∞
C1-1
1=? P{X=k}=? =C? = Ce ? C=e ,
k!k!k=0k=0k=0
∞∞
1
? P{X=k}=e-1 ，即X~P(?), ?=1.
k!
? EX2= DX+(EX)2= 1+12=2 ? 填 2 。 31 Y103-14
设X1,X2,…,Xn为来自总体N(?, ?2)(?>0)的简单随机样本，统计量 1n
T=? Xi2，则ET = 。 ni=1[解]: 注意：E(Xi)=E(X)=DX +(EX)= ?+? ，
1n1n1n1n
所以 ET=E(? Xi2) = E(? Xi2)= ? (E(Xi2))= ? (?2+?2)=?2+?2 .
ni=1ni=1ni=1ni=1填 ?2+?2 。
32 Y103-23
箱内有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，
(1) 求随机变量(X,Y)的概率分布； (2)求cov(X,Y)。 [解]: (1) X可能取值为0,1，Y可能取值为0,1,2。
2112
P{X=0,Y=0}= C23 / C6 =3/15 = 1/5, P{X=0,Y=1}= C2C3/ C6 =6/15 = 2/5, 2112P{X=0,Y=2}= C22/ C6 =1/15 = 1/15, P{X=1,Y=0}= C1C3/ C6 =3/15 = 1/5, 12P{X=1,Y=1}= C1C/ C126 =2/15, P{X=1,Y=2}= 0,
2
2
2
2
2
?X╲Y 0 1 2?所以(X,Y)的联合分布律为：? 0 1/5 2/5 1/15?。
? 1 1/5 2/15 0?
(2) Cov(X,Y)=E(XY)-(EX)(EY)= 2/15 – (1/3)(2/3)= - 4/45 ? 33 Y104-8
设X1,X2,…,Xn为来自总体N(?, ?2)(?>0)的简单随机样本，统计量T=
1n2
? X， ni=1i
( )
则ET
222222
A、? B、? C、?+? D、?-?[解]: 注意：E(Xi2)=E(X2)=DX +(EX)2= ?2+?2 ，
1n1n1n1n
所以 ET=E(? Xi2) = E(? Xi2)= ? (E(Xi2))= ? (?2+?2)=?2+?2 .
ni=1ni=1ni=1ni=1选 C 。
34 Y104-22
?X╲Y -1 0 1?
设二维随机变量(X,Y)的概率分布为? 0 1/3 0 a?，且，P{X+Y=1|X=0}=1/3
? 1 1/4 b 1/12?
求 (1)求常数a, b； (2) Cov(X,Y) 。
[解]: (1) 因为1/3+0+a+1/4+b+1/12=1 ? a+b=1/3，
26
P(X+Y=1,X=0)P(Y=1,X=0)a
又因为1/3=P{X+Y=1|X=0}=== ? a=1/6
P(X=0)P(X=0)a+ 1/3 ? b=1/6 ；
(2) E(XY)=1?(-1)?(1/4)+1?1?(1/12)= -1/6 E(X)=1?(1/4 + 1/6 + 1/12)=1/2
E(Y)=(-1)?(1/4 + 1/3)+1?(1/12 + 1/6)= -1/3
所以Cov(X,Y)=E(XY) – (EX)(EY)= -1/6 – (1/2)(-1/3)= 0 ?
第五章：大数定律和中心极限定理
1 Y011-1-5
设随机变量X的方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P{|X-EX|?2}? .
DX1
[解]: 根据切比雪夫不等式有估计P{|X-EX|?2}? 2 = . ?
22
2 Y011-12
设总体X服从正态分布N(?,?2) (?>0)，从该总体中抽取简单随机样本X1,X2,…,X2n(n?2)，
n
12n
ˉ = ?xi ，求统计量Y=?(xi+xn+i - 2Xˉ)2 的数学期望 E(Y)。 其样本均值为 X
2ni=1
i=1
[解]: 设Yi=Xi+Xn+i，i=1,2,…,n, 则Yi也是正态随机变量，由于EYi=2?, DYi=2?2，
所以 Yi~N(2?, 2?2).
1n1n12n1ˉˉˉ ， 考虑Y1,Y2,…,Yn的均值，Y = ?yi = ?(xi+xn+i) = ?xi = 2nX = 2X
ni=1ni=1ni=1n
nnn
1
ˉ)2 ]=E[?(yi - Yˉ)2 ]= (n-1) E[ˉ)2 ] ?(yi - Y于是所求的EY=E[?(xi+xn+i - 2X
n-1
i=1i=1i=122
= (n-1)DY = (n-1)2? = 2(n-1)? . ? 3 Y013-11
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重50千克，标准差为5千克。若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977（?(2)=0.977，其中?(x)是标准正态分布函数） [解]: 设Xi为第i箱重量(千克)，i=1,2,…,n。则EXi=EX=50，DXi=52=25。 令Z=?Xi, 则EZ=50n, DZ=25n. 要求P{Z?5000}?0.977,
Z-EZ5000-50n5000-50n
利用中心极限定理 P{Z?5000}= P{?}=?()?0.977
DZ5n5n
5000-50n
因为?(2)= 0.977，所以?2 ? 25n2-5001n+250000?0
5n
? n?98. 每辆车最多可以装98箱，才能保障不超载的概率大于0.977. ? 4 Y024-2-5
设随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，Sn=X1+X2+…+Xn, 则根据列维-林德伯格中心极限定理，当n充分大时，Sn近似服从正态分布，只要X1,X2,…,Xn
A、有相同的数学期望 B、有相同的方差
C、服从同一指数分布 D、服从同一离散型分布
[解]: 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件，X1,X2,…,Xn必须独立同分布，所以不能选
A, B。又必须具有有限的数学期望和方差，故D不一定能保证此条件，应选C。?
5 y033-1-6
27
i=1n
设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,…,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n→
1n2
∞时，Yn=?xi 依概率收敛于 .
ni=1【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2,…,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：
F1n1n
?xi ?? n?Exi (n?∞) ni=1
i=1【详解】 这里X1,X2,…,Xn，满足大数定律的条件，且EXi=DXi+(EXi)=1/4+(1/2)= 1/2，
1n21n21
因此根据大数定律有Yn=?xi 依概率收敛于 ?Exi = .
ni=1ni=126 Y05-4-14
设X1,X2,…,Xn ,…为独立同分布的随机变量列，且均服从参数为?(?>1)的指数分布，记?(x)为标准正态分布函数，则
nn? X -n?? X -n?i=1lim Pi=1
A、nlim P ?X= ?(x) B、 ?X= ?(x) ??n???nn?
nn?? X -n? X -?i=1lim Pi=1
C、nlim P ?X= ?(x) D、 ?X= ?(x) ??n??nn?
2
2
2
2
2
2
{{
i
}{{
i
}
i
}
i
}
【分析】 只需求出?xi 的期望与方差，再根据中心极限定理将其标准化即可.
i=1
nnn【详解】 由题设，EXi=1/?, DXi=1/?, i=1,2,…,n,…，于是E?xi= , D?xi= 2 ??i=1i=1
2
n
n
? Xi -?/n
n
?? Xi -n
i=1
n
根据中心极限定理，知
i=1
n/?2
=
n 其极限分布服从标准正态分布，故应选(C).
选 C 。
【评注】 本题考查中心极限定理，应注意中心极限定理的条件和结论，特别是注意结论之间的转换.
第六章：数理统计的基本概念
1 Y993-12
设X1,X2,…,X9为来自正态总体X的简单随机样本，
9112(Y1-Y2)21
Y1=(X1+X2+…+X6), Y2=(X7+X8+X9), S=?(Xi-Y2)2 , Z=
632i=7S
证明统计量Z服从自由度为2的t分布。
2
【讲评】考点：三大统计量的分布的定义，?分布，t分布与F分布的定义的变化的形式。
2(Y1-Y2)22
[证明]: 设X~N(?,?2), 则E()=(EY1-EY2)= (?-?) = 0
???
22
2(Y1-Y2)222??D()=2D(Y1-Y2)=2(DY1+DY2)=2(+) = 1 (注意Y1与Y2独立)
????632(Y1-Y2)
所以 ~ N(0,1)
?
22
(n-1)S22S2
注意Y2是X7,X8,X9的平均值， ~?(n-1), 即2~?(2), 2
??
28
2(Y1-Y2)?2(Y1-Y2)
于是随机变量 ~ t(2), 注意左式化简= = Z, 于是Z~t(2) ?
S2S2/2?2
2 Y013-1-5
设总体X服从正态分布N(0,22)，而X1,X2,…,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机变
22x1+…+x10
量 Y= 服从 分布，参数为 。
2(x112+…+x152)[解]: 注意Xi/2 ~ N(0,1).,
x12x22x102x112x122x15222
令U=()+()+…+() , 则 U~?(10).. 令V=()+()+…+() , 则V~?(5).
222222
22
U/10U/10x1+…+x10 令F= ~ F(10,5), 又F== 22 = Y, 所以Y~F(10,5) ?
V/5V/52(x11+…+x15)
3 Y023-2-5
设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则
A、X+Y服从正态分布 B、X2+Y2服从χ2分布 C、X2和Y2都服从χ2分布 D、X2/Y2 服从F分布 [解]: ①当X与Y不独立时，X+Y不一定服从正态分布. ②当X与Y独立时，X2+Y2服从χ2(2)分布.
2222
③ 因为X~N(0,1), Y~N(0,1)，所以X~?(1), Y~?(1), C正确。 ④当X与Y独立时，X2/Y2 ~F(1,1)，今X与Y不一定独立。 ? 4 y031-2-6
1
设随机变量X~t(n)(n>1), Y=2 ，则
X
22
A、Y~χ(n) B、Y~χ(n-1) C、Y~F(n,1) D、Y~F(1,n)
U1
【分析】 先由t分布的定义知X= ，其中U~N(0,1), V~?2(n)，再将其代入Y=2，然XV/n
后利用F分布的定义即可.
U1V/nV/n
【详解】 由题设知，X= ，其中U~N(0,1), V~?2(n)，于是Y=2 = 2 = 2 ，这
XUU/1V/n
1
里U2~?2(1)，根据F分布的定义知Y=2 ~ F(n,1) 故应选(C).
X
5 Y043-6
设总体X服从正态分布 N(?1,?2), 总体Y服从正态分布N(?2,?2), X1,X2,…,Xn1和 Y1,Y2,…,Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则
n1
ˉ ) +?(yj -ˉ?(Xi-Xy )2
2
n2
) = . n1+n2-2
【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.
1n11n22222
【详解】因为 E[(Xi-ˉ(yj -ˉ?X )]=?, E[?y )2]=? 故应填 ?.
n1-1n2-1
i=1
j=1
E (
i=1j=1
6 Y05-1-14
ˉ 为样本均值，S2为样本方差，则 设X1,X2,…,Xn (n?3)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X
ˉ(n-1)x (n-1)X1222
ˉ~N(0,1) B、nS ~ ?(n) C、A、nX ~ t(n-1) D、2 ~ F(1,n-1)
SX2+X32+…+Xn2
2
ˉˉx-?(n-1)Sx-?2
【讲评】考点：四大抽样分布的基本定义。 ~N(0,1)； ~?(n)； ~ t(n-1)； 2
??/nS/n
X/m
~F(m,n)，其中X~?2(m)，Y~?2(n)。 Y/n
2
ˉx-02(n-1)S2
ˉ本题：nX = X1+X2+…+Xn ~N(0,n)；(n-1)S= ~?(n-1)； ~ t(n-1)； 2
?S/n
29
(n-1)X1X1/1
~F(1,n-1)。 222 =22
X2+X3+…+Xn(X2+X3+…+Xn2)/(n-1) 选 D 。
第七章：参数估计
1 Y991-13
22
?6x(?-x) 0 ? 0 其他 ^样本。 (1)求?的矩估计量 ^? ；(2)求 ^? 的方差D( ? )。 【讲评】考点：矩估计的基本方法，即用样本矩来替代总体矩，而解得未知参数的值。方差的计算。 22334+∞??6x6x6x6x?6x? [解]:(1)一阶总体矩?1=EX=?-∞xf(x)dx = ?03(?-x)dx = ?0(2 - 3)dx = 2|0 - 3|0 ???3?4? 311n^ˉ 。 ˉ 代替?1得到 Xˉ=1^=2? - ? = ? , 用一阶样本矩 A1=?xi =X? 所以 ?=2X22ni=12^ˉ)=4D(Xˉ)= 4D(X), (2) D(?)=D(2X n 3445+∞?3? 6x6x6x6x?6x?3262322 EX=?xf(x)dx = ?3(?-x)dx = ?(2 - 3)dx = 2| - 3| =? - ? = ?2 , -∞0?0??3?04?02510 311412 D(X)=EX2 – (EX)2= ?2 - ?2 = ?2 , D(^ ?)=D(X)= ? ? 10420n5n 2 Y001-13 ?2e--2(x-?) x>? 设某种元件的使用寿命X的概率密度为 f(x;?)= ? 其中?>0为未知参数， ? 0 x?? 又设x1,x2,…,xn是X的一组样本观察值，求参数?的最大似然估计值。 【讲评】考点：求参数?的最大似然估计值的基本方法。注意某些似然函数不存在驻点，在边界上达到最值点。 [解]： 设L(?)=2e n-?2(xi-?) 2 i=1nn xi>? , i=1,2,…,n, ni=1 因为 lnL=nln2-2?(xi-?), lnL有极大值??(xi-?)最小? ?=min{xi} i=1 所以参数?的最大似然估计值为 ^ ?L= min{x1,x2,…,xn}. ?3 Y003-11 假设0.50, 1.25, 0.80, 2.00是来自总体X的简单随机样本值。已知Y=lnX服从正态分布N(?,1) （1） 求X的数学期望EX (记Ex为b)； （2） 求 ? 的置信度为0.95的置信区间； （3） 利用上述结果求b的置信度为0.95的置信区间。 【讲评】考点：已知随机变量的分布，求这个随机变量的函数的数学期望。利用样本值来求?的置信区间，再求?的函数的置信区间。 2 (y-?)1-[解]: (1)X=eY, f(y)=e2 , -∞ Y +∞ 2? 1+∞ 2? ?-∞e 2 Y (y-?)2 e-2 t=y-?1dy== = e?+1/2 . ( 因为 1 2?-∞ ?+∞ 2? ?-∞e +∞ t+? t2 e-2 dt = e ?+1/2 12? ?-∞ +∞ (t-1)2e-2 dt t-e2 dt=1) (2)样本值x1=0.50, x2=1.25, x3=0.80, x4=2.00 ? y1=ln0.50, y2=ln1.25, y3=ln0.80, y4=ln2.00, ˉ=1(y1+y2+y3+y4)=1ln(0.5?1.25??0.8?2)=1ln1=0, Y~N(?, 1) Y444 30