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阵是一个稀疏的对称矩阵）。按照以上原则，则无论电力网络如何复杂，都可以根据给定的输电线路参数和接线拓扑直接求出导纳矩阵。
对含变压器的支路，根据π型等值电路，可以求出节点p、q的自导纳和互导纳
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分别为：
Ypp=1/kz +（k-1）/kz=1/z
Yqq=1/kz + (1-k) /k2z=1/k2z （2-5） Ypq= Yqp =-1/kz
电力网络通常是由相应的节点导纳矩阵来描述的。在现代电力系统分析中，我们需要面对成千上万个节点及电力网络所连接的电力系统。对电力网络的描述和处理往往成为解决有关问题的关键。电力网络
P Z 1:k q Vp I p I pq Z pq Iq V q p q I p0 Zp0 Iq0 Z q0 2-2 变压器支路等值电路 的导纳矩阵具有良好的稀疏特性，可以用来高效处理电力网络方程，是现代电力系统分析中广泛应用的数学模型。
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2.2 电力网络方程的求解方法
2.2.1 用高斯消去法解网络方程
目前电力网络方程主要用高斯消去法求解[5]。高斯消去法求解线性方程组由消去运算和回代运算两部分组成。消去运算又叫前代运算，可按行也可按列进行，同样回代运算也可按行或列进行。通常采用“消去按列，回代按行”的方式进行。
设有n阶线性方程组AX=B。其中矩阵A和向量B的元素可以是实数也可以是复数。由于消去运算只对A和B进行，因此可以把B作为第n+1列附在A之后，形成n×(n+1)阶增广矩阵
?a11?a21B???????an1?a12a22?an2????a1na2n?annb1??a11??ab2???21??????bn????an1a12a22?an2????a1na2n?anna1,n?1??a2,n?1? （2-6） ???an,n?1??A??A为了讨论方便就用aj，n+1替代了bj (j=1,2,…,n)。首先讨论按列消去过程，它的运算步骤如下：
第一步消去第一列。首先把增广矩阵的第一列规格化为：
1 a12(1) a13(1) … a1，n+1(1) （2-7） 式中a1j(1) =a1j /a11 (j=2,3,?,n+1) 然后用式（2-7）所表示的行消去A的第一列对角线下各元素a21 a31 …an1元素，
结果使A的第2~n行其它元素化为aij(1) =aij –ai1 a1j(1) (j=2,3,?,n+1; i=2,3,?,n) 式中：上标 (1)表示该元素第一次运算的结果。这时矩阵A变为A1：
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A1??A1?a1?B?1???????1aa2(1)12(1)2???aa(1)n1n2an?1,n2?,(1)a?an2(1)?ann(1)?ann,?1?(1)?1?(1)?1 ??(1)??与之对应的方程组是A1X=B1，它与AX=B同解。矩阵未标出的元素为零。
第二步，消去第二列，步骤同上。 一般地，在消去第k列时要做以下的运算
akj(k) =akj(k-1) / akk(k-1) (j=k+1,?,n+1) （2-8）aij(k) =aij(k-1) –aik(k-1) akj(k) (j=k+1,?,n+1; i=k+1,?,n) （2-9） 经过对矩阵A的n次消去运算，即k从1依次取到n按式(2-8) 、(2-9)运算使矩阵A对角线以下的元素全部转化为零，从而得到增广矩阵
?1?Bn????????a12?(1)????a1na2n?(1)(2)An??An11?(2)?a2,n?1????(n)an,n?1??a1,n?1(1) （2-10）
与之相对应的方程组是AnX=Bn，即
?(2)(2)(2)???????????????x2?a23x3???a2nxn?a2,n?1???? （2-11）
(n?1)(n?1)???????????????????????????xn?1?an?1xn?an?1,n?1?(n)??????????????????????????????????????????????????xn?an,n?1??x1?a12x1?a13x3???a1nxn?a1,n?1(1)(1)(1)(1)它与AX=B同解。
现在来讨论按行回代过程。对于方程组（2-11）回代运算自下而上进行。首先由第n个方程可知xn=an,n+1(n)。然后将xn代入第n-1个方程，解出 xn-1=an-1,n+1(n-1) - an-1,n(n-1) xn再将xn-1和xn代入第n-2个方程可解出xn-2。一般地把已求出的xi+1，xi+2 ?,xn代入第i个方程，即可求出xi=ai,n+1(i) –∑ ai,j(i) xj (i=n,?,2,1) （2-12） 这就是回代的一般公式。
2.2.2 利用因子表法
在实际计算中，常常遇到这种情况：对于方程组AX=B需要多次求解，每次仅改变其常数项B，而系数矩阵A通常是不变的。这时，为了提高计算速度，可以利用因子表对线形方程组求解。
因子表可以理解为高斯消去法解线性方程过程中对常数项B全部运算的一种记录表格。高斯消去法分为消去过程和回代过程。回代过程的运算由对系数矩阵进行消去后得到的上三角矩阵元素确定。见式（2-10）。为了对常数项进行消去运算（又称回代运
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算），还必须记录消去过程运算所需要的运算因子。消去过程又分为规格化运算和消去运算。由式（2-8）、（2-9）可知，消去过程对常数项B中的第i个元素Bi的运算包括：
bi(i)= bi(i-1)/ aii(i-1) (i=1,2?.n) （2-13）bi(k)= bi(k-1) - aik(k-1) bk(k) (k=1,2?.i-1) （2-14） 将上式中的运算因子ai1, ai2(1) ，…aik(k-1) …ai,i-1(i-2)以及1/ aii(i-1)逐行放在下三角部分和式（2-10）的上三角矩阵元素合在一起，就得到因子表：
?1?a?11??a21???a31???a41????an1???a1(1)2a(1)13aa24a34(1)14??1a22a32a42(1)a23(2)(2)??(1)1a33(2)(3)
??(1)a43(2)1a44(3)??????an2(1)?an3(2)an4(3)??n1??(2)?a2n??(3)?a3n???(4)a4n????1?(n?1)?ann??a(1) （2-15）
其中下三角及对角线元素可用来对常数项B进行(消去)前代运算，上三角用来进行回代运算。因子表也可写成如下的形式：
?D11?L?21?L31??L41????Ln1U12D22L32L42?Ln2U13U23D33L43?Ln3Ln4U14U24U34D44????????????U1n??U2n?U3n?? （2-16）U4n???Dnn??其中
dii?1aii(i?1)? uij?aij(i)????????????????????i?j)
Lij?aij(j?1)?????????????????j?i)不难看出，因子表式（4-9）中下三角部分的元素就是系数矩阵在消去过程中曾出现的元素，因此只要把它们保留在原来的位置，并把对角线取倒数就可以得到因子表的下三角部分。而因子表的上三角部分的元素就是系数矩阵在消去完成后的结果。
对于方程组，需要多次求解，每次仅改变其常数项B而系数矩阵A是不变的情况，应首先对其系数矩阵A进行消去运算，形成因子表。有了因子表，就可以对不同的常数
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项B求解。这时可以直接应用因子表中的元素，用下面的公式代替式（2-13）、（2-14）进行消去运算：
bi(i)= bi(i-1)/ dii(i-1) (i=1,2?.n) （2-17）bi(k)= bi(k-1) - likbk(k) (k=1,2?.i-1) （2-18）
用以下公式代替式进行回代运算：
xn=bn (n) ; xi=bi (i) –∑ ui,j xj (i=n,?,2,1) （2-19）
2.3 潮流计算的定解条件
1 2 4 1 2 S1 S2 SG1 SLD1 SG2 3 3 图2-3简单电力系统及其等值电路 电力系统由发动机、变压器、输电线路及负荷等构成。如上图2-3表示2.1节的简单电力系统的等值电路，其网络方程为 ??Y?V?Y?V? I?i?(Y1iV1i22i33?VY)???(????1?i,2?,3 , 4 ) 44i （2-20）节点电流可以用节点功率和电压表示： ???S?(P?PLDi)?j(QGi?QLDi)SSiGiLDi?Gi? Ii? （2-21） ???ViViVi把（2-21）代入（2-20）可得： (PGi?PLDi)?j(QGi?QLDi)??YV??YV?????????(i?1,2,3) （2-22）?Yi1V 1i22i33?Vi这是一组复数方程式，而且是对于V的非线形方程，如果把实部和虚部分开便得到6个实数方程，但是每一个节点都有6个变量：发电机发出的有功功率和无功功率，负荷需要的有功功率和无功功率，以及节点电压的幅值和相位（或对应于某一选定参考直角坐标的实部和虚部）。对于n个节点的网络，可列写2n个方程，但是有6n个变量。通常把发电机与负荷功率作为已知量，并把节点注入功率Pi=PGi-PLDi和Qi=QGi-QLdi引入网络方程，就成为4n个变量。这样，n个节点电力系统的潮流方程一般形式是： 11
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Pi?jQi??V?ij?1n. n) （2-23） YV????????(????1i?,??2??,??, ?ijj或 Pi?jQi?V?i?Y?ijV?j （ i=1，2，?，n） （2-24）
j?1n将上述方程式的实部和虚部分开，对每一个节点可得两个实数方程，但是变量仍有4个，既P、Q、V、δ。我们必须给定其中的2个，而留下两个作为待求变量，方程组式可以求解。根据电力系统运行条件，按给定变量的不同一般将节点分为以下三种类型。
1. PQ节点：
这类节点有功功率P和无功功率Q给定，节点电压（V、δ）是待定量，通常变电所都是这一种类型的节点，由于没有发电设备，其发电功率为零。在一些情况下，系统中某些发电厂送出的功率在一定时间内为固定时，该发电厂母线也作为PQ节点，因此，电力系统的大多数节点属于PQ节点。
2. PV节点：
节点的P、V给定，Q、δ待求，这类节点必须得有足够的可调无功功率，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。一般是选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。在电力系统中这一类节点很少。
3. 平衡节点：
节点的V、δ给定，P、Q待求。在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是末知的。因此，网络中至少有一个节点的功率不能给定，这个节点承担了系统的功率平衡，故称之为平衡节点。另外必须选定一节点，其电压相位均为零，作为各节点电压的参考，这个节点称之为基准节点（其电压幅值给定）。为了计算方便，常将平衡节点和基准节点选为同一节点，可称之为平衡节点，平衡节点只有一个。它的电压幅值和相位已经给定，而其有功功率和无功功率待求。一般选择调频发电厂为平衡节点比较合理，但在进行潮流计算时也可按照别的原则来选择。
从以上的讨论可以看到，尽管网络方程是线形方程，但是由于在定解条件中不能给定节点电流，只能给出节点功率，这就使潮流方程变为非线形方程了。由于平衡节点的电压已经给定，所以平衡节点不参加求解。
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