圆电流为dI???QdQ?2d? 2?2?设圆电流在其轴线上O点激发的磁感强度dB的大小为
dB??0?Rsin??22R3dI??0?Q2sin?d?
4?2R方
向：向上。
7.14 一根半径为R 的实心铜导线, 均匀流过的电流为I , 在导线内部作一平面S( 见图) , 试求:
(1) 磁感强度的分布;
(2) 通过每米导线内S 平面的磁通量。
[分析与解答]
题7.14 图
（1）作与铜导线同轴的圆形安培环路L，由安培环路定律有
?LB?dl?B?2?r??0?I得B?r?R 时，环路包含的电流为?I?代入式①得 B??0?I ① 2?r12??r；r?R时，?I?I。 2?R?0Ir?0I??r?RB? ； ?r?R? 22?r2?R（2）在截面S上取面积元dS?1?dr，穿过dS的磁通量d?m为
d?m?B?dS??0Irdr 2?R2则通过单位长度导线内S平面的磁通量?m为
?m??d?m??R0?0Ir?0Idr? 24?2?R则点O处磁感强度B的大小为B?dB????0?0?.Q2?0?.Qsin?d?? 28?R4?R7.17 无限长载流(I1= 20A)直导线旁置另一长L1=20cm、载流I2 = 10A 的导
线ab, 如图(a) 所示。求:
题
( 1) 导线ab所受的作用力; ( 2) 若将ab换为一刚性线框abcd (见图(b)) ,试分析其受力情况和运动趋势;
( 3) 当I1题7.17图
[分析与解答] （1）无限长直载流导线旁任一点的磁感强度为
?IB?01 方向：?
2?x在ab上距长直导线为x处取电流元I2dx 受力为dF?I2dx?B 方向：向上
?20sin?t，???3rads时，再求（1）。
F??dF??I2dx?B??I2Bdxj?a0.1b0.3则
?0I1I2ln3j2?4??10?7?20?10?ln3?4.4?10?5?2?
（2）线框受力可看作是4段直导线受力的总和。ab和cd受力大小相等、方向相反，相互抵消。
ad段受力 Fab?I2B1L2??0I1I2L2?1.2?10?4? 方向：向左 2?x1bc段受力 Fab?I2B2L2??0I1I2L2?0.4?10?4? 方向：向右 2?x2由于Fad?Fbc，线框将向左（靠拢长直导线）加速运动。
?????5（3）当I1?20sint时，F将随t周期性变化，即 F?4.4?10sintj?
33???8.6利用?i??(v?B)?dl求解下列情况下导线的动生电动势，并说明a，b
?L两点哪一点电势高。
?（1）直导线在均匀磁场B中匀速运动（见图(a)(b)(c)）;
[分析与解答] 题8.6（1）图
（a）按题意，ab段不切割磁感线，只有bc段有动生电动势，即
??l2??? ?bc??(v?B)?dl?Bl2v，方向：v?B的方向，即b→c，则Ua=Ub, Ub 0（b）?ab?Blv??0Ilv （b→a） 故 Ua>Ub 2?hlv （b’→a’） 故 Ua’>Ub’ ?a'b'??0I2?(h?d)（c）在ab上距直导线为x处取微元dx，该处B??0I，则其上的动生电动2?x?Iv???势为d?i?(v?B)?dx?vBdx?0dx，则ab杆上的动生电动势为 2?x?ab??d?i??d?ld?0Iv?Ivd?l dx?0ln2?x2?d???ab的指向为v?B的方向，即b→a，可知Ua>Ub。 （2）矩形线圈在磁场中运动（见图(a)(b)）; [分析与解答] 题8.6（2）图 在图（a）中，ab边 ?ab?Blv??dc边 ?dc?Blv?0Il2v，方向：b→a 2?D?0I2?(D?l1)l2v，方向：c→d ad和db边 ???ad??dc?0 总电动势 ???ab??dc??0Il1l2v，方向：顺时针 2?D(D?l1)图（b）中，由于回路abcd中磁通量不变化，无感应电动势，故??0。 (3) 如图(a)所示，导线OC以?沿圆导体轨道(电阻为0)转动θ角时a,b的电势差ΔU和?Od各为何值(Od=R/2)； [分析与解答] 题8.6（3）（4）图 由于Oc上各点的v不同，故Oc上选一微元dr，到O点的距离为r，则该微元的速度v=rw。于是，该微元上产生的动生电动势为 ???d??(v?B)?dl 因此，整个Oc上产生的动生电动势为 ?R1?????(v?B)?dl??vBdr??r?Bdr?B?R2 02则a、b两点的电势差 1（Ua>Ub） ?Uab??Oc?B?R2 ， 2同理，Od上的动生电动势为 ?Od??r?Bdr?B?R2，（d→O） （4）如图 (b)所示，把导线制成半径为R的半圆形，在图示均匀磁场中以 角速度?、绕点a逆时针旋转， [分析与解答] 由于整个半圆形线圈在转动中不切割磁感线，无电动势，但ab段是要切割磁感线的，其上的动生电动势为 R2018?ab?? ?ab?2BvR，（b→a）。 8.7导体AO长为b，与载流长直导线共面，AO以?绕通过O并垂直于纸面的轴转动，当转到与长直线电流垂直的位置时（见图），试证：此时导体中的感应电动势为 ?i??0I?b?a(b?ln) 2?a [分析与解答] 题8.7图 在OA上距载流长直导线x处取线元dx，则该线元上的动生电动势为 ?I??Ia???d??(v?B)?dx?vBdx??(x?a)0dx?0(1?)dx 2?x2?x则导体OA上的总电势为 ???d???a?ba?0?I??Iab?a(1?)dx?0(b?ln) 2?x2?a??方向为（v?B）的方向，即由O指向A。证毕 8.10 一矩形导体系统处在B?B0cos?t的均匀磁场中，如图所示，cd可以移动，在t=0时，x0=0，试求cd以速度v运动到x处时的?i，并分析讨论该?i的产生机理。 [分析与解答] 题8.10图 由法拉第电磁感应定律 ?i???d?md?dx（c→d） ???B?dS??(B0lxcos?t)??B0lvcos(?)， dtdtdtv该?i中既有动生电动势，又有感生电动势。 其 中I0,?均为恒量，t为时间，现有一 8.12 如图所示，真空中一长 直 载 流 导 线 通 有 电 流I(t)?I0e???t， 带滑动边ab的矩形导体框与长直导线平行共面， ab长为l，且与长直导线垂直。它以匀速v平行 题8.12图 于长直导线滑动时，试求 任一时刻t在矩形线框内的感应电动势?i，设t=0 时，ab和cd重合。 8.13一平行导轨处于均匀磁场B 中，其上放置质量为m、长度为l的金属 杆ab（见图）。当杆以初速度v0 向右运动时，求杆ab能够移动的最大距离x。（不考虑摩擦和回路自感）。 [分析与解答] 题8.13图 取图示Ox轴，ab杆以v0 沿x轴正向运动，将产生动生电动势，在任一位置有?ab?vlB 回路abcda中将有相应的感应电流 I??abR?vBl R于是,载流的ab杆要受到磁场的安培力作用, ??B2l2v?B2l2dx?即 F??IlBi??i??i RRdt负号表明安培力是阻力，ab杆运动到一定距离时，v=0，将会停止。 B2l2dxdv?m 根据牛顿第二定律,有?RdtdtmRdv B2l2xmax0mR两边同时积分,有?dx???22dv 0v0BlmRv0mR则xmax??22v0 ?v022BlBldx??