解：两条曲线r?2sin?、r2?cos2?交于???6及??5?6
?????????0????因此分割区域D1?Da?Db，其中Da：?6，Db：?62???0?r?2sin??0?r?cos2?SD?2SD111?2[?6(2sin?)2d????2cos2?d?]0226?60
??1?1?2(??sin2?264（和书后答案不同）
★★★17．求由摆线
1?3?sin2?)???46226?
x?a(t?sint)，y?a(1?cost)(0?t?2?)及x轴所围图形的面积
知识点：平面图形面积 思路：在直角坐标系下作图可知所围图形的x、y变化范围，先求出直角坐标系下积分表达式，再将积分变量代换成t ?0?x?2?a解：∵所围区域D：?， 0?y?y(x)? （∴SDy D x?a(t?sint) ? ??y?a(1?cost)y?y(x)为摆线） 2?a0 图6-2-17 2?a x ??0y(x)dx， 作代换x则SD?a(t?sint)，
2?2?3??a(1?cost)d[a(t?sint)]??a2(1?cost)2dt?a2?2??3?a2 002习题6-3
1． 求下列平面图形分别绕x轴、y轴旋转产生的立体体积：
★(1)．曲线
y?x与直线x?1、x?4、y?0所围成的图形；
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），
代入相应的公式。
y D y?x 解：平面图形D：?
?1?x?4，见图6-3-1-1
0?y?x?0 14 x 图6-3-1-1
绕x轴旋转产生的立体体积： V 绕y轴旋转产生的立体体积：V★★(2)．在区间[0, ???(x)2dx?1415?2；
??2?xxdx?14124?5(和书上答案不同) 、
?2]上，曲线y?sinx与直线x??2y?0所围成的图形；
???0?x?解：平面图形D：? 2，见图6-3-1-2，??0?y?sinx 绕x轴旋转产生的立体体积： Vy 1 D2 y?sinx D 1??2?(sinx)2dx??2； 04?0 ?/2x 绕y轴旋转产生的立体体积： ??20图6-3-1-2 ?/2??方法一：V??202?sinx2)?2? 2?xsinxdx?2??(?x)dcosx?2?(?xcosx00方法二：V可看作由D1（矩形0?x?（0?2，0?y?1）绕y轴旋转而成的体积V1，减去由D2?y?1，0?x?arcsiny）绕y轴旋转而成的立体体积V2所得 ∴V??()???(arcsiny)2dy?2?02?21
★(3)．曲线
y?x3与直线x?2、y?0所围成的图形。
；
2?0?x?212832V??(x)dx??解：平面图形D：?，绕x轴旋转产生的立体体积： 3?070?y?x?绕y轴旋转产生的立体体积：V??2?xx3dx?0264?5
（绕y轴旋转产生的立体体积如同（2）也有两种计算法）
★★2．求由曲线
y?x2、x?y2所围成的图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：该平面图形绕y轴旋转而成体积V?0?y?1可看作D1：?绕y轴旋转而成的体积V1，减去
0?x?y??0?y?1D2：?2?0?x?y绕y轴旋转而成的立体体积V2所得，见图6-3-2
0 1 y y?x2D1 y2?x 1 D2x
解： V?V1?V2?★★3．求由曲线
120图6-3-2 122??(y)dy???(y)dy?03? 10y?sinx（0?x??）与x轴围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式
??0?x??2解：平面图形D：?，绕y轴旋转产生的立体体积： V??2?xsinxdx?2? 0?0?y?sinx（绕y轴旋转产生的立体体积如同1（2）也有两种计算法） ★★★4．求由曲线y?achxa，x?0，x?a，y?0（a?0）所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。 知识点：旋转体体积 思路：作出平面图形（或求出该平面区域的x、y范围），代入相应的公式 y y?achxa ??0?x?ax解：平面图形D：?，见图6-3-4， 0?y?ach?a?
绕x轴旋转产生的立体体积：
D a 0 a x图6-3-4 Vax???(ach)2dx?a2??00acha2xa?1a2xa?a32adx?a?(sh?)?(2?sh2)
24a024★★★5．求摆线
x?a(t?sint)，y?a(1?cost)的一拱与y?0所围图形绕直线y?2a轴旋转而
成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：若设所围区域为D，则该平面图形绕y?2a旋转而成体积V可看作矩形区域D1：??0?x?2??0?y?2a?0?x?2?绕y?2a旋转而成的体积V1，减去区域D2：?绕y?2a旋转而成的立体体积V2所
y(x)?y?2a?得，（其中，y(x)表示摆线的函数式，见图6-3-5
图6-3-5 2y 2a ?x?a(t?sint) ?y?a(1?cost)? D2 0 D 2?a x 解：V?V1?V2??(2a)?2?a?322?2?2?a0?(2a?y)2dx，作代换x?a(t?sint)，则 222?0V?8a????(a?acost)ad(t?sint)?8a????a3sin2t(1?cost)dt 0?8a2?2??a3(?★★★★6．求x22?02?1?cos2tdt??sin2tdsint)?7?2a3 02?y2?a2绕x??b（b?a?0）旋转而成的旋转体体积。 知识点：旋转体体积 222思路：由图形的对称性可知所求体积V?2V1，其中V1是由x?y?a（y?0）部分，绕x??b旋转而成的旋转体体积，又根据元素法，V1是由图形中的线段转一周所得的圆柱面叠加而成，见图6-3-6
y（0?y?a2?x2）绕x??b旋
x??b 线段?ax x?dx 0 ar 图6-3-6
解：V?2V1?2?a?a2?(x?b)a?xdx?4?b?22a?aa2?x2dx?2?2a2b
★★★★7．由心形线
??4(1?cos?)和射线??0及???2所围图形绕极轴旋转而成的旋转体体积。
知识点：旋转体体积
思路：极坐标中的此平面图形绕极轴旋转相当于直角坐标系下的该图形绕x轴旋转 解：平面区域D：0???4(1?cos?)（0
∵心形线?0 图6-3-7 8 ????2y ），见图6-3-7
??4(1?cos?) r?4(1?cos?)的直角坐标表示：
?x?4(1?cos?)cos?222 （0?x?8），根据直角坐标下的体积计算及x?y??，得： ??y?4(1?cos?)sin?83V???ydx???(??x)dx????dx??00038282282x?4(1?cos?)cos? ?83??2?16(1?cos?)d[4(1?cos?)cos?]?3?022283???64?(1?cos?)[d(1?cos?)?d(1?cos?)]??
320118343?64?[(1?cos?)?(1?cos?)]???160??23320
★★★8．计算底面是半径为
R的圆，而垂直于底面上的一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体
积。
知识点：已知平行截面面积的立体体积
思路：首先以固定直径为x轴确立圆方程：x?y?R，再求垂直于x轴的截面面积，然后代入公
式。见图6-3-8
222