都服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X,Y是否独立，可排除(B); 同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除(D).故正确选项为(C).
【评注】 ① 若X与Y均服从正态分布且相互独立，则(X,Y)服从二维正态分布.
② 若X与Y均服从正态分布且相互独立，则aX+bY服从一维正态分布. ③ 若(X,Y)服从二维正态分布，则X与Y相互独立?X与Y不相关. 14 Y041-22
设A,B为随机事件，且P(A)=1/4, P(B|A)=1/3, P(A|B)=1/2，令
?1 若A发生?1 若B发生?X= Y=? ?0 若A不发生?0 若B不发生
求：（I）二维随机变量(X,Y)的概率分布； （II）X和Y的相关系数?XY
【分析】 先确定(X,Y)的可能取值，再求在每一个可能取值点上的概率，而这可利用随机事件的运算性质得到，即得二维随机变量(X,Y)的概率分布；利用联合概率分布可求出边缘概率分布，进而可计算出相关系数。
【详解】 （I） 由于P(AB)=P(A)P(B|A) = 1/12， P(B)=P(AB)/P(A|B) = 1/6
ˉ) =P(A)-P(AB) = 1/6， 所以， P{X=1,Y=1}=P(AB) = 1/12，P{X=1,Y=0}=P(AB
ˉB) =P(B)-P(AB) = 1/12， P{X=0,Y=1}=P(AˉBˉP{X=0,Y=0}=P(A) =1-P(A∪B)=1-P(A)-P(B)+P(AB) = 2/3， ?X╲Y 0 1?
故(X,Y)的概率分布为 ? 0 2/3 1/12?
? 1 1/6 1/12?
X 0 1??Y 0 1? (II) X, Y的概率分布分别为 ? , ?P 3/4 1/4??P 5/6 1/6?
则EX=1/4, EY-1/6, DX=3/16, DY=5/36, E(XY)=1/12.
Cov(X,Y)15
故 Cov(X,Y)= E(XY)-EXEY = 1/24，从而 ?XY= =
15DXDY
【评注】 本题尽管难度不大，但考察的知识点很多，综合性较强。通过随机事件定义随机变量或通过随机变量定义随机事件，可以比较好地将概率论的知识前后连贯起来，这种命题方式值得注意。 15 Y044-23
设随机变量X在区间 (0,1)上服从均匀分布，在X=x (0 (Ⅰ) 随机变量X和Y的联合概率密度； (Ⅱ) Y的概率密度； (Ⅲ) 概率 P{X+Y>1}． 【分析】正确理解已知条件, 即条件密度是求解本题的关键. ?1 0 【详解】 (Ⅰ) X的概率密度为 fX(x)= ? ?0 其他 ?1/x 0 在X=x (0 ?0 其他 当 0 ?1/x 0 在其它点 (x,y)处，有 f(x,y) =0，即f(x,y) = ? ?0 其他 (Ⅱ) 当0 +∞11 fY(y)= ?f(x,y)dx = ? dx = -lny ； -∞yx ?-lny 0 当y?0或y?1时，fY(y)=0．因此 fY(y)= ? ? 0 其他 11 111 (Ⅲ) P{X+Y>1}= ? ?f(x,y)dxdy = ?dx ? dy = ?(2 - )dx = 1 – ln2. ? 1/21-xx1/2xx+y>1 【评注】本题考查了二维连续型随机变量的边缘概率密度, 条件概率密度, 联合概率密度的相互关系，以及二维连续型随机变量取值于一个区域的概率的计算，属于综合性题型． 16 Y05-1-13 ?X╲Y 0 1? 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为 ? 0 0.4 a? ? 1 b 0.1? 已知随机事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立，则 A、a=0.2, b=0.3 B、a=0.4, b=0.1 C、a=0.3, b=0.2 D、a=0.1, b=0.4 【讲评】考点：二维随机变量的概率分布的特点，事件的独立性，事件的交。 本题：首先0.4+0.1+a+b=1 ? a+b=0.5 又事件的交{X=0}∩{X+Y=1}={X=0,Y=1}， 根据独立性P{X=0}P{X+Y=1}=P{X=0,Y=1}，即(0.4+a)(a+b)=a 解得 a=0.4, b=0.1 选 B 。 17 Y05-1-22 ?1， 0 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y) = ? ?0， 其它 求：(1) (X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)； (2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) 。 【讲评】考点：二维连续型随机变量的概率密度函数f(x,y)，求(X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)； 1x fX(x)= ?-∞f(x,y)dy，fY(y)= ?-∞f(x,y)dx；求二维随机变量的函数的概率密度 fZ(z) 。 0 ? +∞ +∞ +∞+∞ 0 fY(y)= ?-∞f(x,y)dx==== ?y/21dx= 1-y, 所以边缘概率密度fY(y)= ?0 其它 ?2 0 (2) FZ(z)=P{2X-Y?z}=??f(x,y)dxdy==== 1-??1dxdy =1-?z/2dx? 1 2x-z0 1dy =1-?z/2(2x-z)dx= z - 2x-y?z1 ?0 2 z<0 FZ(z)= ?z-z/4 0?z<2 ?1 z?2 所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ?(z)= ? z 4 2 D1 ?1-z/2 0?z<2 ? ?0 其它 18 Y05-1-6 从数1,2,3,4中任取一个数，记为X，再从1,2,…,X中任取一个数，记为Y，则P{Y=2}= 。 【讲评】考点：二维离散随机变量的分布与概率的求法。 本题：记P{(a,b)}=P{x=a,y=b}，则P{Y=2}=P{(1,2)}+ P{(2,2)}+ P{(3,2)}+ P{(4,2)} 111111 P{(1,2)}=0, P{(2,2)}= ?, P{(3,2)}= ?, P{(4,2)}= ?, 424344 11113 P{Y=2}=0+++ = 812164813 填 。 48 19 Y05-3-22 ?1， 0 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y) = ? ?0， 其它 求：(1) (X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)； (2) Z=2X-Y的概率密度 fZ(z) ； 12 (3) P{Y?1/2 | X?1/2}。 【讲评】考点：二维连续型随机变量的概率密度函数f(x,y)，求(X,Y) 的边缘概率密度fX(x), fY(y)； fX(x)= ?-∞f(x,y)dy，fY(y)= ?-∞f(x,y)dx；求二维随机变量的函数的概率密度 fZ(z) 。 0 ? +∞ +∞ +∞ +∞ 0 fY(y)= ?-∞f(x,y)dx==== ?y/21dx= 1-y, 所以边缘概率密度fY(y)= ?0 其它 ?2 0 1 2x-z0 1dy =1-?z/2(2x-z)dx= z - 2x-y?z 1 ?0 2 z<0 FZ(z)= ?z-z/4 0?z<2 ?1 z?2 所以Z的概率密度 fZ(z)=FZ?(z)= ? z 4 2 D1 ?1-z/2 0?z<2 ?0 其它 P{Y?1/2. X?1/2}3/163 (3) P{Y?1/2|X?1/2}= = = ? P{X?1/2}1/44 20 Y061-6 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则 P{max{X,Y}?1}= . 【讲评】考点：随机变量的独立性，均匀分布的概率的求法，联合分布的概率的求法。 本题：P{max{X,Y}?1}=P{X?1且Y?1}，因为X与Y相互独立，所以 111111 P{X?1且Y?1}= P{X?1}P{Y?1}=?= 。（这里P{X?1}=?dx= ） 033393 1 填 。 9 21 y061-22 ?1/2 -1 设随机变量X的概率密度为 fx(x) = ?1/4 0?x<2， ? 0 其他 令Y=X2 , F(x,y) 为二维随机变量(X,Y)的分布函数. (Ⅰ) 求Y的概率密度 fY(y)； (Ⅱ) Cov(X,Y)； (Ⅲ) F(-1/2, 4). 【讲评】考点：随机变量的函数的分布函数与密度函数，利用分布函数求密度函数，二维随机变量的协方差，二维联合分布函数的值的计算。 [解]：(1) FY(y)=P{Y?y}= P{X2?y}， ①当y<0时，FY(y)=P{?}=0； 01y 132 ②当0?y<1时，则FY(y)= P{X?y}= P{-y?X?y}=?-y dx+?0 dx = y ； 244111 ③当1?y<4时，则FY(y)= P{X?y}= ?-y+?-1+?0=?-1dx +?0dx = +y ； 2424 ④当y?4时，则FY(y)=1； ??3/8y 0 那么 fY(y)=FY?(y)= ?1/8y 1?y?4 ? 0 其他? (2)Cov(X,Y)=Cov(X,X2)=EX3-(EX)(EX2) 012101211522 EX=?xdx+?xdx = , EX=?xdx+?x2dx = , -1204-120446 2 -10y 01 y 13 7715231 EX=?-1xdx+?0xdx = , 所以Cov(X,Y)= -? = 。 2488463 2 (3) F(-1/2, 4)=P{X?-1/2, Y?4}= P{X?-1/2, X?4}= P{X?-1/2, -2?X?2}= P{-2?X?-1/2} -1/211 =?-1dx = ? 24 22 Y064-22 X╲Y -1 0 1 -1 a 0 0.2 设二维随机变量 (X,Y) 的概率分布为 0 0.1 b 0.2 1 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望 EX= -0.2，P{Y?0|X?0}=0.5，记 Z=X+Y，求 (Ⅰ) a,b,c的值； (Ⅱ) Z的概率分布； (Ⅲ) P{X=Z}. 【讲评】考点：二维离散型随机变量的概率的计算，边缘分布等概念。 nm 本题：(1)因为 ? ? pij=1，所以a+b+c+0.6=1 ? a+b+c=0.4 3 0 31 2 ?????? i=1j=1 -0.2=EX=(-1)(0.2+a)+0+1(c+0.1) ? -a+c= -0.1 P{Y?0且X?0}a+b+0.1 0.5= P{Y?0|X?0}= = ? a+b=0.3 P{X?0}a+b+0.5 解得 a=0.2, b=0.1, c=0.1. (2) 因为Z=X+Y，Z可能的值为-2，-1，0，1，2。 P{Z= -2}=P{X= -1}+P{Y= -1}=0.2, P{Z= -1}=P{(-1,0)}+P{(0,-1)}=0.1, P{Z= 0}=P{(-1,1)}+P{(0,0)}+P{(1,-1)}=0.3, P{Z= 1}=P{(1,0)}+P{(0,1)}=0.3, Z -2 -1 0 1 2? P{Z= 2}=0.1, 所以Z的概率分布为 ??P 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1? (3) P{X=Z}=P{X=X+Y}=P{Y=0}=0+0.1+0.1=0.2 ? 23 Y071-10 设随机变量(X,Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fx(x), fy(y), 分别表示X,Y的概率密度。则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX|Y(x|y),为 A、fx(x), B、fy(y), C、fx(x) fy(y), D、fx(x)/fy(y), f(x,y) 【讲评】考点：条件概率的意义fX|Y(x|y)=，(X,Y)~二维正态分布, ?xy=0?X与Y相互独立。 fY(y) f(x,y)fX(x)fY(y) 本题因为fX|Y(x|y)= = = fX(x) 。 fY(y)fY(y) 选A。 24 Y071-23 ?2-x-y 0 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)= ? ? 0 其他 (1) 求P{X>2Y}； (2) 求 Z=X+Y的概率密度。 【讲评】考点：二维随机变量(X,Y)的概率的计算，相当于求(X,Y)在某个区域D内的二重积分的值。 1x/21 y2x/2 [解]：(1) P{X>2Y}=? ?f(x,y)dxdy =? ?(2-x-y)dxdy =?0dx?0(2-x-y)dy=?0(2y-xy-)|0dx= 2(x?2y)G 1 x2x2x25x31157=?0(x--)dx = (- )|0 = – = . 2822422424 14 (2) ①当z<0时，由图形易知Fz(z)=0； z z-x z zx2 y2z-xz2 ② 当0 32333zxzzzz =(-x2+(2z-)x| = -z2+2z2- = -+z2 ； 620623 2111 y1 ③ 当1 2 21x2 z31 =1-?z-1(-2+x-2z+2+2)dx= 1- 3(2-z)2 ； ④ 当z?2时，由图形易知Fz(z)=1。 2 0 fz(z)=F?z(z)= ?z-4z+4 1?z<2 . ? ? 0 其他 25 y081-22 （22）（本题满分9分） 设随机变量X与Y相互独立，X概率分布为P{X=i}=1/3 (i=-1, 0 1)， ?1 0?y?1 概率密度为fY(y)= ?， 记Z=X+Y ?0 其它 (1)求P{Z?1/2 | X=0}, (2)求Z的概率密度。 [讲评]：离散型随机变量与连续型随机变量的和函数的概率分布及密度分布的求法，条件分布的计算。 1111/21 [解]：(1) P{Z?|X=0}= P{X+Y?|X=0}= P{Y?}=?01dy=. 2222 (2) 当z?2时，F(z)=P{X+Y?z}= P{Y?z-x}=?-∞0dy +?01dy +?10dy =1； 当z<-1时，F(z)=P{X+Y?z}= P{Y?z-x}=?0dy =0； -∞z-x 01z-x 当-1?z<2时，F(z)=P(Z?z)=P(X+Y?z)= = P(X+Y?z|X=-1)P(X=-1)+ P(X+Y?z|X=0)P(X=0)+ P(X+Y?z|X=1)P(X=1)= 1 =[P(Y?z+1)+P(Y?z)+P(Y?z-1)] 3 1z+11 ①当-1?z<0时，F(z)== ?01dy =(z+1) 33 z 111 ②当0?z<1时，F(z) =[P(Y?z+1)+P(Y?z)+P(Y?z-1)]= [1+?01dy+0] =(z+1) 333 z-1 11 ③当1?z<2时，F(z)== [1+1+?01dy] =(z+1) 33 0 z<-1??1 -1?z<2?1 所以 F(z)= ?(z+1) -1?z<2 Z的概率密度f(z)= ?3 ? 3?0 其他??1 z?2 26 Y091-8 设随机变量X与Y相互独立，且服从标准正态分布N(0,1)，Y的概率分布为 15