《概率论》计算与证明题 104 又 P{X?0,Y?1}?P(?)?0， P{X?1,Y?3}?P?(?)，
P{X?2,Y?3}?P(?)?0， P{X?3,Y?1}?P?(?)
故(X,Y)的联合分布列为：
X Y 0 1 2 3
69、解：（1）1? 1 0 38383 18 0 0 180 ??0?x?22?y?4k(6?x?y)dxdy?k?dx?(6?x?y)dy?k?(6?2x)dx?8k
020242故 k?18，即
?1?(6?x?y),f(x,y)??8?0,?0?x?2,2?y?4其它132。
（2）P{X?1,Y?3}?????13??f(x,y)dxdy???018(6?x?y)dy
21?5?1?7x????6?x??dx??x??80?2?8?22?11?038
（3）P{X?1.5}???x?1.5f(x,y)dxdy??1.50dx?4218(6?x?y)dy???1.50(6?2x)dx?2732
（4）P{X?Y?4}?
70、解：（1）1???G:x?y?4f(x,y)dxdy?18?20dx?4?x2(6?x?y)dy?1820?x2?2 ?4x?6dx???23????????????f(x,y)dxdy?2??2f(x,y)dxdy?22??2A(R?2x?y)dxdy
22x?y?Rx?y?R??2?0d?3?3R0A?R????d??2??R0A?R??2?d???AR33
故A??R。
32（2）P{(X,Y)?G}?2??2x?y?r?R3(R?x?y)dxdy?22?2?0d??r03?R3?R????d?
《概率论》计算与证明题 105 6?R??3?R?22????3?3r?0r(3R?2r)R32
71、解：（１）(X,Y)的分布函数为
F(x,y)?????xy??f(u,v)dudv?????xy??26?(4?u)(9?v)22dudv
?x??y??123???dudv????????22???(4?u)?(9?v)???????1??x???y?arctan?arctan??2???22??23?? ?x???1???arctan????2?????2y?????arctan???
3???2（２）FX(x)?F(x,??)?
72、解：当x?0时 fX(x)?1??x?1??y?，?arctanF(y)??arctanY????。
??22???23??????????f(x,y)dy??e?ydy?e?x；
x?0其它?e?x,当x?0时，f(x,y)?0，故fX(x)?0。得fX(x)???0,?xe?ydy,?同理fY(y)???0??0,
?ye?y,???0,其它y?0y?0其它
73、解：X的概率密度
?1,?fX(x)??2a?0,??a?x?a其它a?a； Y的概率密度FY(y)?12?b?(y?b)2?22e；
则Ｚ的概率密度fZ(z)??????fX(x)fY(z?x)dx?1z?a?b?t2?12a12???(z?x?b)2?22edx
??22?a??z?a?be2dt??1??z?a?b??z?a?b????????? ??2a????????
74、证： ??,?,?的地位对称
?只证?与?独立即可知?,?,?两两独立。
?1?p(x,y,z)dy??4?2?0?0?x,y?0其它?(?,?)的联合密度是：p(x,y)??????
《概率论》计算与证明题 106 ?1??P?(x)??2???00?x?2?其它 ( 得4分)
?1? 同理P?(y)??2???00?y?2?其它?1? P?(y)??2???00?y?2?其它
故P??(x,y)?P?(x)?P?(y)??与?独立
但P?(x)P?(y)P?(z)?P?(x)?P?(y)?P?(z) 故?,?,? 不相互独立。
z1z2?x??z1?x?y?u????????z11?z2x 逆变换?? 即?75、证：令? J? 2z2?v?z1(1?z)2?y???y????1?z2? 故P???,?(z1,z2)?P(?z1z21?z21?z2,z1)|J|?e?z1z1(1?z2)2,z1?0,z2?0
而P???(z1)???0?0e?z1z1(1?z2)z12dz2?z1e?z1,z1?0
P?(z2)???e?z1(1?z2)2dz1?1(1?z2)2,z2?0
因P???,?(z1,z2)?P???(z1)P?(z2)对?z1,z2
?? 故 ??? 与
??独立。
76、证：显然 p(x)?0 而
?????p(x)dx????n122?()2nn0x2e?1?x2dx
y?x2n?122
?1n?()2n?n??n022?1ny2e?1?y?2dy
?1?y?()2
?y0y2edy?1??8分 《概率论》计算与证明题 107
77、证：P(??k)??1kk!ne??1p(??r)??2??!ee??2
1n!n ?P(??n)??k?0?1kk!e??1?2n?k??2(n?k)! ?e?(???21)?k?0n!k!(n?k)!?1?2k(n?k)
?(?1??2)n!ne?(?1??2)
78、证：f(x)?0，且
????f(x)dx?????12e?|x|dx?????e?|x|dx??e?x?0
?f(x)是一个密度函数。
79、证：（1）设x2?x1,F(x2)?F(x1)?P{x1???x2}?0，所以F(x2)?F(x1)，F(x)非降。
（2）设x???xn?xn?1???x1?x0，x1?x由概率的可加性得
???P??(xi?1???xi)??P{x???x0} ?i?0???F(xi?0n???i)?F(xi?1)??F(x0)?F(x)。
由此得 F(x0)?F(x)?lim?F(x0)?F(x)?，
?F(x)?limF(xn)?F(x?0),n??F(x)右连续。
?（3）1?P{??????}???P{n??n???n?1}
???F(n?1)?F(n)??limn??n??F(n)?limF(m)。
m???由单调性得limF(x)与limF(x)均存在且有穷，由0?F(x)?1及上式得F(??)?0,F(?)?1。
x???x??
80、证：P{x1???x2}?P{??x2}?P{??x1}?P{??x2}?(1?P{??x2})
?P{??x2}?P{??x1}?1?(1??)?(1??)?1?1?(???).
∴不等式成立
《概率论》计算与证明题 108 ?0,?81、证法一：定义F(x)??P{0???x},?1,?x?(??,0]x?(0,1]x?(1,?)则F(x)是?的分布函数。由题设得，对任意
2x?[0,1]有P{0???x}?P{x???2x}，即有P{0???2x}?2P{0???x}。由此得
1xF(x)?F()。从而对nnF(2x)?2F(x)。逐一类推可得，若nx?[0,1]，则F(nx)?nF(x)，或者
mnm有理数，若
?m?mx与x都属于[0,1]，则有F?x??F(x)。再由F(x)的左连续性可得，对任意无nn?n?理数a，若ax与x都属于[0,1]，则F(ax)?aF(x)。 因为区间[0,1)与[0,1]的长度相等，由题设得
F(1)?P{0???1}?P{0???1}?1.
由此及上段证明得，对任意x?[0,1]有F(x)?xF(1)?x，即F(x)为
?0,?F(x)??x,?1,?x?00?x?1 x?1∴ ?服从[0,1]上均匀分布。
证法二：如同证法一中定义?的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对[0,1]上的L－测试几乎处处可微。设x1,x2?(0,1)，当x1??x?[0,1](i?1,2)时，由题设得
F(x1??x)?F(x1)?P{x1???x1??x}
?P{x2???x2??x}?F(x2??x}?F(x2)
等式两端都除以?x，再令?x?0可得，由F'(x1)存在可推得F'(x2)也存在，而且
F'(x2)?F'(x1)。从而对任意x?(0,1)有F'(x)?c。当x?[0,1]时显然有F'(x)?0。一点的长度
为0，由题设得P{??0}?P{??1}?0。由上所述可知?是连续型随机变量，F'(x)是其密度函数，从而定出c?1。至此得证?服从[0,1]均匀分布。
?1,82、证：分别对固定的x0和y0有 F(x0,y)???0,y??x0y??x0,?1,F(x,y0)???0,x??x0x??y0。
由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即F(??,y)?0,