1/6 1/9 0 2 1/36 0 0
??????
28 Y093-22
?e-x 0 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ? ， ?0 其它 (1)求条件概率密度fy|X(y|x)；(2)条件概率P(X?1|Y?1)。 [解]: (1) X的边缘密度函数为fX(x)= ?-?f(x,y)dy =?0e-xdy = xe-x (x>0) ?xe-x x>0f(x,y)1 所以fX(x)= ? ?fy|X(y|x)= = (0 ?0 其它fX(x)x?1/x 0 即 条件概率密度fy|X(y|x)= ? ?0 其它 +∞ x P(X?1,Y?1) (2) P(X?1|Y?1)= P(Y?1)P(X?1,Y?1)= ? ? x?1，y?1 f(x,y)dxdy =?0dx?0edy =?0xedx = [-xe-e]0 =1-2e , -x -x -x -x -1 1x11 16 因为fy(y)= ? +∞-? f(x,y)dx =? 1 +∞y10 edx = e (y>0)， -y -y -x-y 所以P(Y?1)= ?fy(y)dy = ?edy = -e| = 1-e-1, -? 0 1 P(X?1,Y?1)1-2e-1e-2 于是P(X?1|Y?1)== 。 ? -1 = P(Y?1)1-ee-129 Y094-23 X -1 1??Y 0 1?1 已知随机变量X与Y的概率分布分别为?, , 且P(X=Y)=。 ?P 1/2 1/2??P 1/4 3/4?4(1)求二维随机变量(X,Y)的概率分布；(2)求X与Y的相关系数?xy。 1 [解]: (1) =P(X=Y)= P(X=1,Y=1) ? P(X=1,Y=0)= 1/2 – 1/4 = 1/4 4? P(X=-1,Y=1) = 3/4 –1/4 =1/2 ? P(X=-1,Y=0) =0 ?X╲Y 0 1? 所以二维随机变量(X,Y)概率分布为：? -1 0 1/2? ; ? 1 1/4 1/4? XY -1 0 1? (2) Z=XY的概率分布为：?? P 1/2 1/4 1/4? ? E(XY)= -1/4 EX=0, EY=3/4 ? Cov(X,Y) =E(XY)-EXEY= -1/4 EX= 1, EY=3/4 ? DX=1, DY=3/16 所以 ?xy= cov(X,Y) DXDY30 Y101-22 = -3 ? 3 -2x2+2xy-y2 2 2 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ae度fY|X(y|x)。 [解]: 注意：?-?edx=?2??-? +? -x2 +? ，-? 1 ?2? x2 e-2?2dx (2?2=1)= ? 2??1=? ?-?e +? -(y-x) 2 dy=?2??-? +? 1?2? =A e (y-x)2 e-2?2dy -x2 (2?2=1)= ?2??1=? (1) 本题f(x,y)= Ae +?+? -2x2+2xy-y2-(x-y)2 e -(y-x)2 因为 1=?-??-?f(x,y)dxdy=A?-?[?-?e? A=1/? (2)X的边缘密度函数为 fX(x)= ?-?f(x,y)dy= Ae +? -x2 +?+? dy]edx=A?-??edx=A??=A? -x2 +? -x2 ?-?e-(y-x)dy= Ae-x +? 22 ?= 1?e，即X~N(0, 1/2) -x2 f(x,y)1-(x-y)2 fY|X(y|x)== e, -? fX(x)?[解二]: 用二维正态分布的密度函数， 11(x-?1)22?(x-?1)(y-?2)(y-?2)2 p(x,y)= exp{-[ - + ]} 2(1-?2)?12?1?2?222??1?21-?2与f(x,y)= Ae -2x2+2xy-y2 比较，得到?1=?2=0, ?12=1/2, ?22=1, ?=1/2, A=1/? 17 所以：(X,Y)~N(0,0; 1/2, 1; 1/2) ? X的边缘分布为X~N(0, 1/2)。 第四章：随机变量的数字特征 1 Y993-1-5 X11 X12 … X1nX21 X22 … X2n 设随机变量Xij (i,j=1,2,…,n; n?2)独立同分布，EXij=2，则行列式 Y= 的 … … … …Xn1 Xn2 … Xnn 数学期望 EY= 。 【讲评】考点：独立同分布随机变量的函数的数学期望运算的性质，n阶行列式为所有的不同的n行n列元素之积项的代数和。期望算子保持线性运算，对于相互独立的随机变量期望算子保持乘法运算。 [解]: 因为期望算子保持线性运算，且随机变量Xij (i,j=1,2,…,n; n?2)独立同分布，所以利用行列式的定义展开有 EX11 EX12 … EX1n2 2…2EX21 EX22 … EX2n2 2…2EY= ==0 ? … … … …… … …EXn1 EXn2 … EXnn2 2…22 Y993-11 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，记 ?0 若X?Y?0 若X?2Y?U= V=? (1)求U和V的联合分布；(2)求U和V的相关系数。 ?1 若X>Y?1 若X>2Y 【讲评】考点：二维均匀分布的密度函数，随机变量的函数的概率的求法，概率分布的求法。 相关系数的求法。 [解]: (1) 设G1={(x,y)?G|x?y}, G2=G-G1, G3={(x,y)?G|x?2y}, G4=G-G3, ?1/2 (x..y)?G (X,Y)的联合密度函数 f(x,y)= ? ? 0 其他11111 P{U=0,V=0}=? ?f(x,y)dxdy =? ?dxdy = |G1| = ? = , 2224G1∩G2G12 11 P{U=0,V=1}=? ?f(x,y)dxdy =? ?dxdy = ?0 = 0 , 2G1∩G4G1∩G42 11111 P{U=1,V=0}=? ?f(x,y)dxdy =? ?dxdy = |G2∩G3| = ? = , 2224G2∩G3G2∩G32 1111 P{U=1,V=1}=? ?f(x,y)dxdy =? ?dxdy = |G2∩G4| = ?1 = , 222G2∩G4G2∩G42 ?U╲V 0 1? 所以U和V的联合分布为 ? 0 1/4 0? . ? 1 1/4 1/2? (2) 计算EU=3/4, EU2=3/4, DU=3/16. 计算EV=1/2, EV2=1/2, DV=1/4. 计算P{UV=0}=1/2, P{UV=1}=1/2 ? E(UV)=1/2 1311 所以cov(U,V)=E(UV) – EUEV= - ? = 2428 cov(U,V)1/81?UV= = = ? DUDV3/161/43 3 Y994-1-5 设随机变量X服从参数为?的泊松分布，且已知E((X-1)(X-2))=1，则 ? = 。 【讲评】考点：常用分布的数学期望，及期望算子的运算性质。 2222 [解]: 1= E((X-1)(X-2))=E(X-3X+2)=EX-3EX+2 = ?+? -3?+2=?-2?+? ? ?2-2?+2 = 0 ? ?=1 (注意EX2=DX+(EX)2=?+?2) ? ? ????? ???????????? 18 4 Y994-2-4 设随机变量X和Y的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y A、不相关的充分条件，但不是必要条件 B、独立的必要条件，但不是充分条件 C、不相关的充分必要条件 D、独立的充分必要条件 【讲评】考点：随机变量的独立与相关系数的关系。X与Y不相关 ? ?XY=0 ? cov(X,Y)=0 ? D(X+Y)=DX+DY 。X与Y独立?D(X+Y)=DX+DY, 反之不成立 [解]: X与Y独立?D(X+Y)=DX+DY, 反之不成立。 X与Y不相关 ? ?XY=0 ? cov(X,Y)=0 ? D(X+Y)=DX+DY . 本题C正确，B也正确。 5 Y001-2-5 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量?=X+Y与?=X-Y不相关的充分必要条件为 2222 A、E(X)=E(Y) B、E(X)-[E(X)]=E(Y)-[E(Y)] 222222 C、E(X)=E(Y) D、E(X)+[E(X)]=E(Y)+[E(Y)] 【讲评】考点：二维随机变量不相关的定义与判别。 ?, ?不相关 ? ???=0 ? E(??)=E?E? [解]:?, ?不相关 ? E(??)=E?E? , 即 E((X-Y)(X+Y))=E(X-Y)E(X+Y) ? E(X2-Y2)=(EX+EY)(EX-EY) ? EX2-EY2= (EX)2-(EY)2 ? 条件B. ? 选 B 。 6 Y001-12 某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0 【讲评】考点：应用问题，审清语义，各事件的概率，随机变量的分布，几何概率。离散型随机变量的期望与方差的求法，数列求和的基本方法。 [解]:设合格品概率为q，则q=1-p。事件{X=k}表明前k-1个为合格品，第k个为次品。 ∞∞∞ 111k-1k-1k-1k P{X=k}=qp, EX=? k(1-p)p=p? kq=p(?q)?=p()?=p2 = 1-q(1-q)pk=1k=1k=0 ∞ ∞ EX=? k(1-p)p=p? kq=p(?kq)?=p[q?kq]?= p[q(?qk)?]?=p[q( 2 2 k-1 2k-1 k k-1 k=1 k=1 k=0 k=1 k=0 ∞∞∞ 1q )?]?=p[]?= 1-q(1-q)2 1+q2-p121-p222-p =p = ， 所以 DX=EX-(EX)= - () = 2 ? (1-q)3p2p2pp7 Y003-1-5 ??1 若x>0 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量Y=?0 若x=0，则方差 DY= 。 ??-1 若X<0 【讲评】考点：随机变量X的函数Y=Y(X)的数学期望与方差的求法。本题X是连续型，Y是离散型的。 ?1/3 若x?[-1，2] [解]: X的密度函数f(x)= ? ? 0 其余 +∞20-1211-121EY=?-∞Y(x)f(x)dx=?-1Y(x)dx=?-1dx +?0dx =+ = , 333333 +∞202 111222 EY=?-∞Y(x)f(x)dx=?-1Y(x)dx=(?-11dx +?01dx )=(1+2) = 1 , 333 12822 DY=EY-(EY)=1-()= ? 39 8 Y011-2-5 将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于 A、-1 B、0 C、1/2 D、1 [解]: 在n次独立重复试验中，因为X+Y=n，所以X= -Y+n， 于是X和Y的相关系数等于 19 -1，选A。 或 cov(X,Y)=cov(-Y+n, Y)= cov(-Y, Y)= -DY, 而DX=npq, DY=nqp ? DX=DY, cov(X,Y)-DY 所以 ?XY= = = -1 . ? DYDXDY 9 Y013-1-4 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，则根据切比雪夫不等式P{|X+Y|?6}? . [解]: E(X+Y)=EX+EY= -2+2=0, D(X+Y)=DX+DY+2cov(X,Y)=1+4+2?DXDY = !+4+2(-0.5)?1?2= 3, D(X+Y)31 则根据切比雪夫不等式P{|X+Y|?6}= P{|X+Y - E(X+Y)|?6}? = = ? 623612 10 Y01-4-12 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 U=X+Y 的方差。 ?2 (x. y)?G [解]: 随机变量X和Y的联合密度函数为f(x,y)= ? ?0 其余U=X+Y, EU=??(x+y)dy = 2?0(xy+y/2)|1-xdx 2(x+y)f(x,y)dxdy = 2?dx ?01-x 2 1111 x32 EU=??(x+y)f(x,y)dxdy = 2?dx ?(x+2xy+y)dy = 2?(+x+x) dx 01-x03R2 4321xxx11=2 [++] = . 123206 11421116122 DU=EU – (EU) = -() = - = ? 636918 11 Y021-11 2 2 x3214 =2?0(x+x/2) dx = [+x]0 = . 33 1 2 R 11 22 1 ?1cosx 0?x?? 设随机变量X的概率密度为f(x)= ?22 ? 0 其他 对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大于?/3的次数，求Y2的数学期望。 ?/3?/31xx?/311 [解]: 令p=P{X>?/3}=1-?-∞f(x)dx= 1-?0cosdx = 1-sin|0=1- = . 22222kk4-k 则Y~B(n,p)=B(4,1/2), ? P{Y=k}= C4p(1-p) (k=0,1,2,3,4) EY=np=4?1/2=2, DY=npq= 1, EY2=DY+(EY)2= 1+22= 5. ? 12 Y023-1-4 设随机变量X和Y的联合概率分布为 X\\Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则X2和Y2的协方差 cov(X2,Y2)= . 22 X 0 1??Y 0 1?XY 0 1???[解]: X和Y的边缘分布 ? ? ? P 0.4 0.6??P 0.5 0.5? P 0.72 0.28? 所以 EX2=0.6, EY2=0.5, E(X2Y2)=0.28 ? cov(X2,Y2)= E(X2Y2)-EX2EY2=0.28-0.6?0.5= -0.02 ? 13 Y024-1-5 设随机变量X和Y的联合概率分布为 X\\Y -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 则X和Y的相关系数 ? = . X 0 1??Y -1 0 1??XY -1 0 1? [解]: X和Y的边缘分布 ??P 0.4 0.6? ?P 0.15 0.5 0.35? ?? P 0.08 0.7 0.20? 20