解：见图6-2-7
∵两条曲线
图6-2-7 0 1 1 y y?e?x y?ex D x y?ex和y?e?x的交点为（0，1），又这两条线和x?1分别交于
?1 (1, e)和(1, e)
∴所围区域D表达为X-型：?1?0?x?1?xx?e?y?e10，
∴SD??(ex?e?x)dx?(ex?e?x)?e?e?1?2 0★★★8．求由曲线y?lnx与直线y?lna及y?lnb所围图形的面积(b?a?0) 知识点：平面图形面积 思路：由于所围图形表达为Y-型时，解法较简单，所以用Y-型做 解：见图6-2-8
y?lnbyy?lnx
y?lna0
1 lna lnb x 图6-2-8 ?lna?y?lnb∵在lnx的定义域范围内所围区域D：?， y0?x?e?∴SD??edy?elnalnbyylnblna?b?a
★★★★9．求通过（0，0），（1，2）的抛物线，要求它具有以下性质：（1）它的对称轴平行于y轴，且
向下弯；（2）它与x轴所围图形面积最小
知识点：平面图形面积和求最值
思路：首先根据给出的条件建立含参变量的抛物线方程，再求最值时的参变量
解：由于抛物线的对称轴平行于y轴，又过（0，0），所以可设抛物线方程为y?ax2?bx，（由于下
弯，所以a?0），将（1，2）代入y?ax2?bx，得到a?b?2，因此y?ax2?(2?a)x
该抛物线和X轴的交点为x?0和x?a?2， aa?2?0?x??∴所围区域D：? a2??0?y?ax?(2?a)x∴SD??a?2a0a2?a2[ax?(2?a)x]dx?(x3?x)3202a?2a(a?2)3?6a2
11?SD(a)?[a?2?3(a?2)2?(a?2)3?(?2a?3)]?a?3(a?2)2(a?4)
66得到唯一极值点：a??4，
∴所求抛物线为：
★★★★10．求位于曲线y??4x2?6x
y?ex下方，该曲线过原点的切线的左方以及x轴上方之间的图形的面积
知识点：切线方程和平面图形面积
思路：先求切线方程，再作出所求区域图形，然后根据图形特点，选择积分区域表达类型 解：y?e?y??e，∴在任一点x?x0处的切线方程为y?e而过（0，0）的切线方程就为：所求图形区域为D
X-型下的D1：?图6-2-10 0 xxx0?ex0(x?x0)
y?e?e(x?1)，即y?ex
?D1?D2,见图6-2-10
yD1 D2y?ex y?exx????x?0?0?x?1D，：?2xx0?y?e??ex?y?e
∴SD??exdx??(ex?ex)dx?e??001x1??e?x221?e?0ee? 22★★★11．求由曲线r?2acos?所围图形的面积
2知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线是半径为a、圆心（a, 0）的圆在极坐标系下的表达式，可直接求得面积为?a，
也可选择极坐标求面积的方法做。
解：∵作图6-1-11
图6-1-11 0 r a 2a????????知所求图形区域D：?22 ??0?r?2acos??∴SD??2??22111(2acos?)2d??2a2(??sin2?)??a2 ?222?2?★★★12．求三叶玫瑰线r?asin3?的面积S 知识点：平面图形面积 思路： 三叶玫瑰由三瓣面积相等的叶片组成
图6-2-12中所画是三叶玫瑰中的一叶， 而一叶图形又关于? ??6r?asin3?D1 对称，
因此选择其中一叶的一半区域D1求其面积
?/6 0 r ???0???解：∵D1：?6??0?r?acos3??
图6-2-12 ∴SD?6SD1?6?6061111(acos3?)2d??3a2(??sin6?)??a2 22640?★★★13．求由曲线r?2a(2?cos?)所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知该曲线围成的图形关于极轴对称，因此选择其中一半区域D1求其面积
4a 3a 0 D1 r?2a(2?cos?) 6a r
解：∵D1：?∴
图6-2-13 0?????
0?r?2a(2?cos?)??SD?2SD1?2??01411[2a(2?cos3?)]2d??4a2[4??(sin3????sin6?)?18?a2232120★★★14．求对数螺线??ae?(??????)及射线???所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：作图可知该曲线围成的图形是由??ae?，?从??到?一段曲线及射线???所围，由此可确定?、?的范围 ae?/2 r?ae ae ??D a r ae?? 0 图6-2-14 解：∵所围区域D：??????????0???ae
∴SD?????1a212??2(ae)d???e222???a22??(e?e?2?)
4★★★★15．求由曲线r?3cos?及r?1?cos?所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于极
轴对称，设?在（0，
0 r?1?cos? ?）内的曲线和极轴围成的半个D为D1区域 2???/3 r?3cos? D1 3/2 r 图6-2-15 解：两条曲线r?3cos?、r?1?cos?交于????3处，
??????0???????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?3，Db：?32???0?r?1?cos??0?r?3cos??112SD?2SD1?2[?3(1?cos?)d????2(3cos?)2d?]0232?
3?191?15?2[??(2sin??sin2?)?(??sin2?)]???234226440323?? ★★★16．求由曲线r?2sin?及r2?cos2?所围图形的面积
知识点：平面图形面积
思路：作图可知两条闭围线围成的图形由三部分
组成，其中一部分为两图形重叠部分D，而D又关于射线???2r?2sin? 对称，设两条曲线
?在（0，）围成的半个D为D1区域
2
D1 ???/4 ???/6 0 r 图6-2-16 r2?cos2?