《概率论》计算与证明题 94
39、解：|B?1|?27,|B|?
p(x,y,z)?111|B?1|?127.
(2?)2|B|2?11n1?1?1??exp??(x?a)B(x?a)?
?2??1exp???2??rjk(x1?a1)(xk?ak)? j,k?1?n(2?)2|B|2?13n1(2?)2?1?222exp??(7x?4y?2z?6xy?4xz?2yz)?. 1?2?27(?1,?2)的边际密度函数为（积分时在指数中对z配方）
p(x,y)?????p(x,y,z)dz?13(2?)212127e?12(5x?3212y?4xy)2????e?(z?x?12y)2dz
令z?x?y?t，利用????e?t2dt??得
p(x,y)?3612??12exp??(5x?4xy?3y)?。 4?2?2?
40、证：以f记?的密度函数，则(?,?)的联合密度为f(x0f(y)。作变换，令s?x?y，t?x?y得
121212x?(s?t),y?(s?t),|J|?。若改记s为x，t为y，则由此可得(???,???)的联合密度
为
1?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)?。另一方面，由卷积公式得???和???的密度分别为 2?2??2?g(x)?????f(x?s)f(s)ds, h(y)?????f(y?t)f(t)dt.
故由???与???独立得
1?1??1?f?(x?y)?f?(x?y)??g(x)h(y)。 2?2??2?
令m(x)?logf(x)（此处用了f(x)?0），则有
?1??1?m?(x?y)??m?(x?y)??logg(x)?log2h(y)。 ?2??2?
《概率论》计算与证明题 95
由假定知m(x)有二阶导数，上式对x求导得
?x?y??x?y??x?y??x?y?'m'?????m?????(logg(x))x ?2??2?x?2??2?x''再对y求一次导数得
1?1?1?1?m???(x?y)??m???(x?y)??0. 4?2?4?2?12(x?y),v?12(x?y)则由上式得m??(u)?m??(v)?0.
对任意u,v，选择x,y使u?由u,v的任意性得m????常数，因而m(x)?a?bx?cx2，即有f(x)?exp(a?bx?cx2). 所以?,?，从而???,???均匀正态分布。
41、证：（1）若??f??f?1?1????B????????，则f(?)???1?B????，必存在某个?0??使f(?)?B?0，亦有
(B?0)，从而??????f(B?)，
????B???????? （1） ??????f?1(B?)?f?1
反之，若??????f?1必存在某个?0??使??f(B?)，
???， ??f?1?1(B?0)亦有f(?)?B?0，即f(?)??B????，
从而??f?1????B?????????B??????????????f?1(B?)。 （2）
由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）
f?1????B??????????????f?1(B?)。
（2）若??f?1????B????????，则f(?)???B????，即f(?)属于每个B?(???)，得??f?1(B?)（对
任一???），从而??????f?1?B??，
?????f?1(B?)?f?1????B????????。 （3） ?反之，若??
????f?1?B??，则?属于每个f?1?B???(???)，亦有
f(?)属于每个B?(???)，
《概率论》计算与证明题 96
即f(?)?????B?，从而??f?1????B????????， ??f?1????B??????????????f?1(B?)。 （4）
由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）
f?1????B??????????????f?1(B?)。
?1（3）若??ff?1?1(B)，则f(?)?B，亦有??f?1(B)，从而??f?1(B)，所以
(B)?f?1?1(B)。反之，若??f?1(B)，则??f?1(B)，亦有f(?)?B，即f(?)?B，从
而??f(B)，所以f?1(B)?f?1?1(B)。
由以上证明可得f
42、解：(1) 由?????(B)?f(B)，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。
f(x)dx?1 得?cxdx?1?c?3
0a2012 (2) 由P(??a)?P(??a)得：?3xdx? 故a?1?a?a?
43、解：设?是所抽卡片的号数，记A?n(n?1)2333?1a3xdx
212
,则?的分布列是:
?1?1??A22A??n?n?由E???A?n?k?1k?P(??k)?1An?k?1k?22n?13
44、解: 当(?,?)~N(a1,a2,?1,?2,r)时?~N(a1,?1)且在??x条件下?的分布是
???22N?a2?r2(x?a1),?2(1?r)? 由此比较题中条件可知:
?1??a1?m,?1??,a2?m,?22222??2??,r22???222??
故在y=?条件下, ?的条件分布 N(a1?r?1?2(y?a2),?21(1?r)) 它的密度函数为
2P(x|y)????2???22?1[?2(x?m)??2(x?y)]2?exp??? 22222??(???)??
《概率论》计算与证明题 97
?45、解：由题设((?,?)的分布密度函数是：P(X,Y)??1?a2(x.y)?[0.a]?[0.a]
??0其它由商的密度计算公式??X???的密度?(z)????P(yz,y)|y|dy得：
??0z?0? p(z)???10?z?1
?2?1??2z2z?1
46、解：1)由??????????f(x.y)dxxdy?1 得 A?4
??的边际密度是??2e?2y2) y?0?(y)??y?0
?0 ?当y?0时，??y的条件下?的条件密度为f?2e?2x x?0?|?(x|y)??x?0
?0
47、解：设所取二数为X,Y，则它们是独立的均服从（0,4）上的均匀分布
? ? (XY,的密度函数为)p(x,y)??1?16,(0?x?4,0?y?4) ??0,其它 ?p(xy?4)???p(x,y)dxdy?1?ln40?xy?44
3348、解：1)由??pij?1 得：A?1i?1?18
j2)在?=2时，?的条件分布列为P（??k???2)?P(??k,??2)???1P(??2) 得 ?2?11
49、解：?(?,?)的联合密度为：p(x,y)?12?exp???122?2(x?y)? ??x?1( 令?s?x?ys?t)??2 ?(x,y)?1 ?t?x?yy?1
?(s,t)22(s?t)
0163?? 1111?? 《概率论》计算与证明题 98
?(u,v)的联合密度为:
1(s?t) ?uv(s,t)?exp{?[2?2412?(s?t)414?e?s21st]}??exp{?[?]}
24?22211222 ?u:的边际密度是：?u(s)?
4 同理V的边际密度为: ?v(t)?14?e?t24
?0x?450、解： ?的分布函数F(x)??P(y)dy??x???1?x?00?x?1 x?14 (1) 由1-F(a)?F(a) , 得a4?0.5 则a?0.5
4 (2) 由1-F(b)?0.05, 得1-b4? 0.05 则b?
51、解： 设?为旅客的候车时间，则?在[0,2]上均匀分布
200.95
则E??
?x2dx?1 D(?)??20(x?1)22dx?31
D(?)?13?0.57 7
52、解：1) p?(x)?????p(x,y)dy?12P?(?106xy(2?x?y)dy?4x?3x,0?x?1 则
12?4?z?32?3z?32322651()??z?z?,(3?z?5) 228882P?(z)?P2??3(z)?z?32)? 2) P??(yx)?6y(2?x?y)4?3x,(0?x?1,0?y?1)
3) P{??12??12P{??)?12,??12)121120}???026xy(2?x?y)dxdy1?(4x?3x)dx213
P(???20
53、解：1)P???(Z)?????P(x,z?x)dx?2?e0z?(2x?z?x)?z?zdx?2e(1?e) Z?0
2)P{????2}??20P???(z)dz?(1?eP(??1,??2}P(??2)?2)
223)P{??1|??2}????0102e?(2x?y)dxdy/?(?2e002??(2x?y)dx)dy?1-e
-254、解：p(??y)?p(??a??y)?p(??a??y)??a???012???(x?a)2?22edx