跷板的角速度ω( 也是甲、乙的角速度) ; ( 2) 演员乙被弹起的高度h′。 [分析与解答]
（1）甲由h高处自由下落，至与板碰撞前的速度为
1mgh?mv02
2得 v0?2gh 碰撞前后，取甲，乙和板为系统，满足动量矩守恒条件，即
l1?l??l?mv0?m????m????m'l2
2R?2??2?22得 ??6m2gh
?6m?m'?l（2）碰后，乙被向上弹起的初速度为
lv0'??
2则乙被弹起的高度可由v2?v0'2?2??g?h'求出
?l?2??v0'2?9m2h2????即 h'?2 2g2g?6m?m'?25.20 如图所示,一长为l = 0.40m, 质量为M = 1kg 的均质杆, 铅直悬挂。试求: 当质量为m= 8×10-3kg 的子弹以水平速度v = 200m·s-1,在距转轴O为3l/4处射入
杆内时, 此杆的角速度和最大摆角。
[分析与解答] 求解此题可按两个过程分别处理：
（1）由子弹射入杆到两者一起开始摆动。此过程可视为完全非弹性碰撞过程。
1?3??3?取子弹和杆为系统，满足动量矩守恒，有 mv?l??m?l???Ml2? ①
3?4??4?2由式①可求得子弹与杆开始一起摆动时的角速度
3mv4???8.86rad/s 9212ml?Ml163（2）由系统开始摆动到摆至最大α角。此过程中，由子弹，杆和地球构成的系统满足机械能守恒的条件，取杆直悬时的质心位置C为重力势能零点，则
21??3?12?2?1??m?l??Ml???mg?l??2??4????4?3? ②
l??ll??3Mg??cos???mg?lcos???2??22??49?2??1?1M?m??l??2?316?由②式可求得最大摆角为 ??arccos?1????95.4?
13???M?m?g????4??2??
题5.20图
5.21 质量为m’,半径为R 的圆盘,可绕一垂直通过盘心的光滑水平轴转动, 盘上绕有轻绳, 一端悬挂质量为m 的物体(如图)。试问: ( 1)物体由静止下落高度h 时,其速度v 的大小是多少? (2 )若物体自由下落h 高,其速度v’为多少? 说明两种速度有差异的原因。 [分析与解答]
??（1）物体受重力P和绳子张力FT，有 mg?FT?ma ①
滑轮变张力矩，有 FTR?I??1am'R2. ② 2R ?2?2ah ③
联立① ② ③解得 ??2mgh 1m?m'2（2）由自由落体规律 ?'?2gh 6.7 水平放置的均匀带电细棒, 长为l , 电荷为q。试求其自身延长线上离
棒中心为r 处一点的电场强度E。
[分析与解答] 取dx,其上带电荷 dq??dx??dq在p点激发的电场强度dE为 dE?1qdx ldq?i 24??0(r?x)则整个细杆所带电荷在p点的电场强度E为
l???1?dx?1E??dE??l2i?2?4???r?x?4??002?ll2r?42?i??q i22??0(4r?l)6.13 判断下列说法:
(1) 电势高的地方, 电场强度必大; (2) 电势为零处, 电场强度必为零;
(3) 电势为零的物体必然不带电;带正电的物体, 电势必为正的; (4)“静电场中各点有确定电势, 但其数值、符号又是相对的”, 此话是矛盾的;
(5) 电场中两点间的电势差与零电势点的选择无关;
(6) U与E是表征电场本身某一点性质的, 与引入电场的外电荷无关。 [分析与解答]
（1） 错误。某场点的电场强度与电势梯度有关，与电势高低无关。如等势球体的电势可以很高，但内部任一场点的E=0;
（2）错误。理由同（1）。如偶极子中垂线上任一场点电势为零，但电场强度却不为零。
（3）错误。物体的电势与它处在电场中的位置有关，与自身是否带电无直接联系。如接地的导体处于外电场中，电势为零，但表面会带电；同样，带正电的物体，电势可以为正，也可能为负，这与它所处的电场有关。
（4）错误。所谓“确定的电势”是对所选定的电势零点而言的，而且零点的选择，原则上是任意的，因此，此话不矛盾。
（5）（6）正确。
6.14 求题6.14图（P256）所示各种情况下点P 的电场强度E 和电势UP 。
题6.14 图
[分析与解答]
根据电场强度和电势的叠加原理，有
qq2q(a)E?； ??l2l2??0l24??0()4??0()22q?qU???0
ll4??0()4??0()22qq(b) E???0；
l2l24??0()4??0()22?q?q?q U???ll??0l4??0()4??0()221ql(c)E? （见主教材P201-202题6.2.1）
l23/24??02[d?()]2 U?4??0qld2?()22?4??0?qld2?()22?0
(d)E?rr???dr?ln0 (由高斯定理计算)； U??d2??r2??0d2??0d00（r0处为电势零点，本题不能选无限远处，即r→∞为电势零点） 7.6 求解:
(1) 一圆形载流导线的圆心处的磁感强度为B1 , 若保持I 不变, 将导线改为正方形, 其中心处的磁感强度为B2 , 试求B2/B1 。
(2) 如图所示, 宽度为a 的无限长金属薄片, 均匀通以电流I 并与纸面共面。试求在纸面内距薄片左端为r 处点P 的磁感强度B。
[分析与解答] （1） 图形载流导线中心的B1??0I。改为正方形时，每
2R边长
12?R1??R,距中心点O的垂直距离均为a??R,每边（载流I）在O点
442?0I?I42?0I,则sin45?,则中心O点的总磁感强度B2?4?0sin45??22?a?R2?a激发的B?B282。 题7.6（2）图
?B1?2
（2）以P点为坐标原点，作OX轴。在薄片内距O点为x处，取宽度为dx的长直电流dI，有dI?Idx a它在P点激发的磁感强度为dB??0dI?0I?dx 2?x2?ax则整个薄片电流在P点激发的磁感强度为
B??dB??r?ar?0I?Ir?adx?0ln2?ax2?ar 方向：⊙
(3) 半径为R 的薄圆盘均匀带电, 电荷面密度为+σ, 当圆盘以角速度ω绕过盘心O、并垂直于盘面的轴逆时针转动时, 求盘心O 处的B。
[分析与解答] （1）绕中心轴转动的带电介质圆盘可以看成是一个载流圆盘。载流圆盘又可看做是由一个个同心载流圆环所组成。点O的磁感强度B就是由这一个个载流圆环的磁感强度叠加的结果。
现在半径r处取一宽为dr的同心圆环，其上的dI可写成
dI??n2?rdr??式中，度B???2?rdr???rdr 2??为电荷面密度，2?rdr为圆环的面积。圆电流中心的磁感强
?0I2R，因此，所取圆环在其中心的磁感强度dB为
2r1??0??dr 2dB??0dI按叠加原理可知，整个圆盘在中心的磁感强度B为
B??dB??R011?0??dr??0??R 22 ( 4) 一均匀带电的半圆弧线, 半径为R, 带电量为Q, 以匀角速度ω绕对称轴OO′转动(见图) , 求半圆弧线圆心点O 处的磁感强度B。
[分析与解答] 由题设条件得电荷线密度??Q。
?R取线元dl?Rd?，其上所带电荷为dQ?当dQ以匀角速度
QQQdl?Rd??d? ?R?R??绕oo'轴做半径r?Rsin?的圆周运动时，所形成的