第六章定积分的应用
内容概要 名称 定积分的元素法 平面图形的面积 极坐标系 2、将lim??0主要内容 定积分的元素法是一种简单记忆定积分（1、将?AiA??f(x)dx）三步骤的方法： ab?f(?i)?xi记为dA?f(x)dx ?i?1n写为?ba 直角坐标系 X-型 Y-型 a?x?bc?y?d?? DA:? DA:??f1(x)?y?f2(x)?g1(y)?x?g2(y)A??(f2(x)?f1(x))dx A??(g2(y)?g1(y))dy acbd?????? DA:??0?r?r(?)旋转体体积 绕x轴旋转： A??1?2?r2(?)d? 体积 已知平行截面面积的立体体积 已知垂直于x轴的平面截立体所得截面面积为A(x),立体又被夹于x?a和x?b两平面间，则： 已知垂直于y轴的平面截立体所得截面面积为A(y),立体又被夹于y?c和y?d两平面间，则： ?a?x?bb DA:?2V??f0?y?f(x)??a(x)dx 绕y轴旋转： V??2?xf(x)dx ab?c?y?dd DA:?2?0?x?g(y)V??c?g(y)dy 平面曲线的弧长 直角坐标 参数方程 极坐标 绕y轴旋转： V??A(x)dx abV??A(y)dy cdL：y?f(x)，x?[a,b] ds?1?y?2dx； s??ba1?y?2dx ?x??(t)L：r?r(?)，?????； (??t??) L：??y??(t)ds?r2(?)?r?2(?)d?； ds???2(t)???2(t)dt ?s??r2(?)?r?2(?)d? ??22s????(t)???(t)dt ?物理应用：1、变力沿直线作功 2、水压力 3、引力
课后习题全解
习题6-2
★ 1．求由曲线
y?x与直线y?x所围图形的面积。
知识点：平面图形的面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1
y D y?x
y?x 0 1 x 图6-2-1 ?0?x?1?0?y?1∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：?2） x?y?xy?x?y??∴SD211??(x?x)dx?(x?x2)? 032601321 （SD★ 2．求在区间[0，
??(y?y2)dy?011） 6?/2]上，曲线y?sinx与直线x?0、y?1所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解：见图6-2-2
0 1 y D y?sinx ?/2x ?/2图6-2-2
???0?y?1?0?x?∵所围区域D表达为X-型：?， （或D表达为Y-型：） ?2?0?x?arcsiny??sinx?y?1? ∴SD2???(1?sinx)dx?(x?cosx)0201??2?1
（ SD★★3．求由曲线
??arcsinydy?0?2?1）
y2?x与y2??x?4所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为Y-型时解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-3
0 4 2y y??x?42D y2?x x ?2?2图6-2-3 ?y2?x?x?2∵两条曲线的交点：?， ??2y??2?y??x?4?∴所围区域D表达为Y-型：???2?y?2，
22?y?x?4?y2∴SD??2?2(4?y?y)dy?(4y?y3)23?22?2162 3（由于图形关于X轴对称，所以也可以解为：
SD?2?20216(4?y2?y2)dy?2(4y?y3)?2）
3302★★4．求由曲线
y?x2、4y?x2、及直线y?1所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于Y轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4
∵第一象限所围区域D1表达为Y-型：?图6-2-4 1yy?x 4y?x2D1 2 x D0 1 2 ?0?y?1?y?x?2y2y33120，
∴SD?2SD1?2?(2y?y)dy?2?01?43 0?x?1??2（若用X-型做，则第一象限内所围区域D1?Da?Db，其中Da：?x2， ?y?x??41?x?2?12x2x24?22)dx?(1?)dx]?；∴SD?2SD?2[?(x?） Db：?x?101?y?1443??41★★5．求由曲线y?与直线y?x及x?2所围图形的面积 x知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型,解法较简单，所以用X-型做 解：见图6-2-5
y 1 D y?x
y?1/xx 0 1 图6-2-5 2 ∵两条曲线
y?1x和
y?x的交点为（1，1）、（-1，-1），又这两条线和x?2分别交于
(2, 1)、(2, 2) 21?x?2??1∴所围区域D表达为X-型：?，
?y?x??x∴SD??21113(x?)dx?(x2?lnx)??ln2
x2212★★★6．抛物线
y2?2x分圆x2?y2?8的面积为两部分，求这两部分的面积
知识点：平面图形面积
思路：所围图形关于X轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-6，设阴影部分的面积为SD1，剩余面积为SD2
0 2 图6-2-6 ∵两条曲线
y y2?2xD1 x 0 y2?2x、x2?y2?8的交于(2,?2)（舍去x??4的解），
??2?y?2?2 ∴所围区域D1表达为Y-型：?y2?x?8?y??2∴SD12；又图形关于x轴对称，
2y2y34422?2?(8?y?)dy?2(?8?y?)?2(??2?)?2??
00260332 （其中
?208?ydy2y?22sint????4022cost?22costdt?8?401?cos2tdt???2） 2 ∴SD2??8?2??44?6?? 33★★★7．求由曲线
y?ex、y?e?x与直线x?1所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：由于所围图形表达为X-型时，解法较简单，所以用X-型做