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3. 10 在一只半径为R 的半球形碗内, 有一粒质量为m 的小钢球, 沿碗的内壁作匀速圆周运动。试求: 当小钢球的角速度为ω时, 它距碗底的高度h 为多少?
[分析与解答] 取小球为隔离体，受重力p和支承力FN（如图？？）。其中，
??FN沿x轴方向的分力提供小球作圆周运动的向心力。有
FNsin??man?mr?2?mR?2sin? ①
?FNcos??mg ②
R?h ③ Rg解得 h?R?2
且 cos???可见，h随ω的增大而增大。
3. 13质量为m 的物体在黏性介质中由静止开始下落, 介质阻力与速度成正比, 即Fr= βv,β为常量。试
( 1) 写出物体的牛顿运动方程。 ( 2) 求速度随时间的变化关系。 ( 3) 其最大下落速度为多少? ( 4) 分析物体全程的运动情况。
[分析与解答] （1）物体受向下的重力mg和向上的阻力F，则牛顿运动方程为 mg??.v?ma
dv??g?v dtmvtdv分离变量并积分 ???dt
00?g?vm（2）由 a?得 -
mg?lnmg??m?t g?v?m整理后得 v??(1?et)
（3）当t??时，有最大下落速度
vmax??tdxmg?(1?em) （4）由v?dt?mg?
?有 ?dx??0xtmg0?(1?e??mt)dt
??t?mg?m得 x??t?(1?em)?
??????物体由静止开始向下作加速运动，并逐渐趋近于最大速度为vmax?后趋于做匀速运动，物体在任意时刻开起点的距离由上式表示。
mg?，此
3.15质量为m的小球从点A由静止出发，沿半径为r的光滑圆轨道运动到点C（见图），求此时小球的角速度?C和小球对圆轨道的作用力FNC。
[分析与解答] 取小球为隔离体，受力情况如图。取自然坐标系，由牛顿运动定律分别列出切向和法向运动方程为
-mgsin??mdv ①dt
v2FN?mgcos??m ②
R由于
dvdvd?dvvdv，代入式①并分离变量后积分 ????dtd?dtd?Rd??v0vdv????Rgsin?d?
90?得 v?2Rgcos? ③ 则小球在c点的角速度?C为 ?C?v?R2gcos? Rv2将式③代入式②，得 FN?m?mgcos??3mgcos?
R
其反作用力即为小球对轨道的作用力FNC。
3.16 如图所示，在密度为?1的液体上方有一悬挂的长为l，密度为?2的均匀直棒，棒的下方恰与液面接触。今剪断挂线，棒在重力P和浮力F 作用下竖直下沉, 若?2>?1 , 求棒下落过程中的最大速度。
[分析与解答] 按题设条件，剪断细线后，杆在下沉过程只受重力和浮力的作用（不计液体的黏滞阻力），随着杆往下沉，浮力逐渐增大，当重力和浮力
相等时，杆下沉的加速度a=0,此时速度最大。
取x坐标如图，根据牛顿第二定律，有
mg?F?mdv ① dt式中，m??2SL，浮力F??1Sxg，故式①可写成
dvdvdxdv??2SL??2SLv ② dtdxdtdx对式②分离变量并积分，有
?2SLg??1Sxg??2SL?x?1???1??0??gdx?L?2??x?vdv
0v得 gx??1g121(x)?v2 ③ ?2L22设杆的速度最大时，杆进入液体的长度为x=l,则式 ③中的v即为最大速度。此时mg=F,即
?2SLg??1Slg
得 l??2L ④ ?1
将式④代入式③，得杆的最大速度为 vmax??2Lg ?14.10 如图所示, 一根细绳跨过一质量可忽略且轴为光滑的定滑轮, 两端分别拴有质量为m 和M 的物体A, B, 且M稍大于m。物体B 静止在地面上, 当物体A 自由下落h距离后, 绳子才被拉紧。求绳子刚被拉紧时, 两物体的速度及B 能上升的最大高度。质点的动量矩定理、动量矩守恒定律
[分析与解答] 把整个过程分成三个阶段来处理。
第一阶段物体A自由下落。物体A自由下落h 距离时，正好拉紧绳子，此时物体A的速度为
V?2gh，方向向下。
第二阶段，绳子被拉紧，物体A和物体B同时受到绳子的冲力作用。经过极短时间△t 后，以共同的速度V运动，此时，物体的受力情况如图（B）所示。如取竖直方向为正方向，则物体Ad的速度由-v增为-V，物体B的速度由0增为V。根据动量原理得：
(FT2?Mg?)??t?MV?0 ①
(FT1?m?g)??t?(?mV)?(?mv) ②
题4.10图
由于作用时间极短，绳子冲力的冲量远大于重力的冲量，故式①，式②可简化为FT2?t?MV
FT1?t??mV?mv
m2ghmv?
M?mM?m因FT1?FT2，解得：V?第三阶段，绳子拉紧后，物体A向下运动，B向上运动，但由于M>m,A和B 都
M?m作减速运动，故有Mg-T=Ma,T-mg=ma 求得a?g
M?m物体B以速度V上升，其加速度与速度方向相反。设最后B上升的高度为H，则
222Vm(2gh)mh2H???有0?V?2(?a)H 故
2a2(M2?m2)gM2?m24.14 我国第1 颗人造卫星—东方红1号沿椭圆轨道绕地球飞行, 近地点
439km, 远地点2384 km, 已知在近地点的速度v1 = 8.1 km/s , 试求卫星在远地点的速度v2 和卫星的运动周期T。
[分析与解答] （1）求v2：如图所示，地球的中心点O位于椭圆轨道的一个焦点上。设卫星运动时仅受地球引力的作用，由于该引力总指向O点，故卫星在运动的全过程中对O点的动量矩守恒。即：
?? L1?L2 ①
由于两者的方向一致，式①可直接用大小来表示 ， 有 mv1(R?l1)?mv2(R?l2) ： 得 v2?v1R?l16378?439?8.1??6.30km/s R?l26378?2384ds。卫星运行dt（2）求T：卫星径矢r 在单位时间内扫过的面积为面积速度的周期T即为椭圆面积S与ds/dt 的比值。由于椭圆面积为
?S?[(R?l1)?(R?l2)](R?l1)(R?l2)
2根据开第二普勒定律，有： L?2m对近地点而言：
ds?不变量 dtL?L1?mv1(R?l1)
ds1?v1(R?l1) 则面积速度为：
dt2?[(R?l1)?(R?l2)](R?l1)(R?l2)s3T???8.26?10s?2.29h 故
ds/dtv1(R?l1)4.20 求解下列各题:
(1) 质量为m 的物体自静止出发沿x 轴运动, 设所受外力为Fx = bt , b 为常量, 求在时间T(s) 内此力所做的功。
(2) 物体在外力Fx = 5 + 10x(SI ) 作用下, 由x = 0 沿x 轴方向运动到x =3m 处, 求外力所做的功。
(3) 一物体在介质中的运动方程为x = ct3 , c 为常量。设介质对物体的阻力正比于速度的二次方, 即Fr?kv2。试求物体由x0 = 0 运动到x = l 时, 阻力所做的功。