★★★5．设有一半径为
R，长度为l圆柱体平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设
圆柱体的比重为?(??1)，现将圆柱体从水中移出水面，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设圆柱体的方程为(x?R)2?y2?R2，见图6-5-5，则将x至x?dx段薄圆台为底高为l的
柱体移出水面，浮力减重力所作的功为
dW1?2lR2?(x?R)2dx??g?x?2lR2?(x?R)2dx?g?x，
另外，因要求整个柱体出水，因此该部分还需在空中移动2R?x距离，该部分的功
dW2?2lR2?(x?R)2dx??g(2R?x)
?(2R?x) y0 R x x?dx 图6-5-5 x 22解：∵dW?dW1?dW2?2lgR?(x?R)(2R??x)dx，
∴W??2lg(2R??x)R?(x?R)dx?02R22x?R?uR??R2lg(2R??u?R)R2?u2 du
??R?R2lg(2??1)RR2?u2du??R3l(2??1)g , (Nm)
★★6．有一闸门，它的形状和尺寸如下图所示，水面超过门顶2m，求闸门上所受的水压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：由物理知识可知，水深h处的压强为p??h，（?为水的比重）以门顶中心为原点向下建立x轴，
见图6-5-6，则在x至x?dx段门条上所受的水压力为dP??(x?2)?2dx
2 0 2 xx?dx 3 x图6-5-6
解：∵dP??(x?2)?2dx，
∴P??2?(x?2)dx?21? 03★★★7．洒水车的水箱是一个横放的椭圆柱体，尺寸如上图所示，当水箱装满水时计算水箱的一个端面所受的压力。 知识点：微元法在物理上的应用 x22?y?1，见图6-5-7，则在x至x?dx的一条端面上所受的水压力为 思路：设椭圆方程为20.75x2dP??(x?0.75)?21?dx 20.754 1.5 xx?dx2 yx 图6-5-7
x2解：∵dP??(x?0.75)?21?dx， 20.75∴
x2P??2?(x?0.75)1?dx?0.750.7520.750.750.75x2x2x2??2?x1?dx??1.5?1?dx??1.5?1?dx 222?0.75?0.75?0.750.750.750.750.751?1.5???0.75??1.77?(kg)?17.3(kN)
2★★★8．以等腰梯形闸门与铅直平面倾斜30角置于水中，其闸门顶部位于水面处，上下底宽分别为100m
?和10m，高为70m，求此闸门一侧面所受到的水的静压力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以上底中心为坐标原点，垂直向下建立x轴，等腰梯形腰的方程则为：y??6-5-8，因此在x 至x?dx的闸门条带上，所受的静压力为 45x?50，见图70dP???2(?45x?50)dx?xcos30? 70100m 0 y 70m xx?dx y??9x?50 1410m x图6-5-8 解：∵dP??3(?∴P9x?50)xdx， 14（kg）
???3(?0709x?50)xdx?8.379?104?14★★★★9．设一旋转抛物面内盛有高为
Hcm的液体，把另一同轴旋转抛物面浸沉在它里面，深达hcm，
问液面上升多少？
知识点：旋转体体积
思路：设两个旋转抛物面?1、?2的方程分别为由yoz面上曲线z?ay和z?by?c绕z轴旋转而
22
成，见图6-5-9，可通过排开液体的体积和液面上升后增加的体积相等，计算液面上升的数值
z
h H c y 图6-5-9 解：高为H的?2旋转面所占的体积V2??Hc?ydz??2Hcz?c?(H?c)2?dz?b2b， 液面从H上升至h两个旋转抛物面所夹的体积： V1??h?cHzz?c(h?c)2?H2h2?(H?c)2?(?)dz??(?)，由V1?V2可得： ab2a2bh?c?H2?a2hb，∴液面上升的高度为h?c?H?H2?a2h?H。 b★★★★10．设有长度为l、线密度为?的均匀细直棒，在于棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的
质点M，试求该细棒对质点M的引力。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：以棒的一端为坐标原点，棒置于x轴正向上，建立平面直角坐标，见图6-5-10，质点M位于（0，a）
处，则x 至x?dx段的细棒对质点M的引力为：
?kmdM?dx?km dF?r2x2?a2??，dF?dF{xx?a22,?ax?a22}
y a x 0 x x?dx 图6-5-10
l
??解：∵dF?dF{lxx?a22,?ax?a22}?{dFx,dFy}，
∴Fx??km?0lxdx11?km?(?) , 223/222a(x?a)l?aladxx??km? Fy???km?0(x2?a2)3/2a(x2?a2)1/2★★★★11．长为2l的杆质量均匀分布，其总质量为??0km?la(l2?a2)1/2 M，在其中垂线上高为h处有一质量为m的质点，求它们之间引力的大小。 知识点：微元法在物理上的应用 思路：以棒的中点为坐标原点，棒置于x轴的（?l,l）上，中垂线为y轴，建立平面直角坐标，见图6-5-11，
质点M位于（0，h）处，则x 至x?dx段的细棒对质点M的引力为：
???kmdMxhkmMdx dF?，dF?dF{,?} ?2222r22l(x2?h2)x?hx?hyh x
?l0 x x?dx l 图6-5-11
??解：∵dF?dF{lxx?h22,?hx?h22}?{dFx,dFy}，
∴Fx??kmMxdx?0
?l2l(x2?a2)3/2llkmMhdxkmMx?? Fy????l2l(x2?h2)3/2lh(x2?h2)1/2
??0kmMh(l2?h2)1/2