第五单元 随机变量的数字特征
一、判断题
1、方差反映了随机变量的波动性，对于连续型随机变量来说，方差越大，其密度函数的图形就越陡峭；反之，密度函数的图形就越平缓。
2、数学期望具有线性性质，即有E(aX?bY?c)?aEX?bEY?c(a,b,c为常数). 3、对任一随机变量X，总有 E[(X?EX)2]?E(X2)?(EX)2. 4、设有随机变量X，对任一常数c，总有DX?E[(X?c)2]. 5、当cov(X,Y)?0时，称X,Y不相关，表示X,Y没有任何关系。
6、对任意的随机变量X,Y，总有E[(X?EX)(Y?EY)]?E(XY)?(EX)?(EY). 7、当X,Y相互独立时，有D(X?Y)?DX?DY;D(X?Y)?DX?DY. 8、X,Y相互独立是X,Y不相关的充分非必要条件。 9、随机变量X,Y的相关系数?(X,Y)一定满足?(X,Y)?1. 10、随机变量X,Y的协方差cov(X,Y)一定满足cov(X,Y)?1. 二、选择题
1、设 D(X)＝1，则 D(2X?3)? （ ）
(A) 1； (B) 5； (C) 4； (D) 7.
2、设随机变量X服从分布N(2,9)，则E(X2)= ( )
(A)5； (B)9； (C)11； (D) 13.
3、设X、Y相互独立，且DX?2,DY?3，则D(3X?2Y)?( )
(A)0;(B)12;(C)30;(D)6.
4、设XP(2),YExp(2),且X、Y相互独立，则
(A)E(X?2Y)?1;D(X?2Y)?1;(B)E(X?2Y)?1;D(X?2Y)?3; (C)E(X?2Y)?3;D(X?2Y)?1;(D)E(X?2Y)?3;D(X?2Y)?3.
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5、设X,Y是相互独立的连续型随机变量，则下列关系不能成立的是（ ）
(A)D(X?Y)?DX?DY； (B)D(XY)?D(X)D(Y)； (C)E(XY)?EX?EY； (D)Cov(X,Y)?0.
6、对任意两个随机变量X与Y，若E(XY)?EXEY，则（ ）
(A)D(XY)?D(X)D(Y)； (B)D(X?Y)?DX?DY； (C)X和Y一定相互独立； (D)X和Y一定不相互独立。
7、设随机变量X～N(?1,5)，Y～N(1,2)，且X与Y相互独立，则X?2Y?3的 方差为( )
(A) 1；
(B) 13； (C)7； (D) 10.
Y??X?1，8、设X服从正态分布N(?,?2)，则X与Y的相关系数 （ ）
(A) 0； (B)1； (C)?1； (D)1. 2Y，V?2X?Y，9、设X、Y相互独立，且均服从正态分布N(?,?2)，记U?2X?则U与V的相关系数为 （ ）
(A)3； (B)5； (C)3/5； (D)5/3.
三、填空题
1、二项分布B(n,p)的期望EX?_______、方差DX?_______；泊松分布P(?)的期望EX?_______、方差DX?_______；均匀分布R(a,b)的期望EX?_______、方差DX?_______；指数分布E(?)的期望EX?_______、方差DX?_______；正态分布N(?,?2)的期望EX?_______、方差DX?_______.
?2(1?x),0?x?1;DX?_______. 2、设X的密度函数为f(x)??，则EX?_______、
其他.?0,?e?x,x?0;)?_______、E(eX)?_______. 3、设X的密度函数为f(x)??，则E(2X?0,x?0.4、设XB(10,0.4),YP(2),则E(2X?Y)?_______.
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5、设XR(0,3),YE(2),且X，Y相互独立，则D(X?3Y)?_______.
6、设XP(?)，且E[(X?2)(X?3)]?2，则??_______.
四、解答题 1、设X的分布律为
X?101212P1 ,
3161611214求 (1)EX;(2)E(?X?1);(3)E(X2);(4)DX.
2、设X的密度函数为f(x)?1e?x,求(1)EX;(2)E(X22).
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X\\Y3、设随机变量(X,Y)的联合分布律为 01010.30.2 , 0.40.1求：EX;EY;E(X?2Y);E(3XY);DX;DY;cov(X,Y);?(X,Y).
4、设(X,Y)服从A上的均匀分布，其中A为x轴，y轴及直线x?y?1?0所围成的区域。求：(1)EX;(2)E(?3X?2Y);(3)E(XY).
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5、设二维随机变量(X,Y)的联合密度为f(x,y)???12y2,0?y?x?1;0,其他..
?求：EX,EY,E(XY),E(X2?Y2),DX,DY.
6、设随机变量X,Y相互独立，且EX?EY?1,DX?2,DY?3,求D(XY).
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