以下分两种情况：
（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是
QA?(?2,?y0),QB?(2,?y0）由QA?QB=4，得y0=?22 2k18k2 （2）当K?0时，线段AB的垂直平分线方程为Y??(x?) 221?4kk1?4k
令x=0，解得y0??????6k
1?4k2?
由QA?(?2,?y0),QB?(x1,y1?y0）
?2(2?8k2)6k4k6kQA?QB??2x1?y0(y1?y0）=?(?) 22221?4k1?4k1?4k1?4k??
4(16k4?15k2?1)=?4 22(1?4k)整理得7k?2,故k??2
14214所以y0=? 75214 5
综上y0=?22或y0=?（21）本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运
算能力及用函数思想分析解决问题的能力，满分14分 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e
?x
令f’（x）=0,解得x=1 当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表 X f’（x） f（x） （??,1） + 1 0 极大值 （1,??） - ? ?
所以f（x）在（??,1）内是增函数，在（1,??）内是减函数。 函数f（x）在x=1处取得极大值f（1）且f（1）=
1 ex?2 （Ⅱ）证明：由题意可知g（x）=f（2-x）,得g（x）=（2-x）e
令F（x）=f（x）-g（x）,即F(x)?xe于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?x
?(x?2)ex?2
?1)e?x
当x>1时，2x-2>0,从而e∞）是增函数。
2x-2?1?0,又e?x?0,所以F’（x）>0,从而函数F（x）在[1,+
又F（1）=e?e?0，所以x>1时，有F（x）>F（1）=0,即f（x）>g（x）． （Ⅲ）证明：（1）
若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。
-1-1 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。
根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.
由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而
f(x1)>f(2-x2)．因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f（x）在区间（-∞，1）内事增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2．
（22）本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得a
所以a?a?4k,k?N*。 2k?12k?12k?1?a1?(a?a)?(a?a)?...?(a3?a1)
2k?12k?12k?12k?3=4k?4(k?1)?...?4?1 =2k（k+1） 由a1=0，得a?2k(k?1),从而a?a?2k?2k2,a?2(k?1)2.
2k?12k2k?12k?2
aaak?1a2k?2k?12k?12k?2于是?,?,所以?2k?1。 akakaa2k2k?12k?12k*所以dk?2k时，对任意k?N,a
2k,a,a成等比数列。 2k?12k?2 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由a,a,a,a成等差数列，及a,a成
2k?12k2k?12k2k?12k?2aa2k?1等比数列，得2a?a?a,2??2k?1?1?qk
2k2k?12k?1aaq2k2kk?1
当q1≠1时，可知qk≠1，k?N
*
从而
1qk?1?2?11qk?1?1?1q?1k?1?1,即1qk?1?1q?1k?1?1(k?2)
??1??所以??是等差数列，公差为1。
q?1??k??4?2,1=1．由（Ⅰ）有 2q?11 （Ⅱ）证明：a1?0，a2?2，可得a3?4，从而q1?
1qk?1?1?k?1?k,得qk?k?1,k?N*
k
2aaa（）*所以2k?2?2k?1?k?1,从而2k?2?k?21,k?N
aakak2k?12k2k
因此，a2ka2ka2k?2a4k2(k?1)2222????a2????2?2k?a2k?1 222a2k?2a2k?4a2(k?1)(k?2)1
?a2k?k?1?2k(k?1),k?N* k*以下分两种情况进行讨论：
当n为偶数时，设n=2m（m?N）
k2?2． 若m=1,则2n??ak?2kn若m≥2，则
mmk2(2k)2m?1(2k?1)24k2??????2+ ?a2k?1k?2akk?1a2kk?1k?12knm?1m?1?4k2?4k?4k2?4k?11?1?11???2m???2m?2?????????2k(k?1)?2?kk?1??k?12k(k?1)k?1?2k(k?1)k?1???m?1
1131?2m?2(m?1)?(1?)?2n??2m2n.nk2313k2??,从而?2n???2,n?4,6,8... 所以2n??a2n2k?2kk?2akn
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m?N）
*k22mk2(2m?1)31(2m?1)2????4m??? ?a2m?122m2m(m?1)k?2akk?2akn2
?4m?1131 ??2n??22(m?1)2n?1n
nk2313k2??,从而?2n???2,n?3,5,7·所以2n??·· a2n?12ak?2kk?2kn3k2?2 综合（1）（2）可知，对任意n?2,n?N,有?2n??2k?2ak
?
证法二：（i）证明：由题设，可得dk?a2k?1?a2k?qka2k?a2k?a2k(qk?1),
dk?1?a2k?2?a2k?1?qk2a2k?qka2k?a2kqk(qk?1),所以dk?1?qkdk
qk?1?a2k?3a2k?2?dk?1ddq?1??1?2k?1?1?k?1?k a2k?2a2k?2qka2kqka2kqkq11?k??1，
qk?1?1qk?1qk?1qk?11?
由q1?1可知qk?1,k?N*。可得
?1?所以??是等差数列，公差为1。
q?1?k?（ii）证明：因为a1?0,a2?2,所以d1?a2?a1?2。 所以a3?a2?d1?4，从而q1?
?1?a31?2，?1。于是，由（i）可知所以??a2q1?1?qk?1?是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
1= 1??k?1??k，故qk?1qk?
从而
k?1。 kdk?1k?1?qk?。 dkkdkdddkk?12?k.k?1........2?.......?k，由d1?2，可得dk?2k。 d1dk?1dk?2d1k?1k?212 所以
于是，由（i）可知a2k?1?2k?k?1?,a2k?2k,k?N* 以下同证法一。
绝密★启用前
2011年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修II）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页，第II卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷
注意事项：
1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题上作答无效。 ．．．．．．．．
3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）复数z＝1+i，z为z的共轭复数，则zz-z-1＝
（A）-2i （B）-i （C）i （D）2i （2）函数y＝2x（x≥0）的反函数为
xx（A）y＝（x∈R） （B）y＝（x≥0）
4422（C）y＝4x2（x∈R） （D）y＝4x2（x≥0） （3）下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是
（A）a>b+1 （B）a>b-1 （C）a2>b2 （D）a3>b3
（4）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若a1?1，公差d = 2, Sk?2?Sk?24,则k = (A ) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5 (5) 设函数f?x??cos?x???0?，将y?f?x?的图像向右平移所得的图像与原图像重合，则?的最小值等于
1 （A） （B）3 （C）6 （D）9
3?个单位长度后，3