1-1填 e 2
13 Y101-7
?0 x<0
设随机变量X的分布函数为F(x) ?1/2 0?x<1， 则 P{x=1}= ( )
?1-e-x x?1
A、0 B、1/2 C、1/2 – e-1
D、1-e-1
【讲评】考点：分布函数F(x)与概率的关系，
P{X=1}=P{X?1}-P{X<1}=F(1) – F(1-)
[解]: P{X=1}=P{X?1}-P{X<1}=F(1) – F(1-) = 1-e-1– 1/2 = 1/2 – e-1 ? 选 C 。 14 Y101-8
设f1(x)为标准正态分布的概率密度，f2(x)为[-1, 3]上的均匀分布的概率密度， 若f(x)= ?
?af1(x) x?0
?
bf2(x) x>0
( a>0,b>0) 为概率密度，则a,b应满足 ( )
A、2a+3b=4 B、3a+2b=4 C、a+b=1 D、a+b=2 2
[解]: 注意：f(x)=1?1/4 -1?x?31-x
2?
e2，f2(x)= ?? 0 其它 。
+?0+?1=?-?f(x)dx=?13113-?af1(x)dx+?0bf2(x)dx= a?2 + ?0b4x = a?2 + b?4
? 4=2a+3b 选 B 。
15 Y104-7
设随机变量X服从(-1, 1)上的均匀分布，事件A={0 16 Y104-14 设随机变量X的概率分布为P{X=k}=?(1-?)k-1，k=1,2,…，其中0 [解]: 因为 5/9=P(X?2)=P(X=1)+P(X=2)= ?(1-?)1-1 +?(1-?)2-1 =?+?(1-?) ? 2? - ?2=1/9 ? ?=1/3或?=5/3(舍去) ?P(X=3)= ?(1-?)3-1=124 3(3)2 = 27 ? 填： 4 27 。 17 Y104-23 设随机变量X的概率密度为f(x)=?? |x| -1 2 ? 0 其他 ， 令Y=X+1，求 (1)Y的概率密度fY(y)；(2)求P{-1 [解]: (1) 设Y的分布函数为FY(y)，则FY(y)=P{Y?y}= P{X2+1?y}= P{X2?y-1} 若y?1，则F2 Y(y)= P{X?y-1}=P{?}=0； ) 6 若1 1-1 y-1 -y-1 |x|dx =2? 10 y-10 xdx =y-1； 若y?2，则FY(y)= P{-y-1?X?y-1}=?|x|dx =2?xdx=1。 ? 0 y?1 所以Y的分布函数为FY(y)=?y-1 1 ? 1 y?2 ? Y的概率密度fY(y)=FY?(y)= ? ? 第三章：多维随机变量及其分布 1 Y991-2-5 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)，则 A、P{X+Y?0}=1/2 B、P{X+Y?1}=1/2 C、P{X-Y?0}=1/2 D、P{X-Y?1}=1/2 【讲评】考点：正态随机变量的线性组合仍为正态变量。这里X+Y, X-Y都服从正态分布。 只要计算它们的数学期望与方差即得到具体的分布。正态分布的密度函数图形的对称性。 [解]: 注意X+Y, X-Y都服从正态分布（正态随机变量的线性组合仍为正态变量） 计算E(X+Y)=EX+EY=0+1=1, D(X+Y)+DX+XY=1+!=2 所以X+Y~N(1,2) 计算E(X-Y)=EX-EY=0-1= -1, D(X-Y)+DX+XY=1+!=2 所以X-Y~N(-1,2) 于是P{X+Y?1}=1/2 是正确的， 选 B ? 2 Y991-12 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处 X╲Y y1 y2 y3 pi* x1 1/8 其中P{X=xi}=pi* , P{Y=yj}=p*j x2 1/8 p*j 1/6 【讲评】考点：二维随机变量的联合分布律的求法，边缘分布，随机变量的独立性等。 当离散型随机变量X与Y独立，则P{X=xi,Y=yj}= pi*? p*j [解]: ①先求P{X=x1,Y=y1}=p*1 - P{X=x2,Y=y1}= 1/6 –1/8 = 1/24, ②X与Y相互独立, p2*= (1/8) /(1/6) =3/4, p1*= (1/24) /(1/6) = 1/4, ③P{X=x1,Y=y3}= 1/4 –1/24 – 1/8 = 1/12 ④ p*2=(1/8)/(1/4) = 1/2, P{X=x2,Y=y2}= p2* p*2 =(3/4)(1/2) = 3/8 , ⑤ P{X=x2,Y=y3}= 3/4 –1/8 – 3/8 = 1/4 , p*3=1/12 + 1/4 = 1/3 . X╲Y y1 y2 y3 pi* x1 1/24 1/8 1/12 1/4 得到 ? x2 1/8 3/8 1/4 3/4 p*j 1/6 1/2 1/3 1 3 Y993-2-5 -1 0 1? 设随机变量Xi ~ ??1/4 1/2 1/4? (i=1,2)，且满足P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}等于 A、0 B、1/4 C、1/2 D、1 【讲评】考点：已知分布律求概率。注意P{X1X2=0}=1 ? P{X1X2?0}=0。 [解]: 根据已知条件P{X1X2=0}=1 ? P{X1X2?0}=0 ? P{(-1,-1)}=0, P{(-1,1)}=0, P{(1,-1)}=0, P{(1,1)}=0, 再根据边缘分布得到 P{(0,-1)}=P{X2=-1}- P{(-1,-1)}- P{(1,-1)}-=1/4, ?1 1 0 其他 (2) P{-1 ?????? ?????? 7 同理得到 P{(0,1)}=1/4, ? P{(0,0)}=0, 于是 P{X1=X2}= P{(-1,-1)}+ P{(0,0)}+ P{(1,1)}= 0+0+0 = 0 选A ? 4 Y994-11 假设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(S)。 【讲评】考点：二维均匀分布的密度函数的求法与性质。随机变量的函数的密度函数的求 法。 ?1/2 0?x?2. 0?y?1 [解]：S=XY, f(x,y)= ? , ? 0 其它 FS(s)=P{S?s}=P{XY?s}= xy?s ??f(x,y)dxdy ①当s?0时，与有效区域的交为空集，所以 F(s)=0 ； ②当s?2时，XY?s复盖了整个有效区域，所以 F(s)=1 ； s112s/x121ss ③当0 2 sss = +lnx|s = (1+ln2-lns). 222 ?1(ln2-lns) 0 所以S的概率密度函数为 f(s)=F ?(s)= ?2 ? ? 0 其它 5 Y994-12 -1 0 1?? 0 1? ，而且已知随机变量X1和X2的概率分布X1 ~ ? , X ~ 2?1/4 1/2 1/4??1/2 1/2? P{X1X2=0}=1. (1)求X1和X2的联合分布；(2)问X1和X2是否独立？为什么？ 【讲评】考点：已知分布律求联合分布律。注意P{X1X2=0}=1 ? P{X1X2?0}=0。离散随机变量的独立性的判别。 [解]: 根据已知条件P{X1X2=0}=1 ? P{X1X2?0}=0 ? P{(-1,1)}=0, P{(1,1)}=0, 再根据边缘分布得到 P{(0,1)}=1/2 同理得到 P{(0,0)}=0, P{(-1,0)}=1/4, P{(1,0)}=1/4, X╲Y 0 1 -1 1/4 0 X1和X2的联合分布为 。 0 0 1/2 1 1/4 0 因为 P{X1=1,X2=0}= 1/4, 但P{X1=1}P{X2=0}=(1/4)?(1/2)=1/8，所以X1与X2不独立。? 6 Y003-12 ?1 若A出现?1 若B出现 设A, B是二随机事件；随机变量 X=? Y=? ?-1 若A不出现?-1 若B不出现 试证明随机变量X和Y不相关的充分必要条件是A与B相互独立。 【讲评】考点：二维随机变量不相关的充要条件，A与B相互独立的定义，离散随机变量独立的判别。 [证明]: X和Y不相关? cov(X,Y)=0 ? E(XY)=(EX)(EY) ?1 若AB∪AˉˉX 1 -1??Y 1 -1?B发生??分布律 ?, XY= ˉ)??P P(B) P(Bˉ)?ˉˉB发生?-1 若ABP P(A) P(A∪A ˉ), EY=P(B)-P(BˉEX=P(A)-P(A) ˉBˉˉˉB)=P(AB)+P(AˉBˉˉ)+P(AˉB))=4P(AB)-2P(A)-2P(B)+1 E(XY)=P(AB∪A)-P(AB∪A)-(P(AB ˉ))(P(B)-P(Bˉ而(EX)(EY)=( P(A)-P(A))=(2P(A)-1) (2P(B)-1)= 4P(A)P(B)-2P(A)-2P(B)+1 于是X和Y不相关? E(XY)=(EX)(EY)?P(AB)=P(A)P(B) ? A与B相互独立。? 7 Y004-11 ?????? 8 1 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 f(x,y)=[?1(x,y)+?2(x,y)] . 其中?1(x,y)和?2(x,y)都是二 2 维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1/3和-1/3，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1。 (1) 求随机变量X和Y的密度函数f1(x)和f2(y)及X和Y的相关系数?（可以直接利用二维 正态密度的性质）； (2) 问X和Y是否独立？为什么？ 【讲评】考点：已知联合密度函数是令两个密度函数的线性组合，求它的边缘密度函数。二维正态密度函数的性质。利用相关系数确定二维正态分布，判别独立性。 [解]: (1)因为边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0，方差都是1，所以?1(x,y)和?2(x,y)的边缘密度函数为标准正态分布。即 ?-??1(x,y)dy= ?-??2(x,y)dy= +∞ +∞ 12?1 e-2 , ?e-2 , ? x 2 x2 +∞ ?(x,y)dx=e2 -?1 2? 2 +∞y1--? 1 -y2 , +∞1+∞1 于是 f1(x)=fX(x)= ?-?f(x,y)dy=[?-??1(x,y)dy+?-??2(x,y)dy]= [22 2y1 同理 f2(y)=fY(y)= e-2 。可见X~N(0,1), Y~N(0,1), 2? 2? +∞ ?2(x,y)dx= 2? e2 , 12? e-2+x2 1 2? e-2]=x2 1 2? e-2, x2 ?xy=EXY-EXEY DXDYR2R2R2111 =[ - ]= 0 (注意? ?xy?1(x,y)dxdy为?1(x,y)的相关系数) 2233R (2)因为?1(x,y)对应的随机变量~N(0,0,1,1,1/3), ?2(x,y)对应的随机变量~N(0,0,1,1,-1/3), 9292 2233-(x-2xy/3+y)-所以?(x,y)=e16, ?(x,y)=e16(x+2xy/3+y), 1 =E(XY)= ? ?xyf(x,y)dxdy=1[? ?xy?1(x,y)dxdy+? ?xy?2(x,y)dxdy] 2 13 f(x,y)=[?1(x,y)+?2(x,y)]= 8?22 1221 而f1(x)f2(x)= 2?e-2(x+y), 因为f(x,y)?fX(x)fY(y), 所以X与Y不独立。 ? 8 Y011-11 设某班车起点站上客人数X服从参数为?(?>0)的泊松分布，每位在中途下车的概率为p(0 mn-m [解]: (1) P{Y=m|X=n}= Cm (m=0,1,2,3,…,n). np(1-p) ?n-? (2) 求二维随机变量(X,Y)的概率分布， 因为X~P(?), 所以P{X=n}= e n! n mn-m? P{X=n,Y=m}= P{Y=m|X=n}P{X=n}= Cmp(1-p) e-? 。 ? n n! 9 Y013-12 设随机变量X和Y的联合分布是正方形G={x,y : 1?x?3,1?y?3}的均匀分布，试求随机变量U= |X - Y| 的概率密度 p(u)。 ?1/4 1?x?3. 1?y?3 [解]: 随机变量X和Y的联合密度函数为p(x,y)= ? ? 0 其余 9292 22 -(x-2xy/3+y)-1616[ e+ e(x+2xy/3+y)] 4?2 2 4?2 则U= |X - Y| 的概率分布函数 F(u)=P{|X-Y|?u}= |x-y|?u ?? p(x,y)dxdy 。 当u<0时，F(u)=0；当u?2时，F(u)=1； 当0?u<2时，设积分的有效区域为G， 111 则F(u)=??p(x,y)dxdy= ??dxdy = ?(G的面积)= [4-(2-u)2]。(通过图形计算) |x-y|?uG444 ?(2-u)/2 0 U的概率密度 p(u)=F?(u)= ? ? ? 0 其余 9 10 Y023-11 ?-1 若U?-1?-1 若U?1?设随机变量U在区间[-2,2]上服从均匀分布，随机变量 X= Y=?, ?1 若U>-1?1 若U>1 试求：（1）X和Y的联合概率分布； （2）D(X+Y) . [解]：(X,Y)的可能值为(-1,-1), (-1,1), (1,-1), (1,1), ?1/4 若-2?U?2 U的密度函数为f(u)= ? ? 0 其他 (1) P{X=-1,Y=-1}=P{U?-1, U?1}= P{U?-1}= 1/4 (利用积分得到) P{X=-1,Y=1}=P{U?-1, U>1}= P{?}= 0 P{X=1,Y=-1}=P{U>-1, U?1}= 1/2 P{X=1,Y=1}=P{U>-1, U>1}= P{U>1}= 1/4 ?X╲Y -1 1? X和Y的联合分布? -1 1/4 0? . ? 1 1/2 1/4? X+Y -2 0 2?(X+Y)2 0 4???(2) 计算X+Y分布律得到? ? ? P 1/4 1/2 1/4? p 1/2 1/2? 所以E(X+Y)=(-2)?1/4+0+2?1/4=0, E(X+Y)2=0+4?1/2= 2 则 D(X+Y)=E(X+Y)2-(E(X+Y))2 = 2 ? 11 y031-1-5 ?6x 0?x?y?1 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)= ? ，则P{X+Y?1}= 。 ? 0 其他 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=? ?f(x,y)dxdy 进行计算. g(x,y)?z0【详解】 由题设，有 P{X+Y?1=}= f(x,y)dxdy = ?dx?6xdy = ?(6x – 12x2)dx = 0x0 x+y?1 ? ? 1/21-x1/2 1 . 4 【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x+y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 12 Y033-12 1 2? 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X~??0.3 0.7? , 而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算. 【详解】 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)= P{X+Y?u} = 0.3 P{X+Y?u|X=1}+ 0.7 P{X+Y?u|X=2} =0.3 P{Y?u-1|X=1}+ 0.7 P{Y?u-2|X=2} 由于X和Y独立，可见 G(u)= 0.3 P{Y?u-1}+ 0.7 P{Y?u-2} = 0.3F(u-1)+0.7F(u-2) 由此,得U的概率密度 g(u)= G?(u) = 0.3F?(u-1)+0.7F?(u-2) = 0.3f(u-1)+0.7f(u-2) 【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性. 13 y034-2-6 设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则 A、 X与Y一定独立. B、(X,Y)服从二维正态分布. C、 X与Y未必独立. D、X+Y服从一维正态分布. 【分析】 本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系.只有(X,Y) 服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的. 【详解】 只有当(X,Y) 服从二维正态分布时，X与Y不相关?X与Y独立，本题仅仅已知X和Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除(A); 若X和Y 10