《概率论》计算与证明题 79
F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.
由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为
?0,?F(x)??x,?1,?x?00?x?1 x?1∴ ?服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得
F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}
?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)
等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度为0，由题设得由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。P{??0}?P{??1}?0。至此得证?服从[0,1]均匀分布。
?(x?m)2?exp??? 22?2????1(x?m0)?ln210、证：（1）f?(x)??1?exp???2?2?(x?m)2??ln??ln??exp??22?2????1?2?? ?
若令Q(?)??1(2)2,T(x)?(x?m0),2D(?_??ln?， S(x)??ln2?，则有
f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}
2这就证明了正态分布M(m0,?)是单参数?(??0)的指数族。
（2）fm(x)?12??02??(x?m)exp??2?2?0???? ????? 2??0??1?12??022??x2?2mx?m2?mx?mxexp????ln??exp?2?2222??2?02?0????0若令Q(m)?m?212m22?0,T(x)?x,D(m)??0,S(x)?x222?0?ln12??0，则
《概率论》计算与证明题 80
fm(x)?exp{Q(m)T(x)?D(m)?S(x)}
所以正态分布N(m,?0)是单参数m(???m??)的指数族。 （3）p(k;?)?2?kk!e???exp{kln????lnk!}。
若令Q(?)?ln?,T(k)?k,D(?)???,S(k)??lnk!，则
p(k;?)?exp{Q(?)T(k)?D(?)?S(k)}，所以p(k;?)是单参数?(??0)的指数族。
（4）关于[0,?]上的均匀分布，其密度函数为f?(x)???1/?,?0,0?x??x??或x?0
f?(x)是定义在???x??的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式 f?(x)?exp{Q(?)T(x)?D(?)?S(x)}，
故f?(x)关于?不是一个单参数的指数族。
11、证：必要性：
??令u?x?baf(x,y)dxdy???bake?a(x?bay)2?e?ac?ba2ydxdy
y,v?y，得y?v,x?u?v,J?1。设
2??
f(x,y)dxdy?????ke?au2du????e?ac?bav2dv
要积分收敛，必须a?0,(ac?b)/a?0，由此得应有ac?b?0以及c?0。利用?可得
ac?ba222???e?u2du???∴ k?ac?b???ke?au2du????e?v2dv?k?1a??aac?b2??1
2?
从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。
12、解：设f(x,y)?f1(x)f2(y)?h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)?0得h(x,y)??f1(x)f2(y)。又
1???f(x,y)dxdy??f1(x)dx?f2(y)dy???h(x,y)dxdy?1???h(x,y)dxdy，
所以应有??h(x,y)dxdy?0。
反之，若h(x,y)??f1(x)f2(y)，h(x,y)可积且
??h(x,y)dxdy?0，显然有f(x,y)?0且
《概率论》计算与证明题 81
??f(x,y)dxdy?1，即f(x,y)是密度函数。
所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)??f1(x)f2(y)且
??h(x,y)dxdy?0。
?13、解：（1）1????2x?e?ydy?A???1e?2x?0Aedx?0??y|??2????e0??A02,A?2
（2）P???2,??1???2?2x1?y1?402edx?0edy???e?2x|20???e?y|0??(1?e)(1?e?1)。
（3）?的边际分布，当x?0时f?(x)?0，当x?0时有
f?(x)???2x2x.
02e?e?ydy?2e?（4）P?????2???202e?2xdx?2?x0e?ydy
??22x2?2x?(2?x)02e?(1?e?(2?x)dx?0(2e?2edx ?(1?e?4)?(2e?4?2e?2)?1?e?4?2e?2?(1?e?2)2.
（5）当x?0,y?0时f(x|y)?0；当x?0,y?0时有
2x?y)f(x|y)?f(x,y)f?2e?(?2e?2x.
?(y)e?y（6）P{??1}??1dy?(2x?y)dx1e?ydy???(2x?y)dx??e?y1?1?e?1,
0??02e??002e0利用（2）的结果可得
P???2,??1??P???2,??1?(1?e?4)(1?e?1)P???1??1?e?1?1?e?4.
14、证：设多项分布为
P{?kk1?k1,?,?r?kr}?n!kp11?pr1， 1!?kr!rrki?0,?ki?n,?pi?1。 i?1i?1利用（2）可以把（1）改写成
P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}?
?n!k1kn?k1???kr?1k1!?kr?1!(n?k1???kr?1)!p1?pr1?(1?p1???pr?1) 由边际分布的定义并把（3）代入得
1）
2）
3）
（（（ 《概率论》计算与证明题 82
P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}??P{?1?k1,?,?r?1?kr?1}
kr?1k1???kr?1?n,kr?1?0r?2n!p11?pr?2kkn?k1??kr?2???(n?k1???kr?2)!r?1pr?? 1kk1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!kr?1?0kr?1!(n?k1???kr?1)!?(1?pn?k1???kr?11???pr?2pr?1)
由二项式定理得
P{?1?k1,?,?r?2?kr?2}?
?n!kpk1?pkr?2n?k1???k21r?2?(1?p1???pr?2) 1!?kr?2!(n?k1???kr?2)!把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得
P{?k11?kn!1}?k
1!(n?k1?pn?k11)1)!p1(从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。 、解：（1）?的密度函数为，当x?0时p?(x)?0；当x?0时，注意积分取胜有选取，得
p?(x)?????p(x,y)dy???1令x?(k?xk1?1(y?x)k2?1??ydy(y?x?1)
1)?(k2)k1?1?k1?1?xk2?1?x?x?(k1)?(ee?tdt?x2)?t0?(k1)e.
（2）?的密度函数为，当y?0时p?(y)?0；当y?0时，
py?(y)?????p(x,y)dx??y1x?(kdx
1)?(kxk1?1(y?x)k2?1??2)?令x?yt，当x?0时t?0，当x?y时t?1，所以
p)?e?yyk1?1yk2?1?1k1?1k2?1?(y?(kydt1)?(k2)?t(1?t)0yk1?k2?1yk1?k2?1e?y?e?)?(k2)1k1?k2?1?(k1,k2)?ye?y
1)?(k2)?B(k?(k1)?(k??(k12)?(k1?k2)??(k1?k2)y其中用到??函数与??函数的关系式。 、证：我们有
0?Fi(xi)?1,1?2fi(xi)?1?2?1?1,
?1?[2F1(x1)?1][2F2(x2)?1][2F3(x3)?1]?1,
（4）
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《概率论》计算与证明题 83
代入f?(x1,x2,x3)的表达式得 f?(x1,x2,x3)?0 (1) 又有
????2F(x??ii)?1?fi(xi)dxi???2F(x??ii)?1?dFi(xi)?F1(xi)?Fi(xi)2??????0
????f?(x1,x2,x3)dx1dx2dx3?????f1(x1)dx1????f2(x2)dx2????f3(x3)dx3?1 (2)
由（1），（2）知f?(x1,x2,x3)是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为
????f?(x1,x2,x3)dx2dx3?f1(x1), ???f?(x1,x2,x3)dx1dx2?f3(x3)
???f?(x1,x2,x3)dx1dx3?f2(x2).
17、解：
（1）为求(?,?)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k?1)其中利用到独立性。
（a）i?k
?k?P{??k,??k}?P??(??k,??j)???j?1?kk?P{?j?1?k,??j}
?(b)i?k
?j?1pq2k?j?2?pq2k?1?1?qk1?q?pqk?1(1?q)；
kP{??k,??i}?P{??i,??k}?pq21?k?2；
(c)i?k
{??k,??i}??,P{??k,??i}?0
(2)因为?max(?,?)，所以
k?1k{??k}??{?i?1?i,??k}??{?j?1?k,??j}
k?1kk?1kP{??k}??P{?i?1?i,??k}??P{?j?1?k,??j}??i?1pq21?k?2??j?1pq2k?j?2
?pq2k?1?1?qk?11?qk?k?1k??q)pq???(2?q1?q??1?qk?1 (k?1,2,?)
（3）P{??i|??k}?P{??i,??k}P{??k}
k?pqk?1(1?qk)1?qk?q,?k?1k?1k?pq2?q??1(2?qq)??21?k?2i?1pqpqk??q,k?1k?1k?2?q??1(2?qq)?pqi?ki?k,(i,k?1)
i?k