z yx x图6-3-8 解：以固定直径为x轴圆心为坐标原点，则圆方程为：x2?y2?R2，
在圆内，垂直于x轴的截面面积
A(x)?13?2y?2y?3(R2?x2)， 22∴V??R?R3(R2?x2)dx?433R 3★★9．求曲线xy?a(a?0)与直线x?a，x?2a及y?0所围成的图形分别绕ox轴、oy轴旋转一周所产生的旋转体体积。 知识点：旋转体体积 思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 a?2aa21?a?x?2aV??()dx??a； 解：平面图形D：?，绕x轴旋转产生的立体体积： ?a0?y?x2?x?2aa2绕y轴旋转产生的立体体积： V??2?xdx?2?a
ax（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法）
★★★★10．设直线
y?ax?b与直线x?0，x?1，及y?0所围成的梯形面积等于A，试求a、b，
?0，b?0）。
使这个梯形绕x轴旋转所得旋转体体积最小（a知识点：旋转体体积，以及最值问题
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），进而求出以a,b为变量的旋转体体积，再求
最小值。 y?ax?b 解：梯形区域D：0?x?1 ，0?y?ax?b， 0 1
a2?ab?b2) ∴V???(ax?b)dx??(03121421(b?a?b)?A，∴V(b)??(A2?Ab?b2) 23332 V?(b)??(b?A)?0，得b?A，a?0
3∵由条件
习题6-4
★★1．用定积分表示双曲线xy?1上从点（1，1）到点（2，1/2）之间的一段弧长。
思路：曲线表达为y?1x（或x?1y）代入相应公式计算弧长
解：y???1x2，∴s??ba1?y?2dx??211?1dx 4x★★2．计算曲线
y?lnx上相应于3?x?8的一段弧的弧长。
y思路：曲线表达为y?lnx（或x?e）代入相应公式计算弧长 2b881?x1112x?t181?t2解：y??，∴s??1?y?dx??1?2dx??(dx)??dt 2a333x22txx21?t?u??32u21u?113du?(u?ln)?1?ln 22u?1222u?1y?1x(3?x)上相应于1?x?3的一段弧的弧长。 33★★3．计算曲线
解：y??12x?x11?(?x)， 22x331?x(1?x)2121?dx??dx)?(2x?x214x232x33∴s??ba1?y?2dx??x?1?23?14 3★★4．计算曲线
121y?lny（1?y?e）的弧长。 42解：x??y111??(y?)， 22y2y1?x?2dy??e2ey?11121y2e2?11?(y?)dy??dy?(?lny)?
14y2y2241e∴s??ba1★★★5．计算抛物线
y2?2px（p?0）从顶点到其上点M(x,y)的弧长。
y2思路：抛物线表达为y??2px（或x?2p解：x??），代入相应公式计算弧长
y， p∴s??ba?y122p?ydy, y?0??0?p1?x?2dx??0?1??p2?y2dy, y?0??ypyarctanp0?y01pp2?y2dy
y?ptant
??psec3tdt?p(secttant?lnsect?tant)20arctanyp
22y?p2?y2pyp?y ?(?ln22pp
（或通过公式s??ba1?y?2dx??x01?pdx计算） 2x★★★★6．证明曲线y?sinx的一个周期（0?x?2?）的弧长等于椭圆x2?2y2?2的周长。 思路：分别求出y?sinx的弧长s1及椭圆的周长s2，求椭圆周长时采用参数式求解 解： y?sinx的弧长s1???ba1?y?dx??22??01?cosxdx?4?21?cos2xdx 02?4?21?sin2xdx
0 椭圆方程表达为：x??2cost，y?sint；代入公式得弧长
??2202 s2?4?2x??y?dt?4?22sint?costdt?4?21?sin2tdt
002 ∴s1?s2
?ea?相应于自??0至???的一段弧的弧长。
a?★★★7．求对数螺线r思路：曲线是极坐标的表达式r?e?，因此代入公式s????r2(?)?r?2(?)d?
解： s???r(?)?r?(?)d???22?0e2a??ae22a?1?a2a?d??(e?1)
a★★★8．求曲线r??1相应于自??34至??的一段弧的弧长。 43
思路：曲线是极坐标的表达式r?1?，因此代入公式s????r2(?)?r?2(?)d?
解： s????r2(?)?r?2(?)d???43341?2?1?d??(?41??243??ln1??2??)34
?53?ln122
（其中
?1??2?2sect1sin2t?cos2t2d???sectdt??2dt??dt 22tantsintcostsintcost??tantcost11??22??(sect?)dt?lnsect?tant??C?ln1?????sint?sin2t★★★9求曲线
）
x?arctant，y?1ln(1?t2)相应于自t?0至t?1的一段弧的弧长。 2思路：曲线是参数表达式x??(t),y??(t)，因此代入公式s?解：s??????2(t)???2(t)dt
?????(t)???(t)dt??21221011t21?dt??01?t2dt (1?t2)2(1?t2)2 ?lnt?1?t?ln(1?2) 0习题6-5 ★1．设一质点距原点x米时，受F(x)?x2?2x牛顿力的作用，问质点在F作用下，从x?1移动到 x?3，力所做的功有多大？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：当变力沿直线作功，质点从x至x?dx段所作功的微元dW?F(x)dx。 解：∵dW?F(x)dx?(x?2x)dx
∴W2??31x3502(x?2x)dx?(?x2)?
3313★★2．某物体作直线运动，速度为
v?1?t(m/s)，求该物体自运动开始到10s末所经过的路程，并
求物体在前10s内的平均速度。
知识点：微元法在物理上的应用
思路：变速直线运动物体在t至t?dt时间段内所经过路程的微元dS?V(t)dt。 解：∵dS?V(t)dt?1?tdt
31020∴S??10021?tdt?(1?t)3?2(1111?1) （m）； 3V?
S2?(1111?1)（m/s） 1030★★★3．直径为20cm，高为80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽
体积缩小一半，问需要作多少功？
知识点：微元法在物理上的应用
思路：设P为压强、体积为V，根据物理学原理，当温度不变时压强和体积成反比，因此当圆柱体的高
为h时，P?k2, k?10??10?80。 2?10h800??102， h解：∵压力p=压强?面积，∴当圆柱体的高为h时压力p?功的微元dW∴W?80000?dh h??80000?dh?800?ln2 , (Nm)
40h80★★★4．半径为R的半球形水池充满了水，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？ 知识点：微元法在物理上的应用 思路：设半球形水池的方程为x2?y2?z2?R2（z?0），见图6-5-4，则将z至z?dz薄片体积的水吸出，克服重力所作的功为dW3（?是水的比重，可取1kg/m） ????(R2?z2)dz?g?z，z0 y z?dz zx 图6-5-4
解：∵ dW????(R?z)dz?g?z，
∴W22???g?z(R?z)dz??R022?gR44 (Nm)