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第3章 P-Q分解法的基本潮流算法
3.1 牛顿—拉夫逊法的基本原理
首先介绍牛顿法，这是解非线性方程式的有效方法。这个方法把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，通常称为逐次线性化过程。设有单变量非线性方程
f(x)=0 （3-1）
求解此方程时，先给出解的近似值x(0)，它与真解的误差为Δx(0)，则将满足方程(3-1)，即
f(x(0)+Δx(0))=0 （3-2）
将式(3-2)左边的函数在x(0)附近展成泰勒级数，于是便得
f(x(0)??x(0))?f(x(0))?f?(x(0))?x(0)?f??(x(0))(?x(0)2)2!???f(n)(x(0))(?x(0)n)n! ?? （3-3）
式中f’(x(0)),?，f(n)(x(0))分别为函数f(x)在x(0)处的一阶导数，?，n阶导数。
如果差值Δx(0)很小，式(3-3)右端的二次及以上阶次的各项均可略去。于是，式(3-3))(0)(0)(0)?x)?f(x)??f(x)?x?可简化为 f(x(0? ( 0 （3-4）这是关于修正量Δx(0)的线性方程，亦称为修正方程式。解此方程式可得修正量
?x(0)??f(x(0))(0)f?(x) （3-5）用所求得的Δx(0)去修正近似解，便得 x(1)?x(0)??x(0)?x(0)?f(x(0))(0)f?(x) y y?f(x) 由于式(3-4)是略去了高次项的简化式，因此所解出的修正量Δx(0)也只是近似值。修正后的近似解x(1)与真解仍然有误差。但是，这样的迭代计算可以反复进行下去，迭代计算的通式是 x(k?1)?x(k)?f(x(k))(k)f?(x) （3-6） y(k)迭代过程的收敛判据为 |f(x(k)?x(k))|??1 |??2 （3-7） o或 |?x(k) （3-8） x(k?2)x(k?1)x(k)x 图3-1牛顿法的几何解释
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式中的ε1，ε2是预先给定的小正数。 这种解法的几何意义可以从图(3-1)中得到证明。函数y=f(x)为图中的曲线，f(x)=0的解相当于曲线与x轴的交点。如果第k次迭代中得到x(k)，则过[x(k),y(k)=f(x(k))]点做一切线，此切线同x轴的交点便确定了下一个近似解x(k+1)。由此可见，牛顿-拉夫逊法实质上就是切线法，是一种逐步线性化的方法。牛顿法不仅用于求解单变量方程，也是求解多变量非线性方程的有效方法。设有n个联立的非线性代数方程： f1(x1,x,2?xn)?0f2(x1,x,2?xn)?0?fn(x1,x2,?xn)?0 （3-9）
应用牛顿法求解多变量非线性方程组(3-9)时，假定已给出各变量的初值x1(0)，??x1,x2??x2,?,xn??xn)?0??(0)(0)(0)(0)(0)(0)f2(x1??x1,x2??x2,?,xn??xn)?0????(0)(0)(0)(0)(0)(0)fn(x1??x1,x2??x2,?,xn??xn)?0??f1(x1(0)(0)(0)(0)(0)(0)x2(0)，?，xn(0)，令Δx1(0)，Δx2(0)，?，Δxn(0)分别为各变量的修正量，使其满足方程，即
（3-10）将上式中的n个多元函数在初始值附近分别展成泰勒级数，并略去含有Δx1(0)，Δx2(0)，?，Δxn(0)的二次及以上阶次的各项，使得 f1(x1,x2,?,xn)?(0)(0)(0)(0)(0)(0)?f1?x1?f2?x100?x1(0)??f1?x2?f2?x200?x2???(0)(0)?f1?xn?f2?xn00?xn(0)f2(x1,x2,?,xn)??x1(0)???x2????xn(0)fn(x1,x2,?,xn)?(0)(0)(0)?fn?x10?x1(0)??fn?x20?x2???(0)?fn?xn0?xn(0)??0????0??? （3-11）????0???方程式可以写成矩阵形式 ??f1???x1(0)(0)(0)f1(x1,x2,?xn)???f2?(0)(0)(0)?f2(x1,x2,?xn)?????x1??????(0)(0)(0)fn(x1,x2,?xn)?????fn??x1??f010 ????????x2?f2??f?xn?f2?xn?10?x2??fn?00?x2?0?fn?xn??0?(0)???x1????x(0)???2? （3-12）0??????(0)???xn??????0?方程式(3-12)是对于修正量Δx1(0)，Δx2(0)，?，Δxn(0)的线性方程组，称为牛顿法的修正 14
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方程式。利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量Δx1(0)，Δx2(0)，?，Δxn(0)。然后对初始近似解进行修正 xi(1)=xi(0)+Δxi(0) (i=1,2,?,n) （3-13） 如此反复迭代，在进行第k次迭代时，求解修正方程式 ??f1???x1(k)(k)(k)f1(x1,x2,?xn)??(k)(k)(k)???f2f2(x1,x2,?xn)?????x1??????(k)(k)(k)fn(x1,x2,?xn)?????fn??x1??fk1k????????x2?f2??f?xn?f2?xn?1k?x2??fn?kk?x2?k?fn?xn??k?(k)???x1????x(k)???2? （3-14）k??????(k)???xn??????k?得到修正量Δx1(k)，Δx2 (k)，?，Δxn(k)，并对各变量进行修正 xi(k+1)=xi(k)+Δxi(k) (i=1,2,?,n) （3-15）式(3-14)和(3-15)也可以缩写为 F(X(k)) = - J(k)ΔX(k) （3-16） 和 X(k+1) = X(k)+ΔX(k) （3-17） 式中，X和ΔX分别是有n个变量和修正量组成的n维列向量；F(x)是由n个多元函数组成的n维列向量；J是n×n阶方阵，称为雅可比矩阵，它的第i、j个元素Jij??fi/?xj是第i个函数fi(x1 ,x2, ?,xn)对第j个变量的偏导数，上角标(k)代表示J阵每一个元素都在点(x1(k),x2(k),?,xn(k))处取值。迭代过程一直进行到满足收敛判据 (k)(k)(k)Max{|fi(x1,x2,?xn)|}< ε1 （3-18）或 Max{|Δxi(k)|}< ε2 （3-19）为止，ε1和ε2为预先给定的小正数。 将牛顿-拉夫逊法进行潮流计算，要求将潮流方程写成形如（3-9）的形式。由于节点电压可以采用不同的坐标系来表示，牛顿-拉夫逊法潮流计算也将相应的采用不同的计算公式。 3.2 极坐标下的牛顿-拉夫逊法潮流计算
采用极坐标时，节点电压表示为V?i?Vi??i?Vi(cos?i?jsin?i)，导纳矩阵元素则表示为Yij?Gij?jBij 将其和导纳矩阵表示式带入节点的功率方程（2-24）右端，展开并分出实部和虚部，变得
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nPi=Vi?Vj(GδcosijijVj(Gδsinijij+δBsinijij-δBcoisjij) j=1n （3-20）)Qi=Vi?j=1式中，δij=δi-δj是两节点电压的相角差。 方程式(3-20)把节点功率表示为节点电压的幅值和相角的函数。在有n个节点的系统中，假定第1～m号节点为PQ节点，第m+1～n-1号节点为PV节点，第n号节点为平衡节点。在极坐标系中Vn和δn是给定的，PV节点的电压幅值Vm+1～Vn-1也是给定的。因此，只剩下n-1个节点的电压相角δ1，δ2，?，δn-1和m个节点的电压幅值V1，V2，?，Vm是未知量，一共包含了n-1+m个方程式，正好同未知数的数目相同。 实际上，对于每一个PQ节点或每一个PV节点都可以列写一个有功功率不平衡量方程式 n ?Pi?Pis?P?iP?isV?j?1i(VjGco?s?ijijBs?inij?) (i=1,2,0?,n-1) （3-21）ij而对于每一个PQ节点还可以在列写一个无功功率不平衡量方程式 n?Qi?Qis?Qi?Qis?Vi?Vj(Gijsin?ij?Bijcos?ij)?0 (i=1,2,?,m) （3-22） j?1对于方程式（3-21）和（3-22）可以写出修正方程式如下 ?H11??P1????H21?P2???????????P?Hp1p????P????Hn?1,1n?1???J11???Q1????Q?J212???????????Jm,1?Qm??????H12H22H???p2H1pH2pHH1,n?1H2,n?1HN11N21Np1Nn?1,1L11L21?Lm,1N12N22?Np2Nn?1,2L12L22Lm,2???ppp,n?1Hn?1,2J12J22Jm,2Hn?1,pJ1pJ2pJm,pHn?1,n?1,J1,n?1J2,n?1?Jm,n?1N1m????1???N1m???2????????????N1m???p??Nn?1,m????n?1? ????L1m???V1/V1????V2/V2?L2m???????????Lm,m???Vm/Vm????方程式可简写为 16
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??P??H??????Q???KN???????1L???VD2?V?? ?? （3-23）式中 ??P1???Q1????1??????????P2?Q2??2?;?Q???;???????P????????????????????P?Q???????m?n?1??n?1?????? ??V1??V1????????V2V2??????V?;VD2??????????????VV???m?m????? （3-24）iH是(n-1)×(n-1)阶方阵，其元素为Hij?；N是(n-1)×m阶矩阵，其元素为??j ??PNij?Vj??Pi?Vj；K是m×(n-1)阶矩阵，其元素为Kij???Qi??j；L是m×m阶方阵，其元素为Lij?Vj??Qi?Vj。 在这里把节点不平衡功率对节点电压幅值的偏导数都乘以该节点电压，相应地把节点电压的修正量都除以该节点的电压幅值，这样，雅可比矩阵的表达式就具有比较整齐的形式。 对式（3-21）和式（3-22）求偏导数，可以得到雅可比矩阵元素的表达式如下：当i≠j时： 当i=j时： Hij???Pi??j?-ViVj(Gijsin?ij-Bijcos?ij)?-ViVj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)Hii???Pi??i?Qi?ViBii?-Pi-ViGii22Nij?VjKij???Pi?VjNii?ViKii???Pi?Vi??Qi??j（3-25） ?ViVj(Gijcos?ij?Bijsin?ij)?-ViVj(Gijsin?ij-Bijcos?ij)??Qi??i?Vi （3-26） ?-Pi?ViGii?-Qi?ViBii22Lij?Vj??Qi?VjLii?Vi??Qi 计算步骤如下，首先要输入网络的原始数据以及各节点的给定值并形成节点导纳矩阵。输入节点电压初值Vi(0)和δi(0)置迭代计数k=0。然后开始进入牛顿法的迭代过程。在进入第k+1次迭代时其计算步骤如下： (1) 按上一次迭代算出的个节点电压，利用式（3-21）和（3-22）计算各类节点的不平衡量ΔPi(k)、ΔQi(k)和ΔVi2 (k)。 17