2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试用时120分钟．第I卷1至2页，第II卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
祝各位考生考试顺利！
第I卷
注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上．并在规定位置粘贴考试用条形码． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效． 3．本卷共10小题，每小题5分，共50分． 参考公式：
如果事件A，B互斥，那么
球的表面积公式S?4πR 球的体积公式V?2P(A?B)?P(A)?P(B)
43πR 3如果事件A，B相互独立，那么
其中R表示球的半径
P(A?B)?P(A)?P(B)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
i3(i?1)1．i是虚数单位，?（ ）
i?1A．?1
B．1
C．?i
D．i
?x?y≥0，?2．设变量x，y满足约束条件?x?y≤1，则目标函数z?5x?y的最大值为（ ）
?x?2y≥1.?A．2
B．3
C．4
D．5
3．设函数f(x)?sin?2x??????，x?R，则f(x)是（ ） 2?
B．最小正周期为?的偶函数 D．最小正周期为
A．最小正周期为?的奇函数 C．最小正周期为
?的奇函数 ??的偶函数 ?4．设a，b是两条直线，?，?是两个平面，则a?b的一个充分条件是（ ） A．a??，b∥?，??? C．a??，b??，?∥?
B．a??，b??，?∥? D．a??，b∥?，???
x2y25．设椭圆2?2?1(m?1)上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，
mm?1则P到右准线的距离为（ ） A．6
B．2
C．
1 2D．27 7T?xa?x?a?8，S?T?R，6．设集合S?xx?2?3，则a的取值范围是（ ）
A．?3?a??1
C．a≤?3或a≥?1 7．设函数f(x)?
B．?3≤a≤?1 D．a??3或a??1
????1(0≤x?1)的反函数为f?1(x)，则（ ）
1?xA．fB．fC．fD．f?1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1 (x)在其定义域上是减函数且最小值为0 (x)在其定义域上是减函数且最大值为1 (x)在其定义域上是增函数且最小值为0
??x?1，x?0，则不等式x?(x?1)f(x?1)≤1的解集是（ ）
?x?1，x≥0，?1?1?18．已知函数f(x)???C．?xx≤A．x?1≤x≤2?1
?B．xx≤1
D．x?2?1≤x≤2?1
??2?1
?
???∞?上是增函数．令9．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间?0，2??5??5?????，，a?f?sinb?fcosc?ftan?????，则（ ） 777??????A．b?a?c B．c?b?a C．b?c?a D．a?b?c
10．有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（ ） ．．A．1344种
B．1248种
C．1056种
D．960种
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 2．用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上． 3．本卷共12小题，共100分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．
2??211．?x?． ?的二项展开式中x的系数是 （用数字作答）x??12．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43?，则该正方体的表面积为 ．
13．已知圆C的圆心与抛物线y?4x的焦点关于直线y?x对称，直线4x?3y?2?0与圆C相交于A，B两点，且AB?6，则圆C的方程为 ．
25????????2)，BD?(?3，2)， 14．如图，在平行四边形ABCD中，AC?(1，D C ????????则AD?AC? ．
15．已知数列?an?中，a1?1，an?1?an?A B 1(n?N*)，则liman? ． n?1n??32?2a?，都有y??a，a16．设a?1，若仅有一个常数c使得对于任意的x??a，??满足方程
logax?logay?c，这时a的取值的集合为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分） 已知cos?x?????2??3???，x???，?． 4?10?24?（Ⅰ）求sinx的值； （Ⅱ）求sin?2x??????的值． 3? 18．（本小题满分12分）
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为未命中的概率为
1与p，且乙投球2次均21． 16
（Ⅰ）求乙投球的命中率p；
（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为?，求?的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB?3，AD?2，PA?2，
PD?22，∠PAB?60?．
（Ⅰ）证明AD?平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P?BD?A的大小． 20．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?x?P A B
C D a?b(x?0)，其中a，b?R． x（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y?3x?1，求函数f(x)的解析式； （Ⅱ）讨论函数f(x)的单调性；
2?，不等式f(x)≤10在?，（Ⅲ）若对于任意的a??，1?上恒成立，求b的取值范围．
21．（本小题满分14分）
?1??2??1??4?0)，一条渐近线的方程是5x?2y?0． 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(?3，（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若以k(k?0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
22．（本小题满分14分）
在数列?an?与?bn?中，a1?1，b1?4，数列?an?的前n项和Sn满足nSn?1?(n?3)Sn?0，
81，求k的取值范围． 22an?1为bn与bn?1的等比中项，n?N*．
（Ⅰ）求a2，b2的值；
（Ⅱ）求数列?an?与?bn?的通项公式；
*（Ⅲ）设Tn?(?1)1b1?(?1)2b2?…?(?1)nbn，n?N，证明Tn?2n，n≥3．
aaa2
2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）参考解答
一、选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1．A 2．D 3．B 4．C 5．B 6．A 7．D 8．C 9．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． 11．40 15．
12．24 16．?2?
13．x?(y?1)?10
2210．B
14．3
7 6三、解答题
17．本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、特殊角三角函数值、两角和的正弦、两角差的余弦、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ⅰ）解法一：因为x??，?，所以x???3???24????????，?，于是 4?42?????72??sin?x???1?cos2?x???．
4410??????????????????sinx?sin??x?????sin?x??cos?cos?x??sin
4?4?4?44?4?????722224????． 10210252221cosx?sinx?，即cosx?sinx?． 221052解法二：由题设得
22又sinx?cosx?1，从而25sinx?5sinx?12?0，解得sinx?因为x??，?，所以sinx?43或sinx??． 55??3???24?4． 5