《概率论》计算与证明题 84
18、解：（1）边际分布的密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时，
f?(x)?????f(x,y)dy??104xydy?2x
同理，当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时f?(y)?2y。f(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?独立。
（2）边际密度函数为，当x?[0.1]时f?(x)?0；当0?x?1时
f?(x)?????f(x,y)dy??1028xydy?4x(1?x)
当y?[0.1]时f?(y)?0；当0?y?1时
f?(y)?????g(x,y)dx??1028xydx?4y
在区域0?y?1中均有g(x,y)?f?(x)f?(y)，所以?与?不独立。
19、证：当0?x?2?,0?y?2?时 ，?与?的联合分布密度为
2?0p??(x,y)???z???sinxsiny(?cosz)3?8?3?8?(1?sinxsinysinz)dz??12??014?2；
其余p??(x,y)?0。当0?x?2?时，
p??(x)??2?0dy?2018?3(1?sinxsinysinz)dz?12?；
其余p?(x)?0。由于?,?,?三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当
当0?y?2?,0?z?2?时，p??(y,z)?1/4?；0?x?2?,0?z?2?时，p??(x,z)?1/4?；
当0?y?2?时，p?(z)?1/2?；当0?z?2?时，p?(z)?1/2?；在其余区域内，诸边际密度函数均取0值。由于
p??(x,y)?p?(x)p?(y),22 p??(x,z)?p?(x)p?(z),p??(y,z)?p?(y)p?(z),故?,?,?两两独
立；但当0?x?2?,0?y?2?,0?z?2?时有p(x,y,z)?p?(x)p?(y)p?(z)，故?,?,?不相互独立。
20、证：当|x|?1时，p?(x)?1?xy412????p(x,y)dy??1?1dy?，
其余p?(x)?0。同理当|y|?1时，p?(y)?1/2其余p?(x)?0当0?|x|?1, 0?y?1时有
p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不独立。
222现试能动分布函数来证?与?独立。?的分布函数记为F1(x)，则当0?x?1时，
《概率论》计算与证明题 85
F1(x)?P{?2?x}?P{?x???x}??x?x12dx?x；
同理可求得?2的分布函数F2(y)，得
?0,?F1(x)??x,?1,?x?00?x?1x?1,?0,?F2(y)??y,?1,?y?00?y?1 y?1,22(?,?)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0?x?1,y?1时
F3(x,y)?P{?2?x,?2?y}?P{?2?x}?x
同理得当0?y?1,x?1时F3(x,y)?F3(x,y)?P{?2y；当0?x?1,0?y?1时
x,?y???y}
?x,?1?st42?y}?P{?x???xy
=?x?xds?yy?dt??0,?x,??合起来写得 F2(x,y)??y,?xy,???1,x?0或y?00?x?1,y?10?y?1,x?10?x?1,0?y?1x?1,y?1
不难验证F3(x,y)?F1(x)F2(y)对所有x,y都成立，所以?2与?2独立。
21、证：（1）由褶积公式及独立性得
kk1P{?1??2?k}??P{?i?0?i,?2?k?i}??P{?i?01?i}P{?2?k?i}
kk??i?0?1i!ie??1?e(k?i)!?(?1??2)?2k?1??2?1k!e?(?1??2)?i!(k?1)!??i?0k!i1k?12
?(?1??2)k!ke k?0,1,2,?
这就证明了?1??2具有普阿松分布，且参数为?1??2 （2）P{?1?k|?1??2?n}?P{?1?k,?1??2?n}P{?1??2?n}P{?1?k,?2?n?k}P{?1??2?n}
P{?1?k}P{?2?n?k}P{?1??2?n}??
《概率论》计算与证明题 86
??1kk!e??1??2n?k(n?k)!????ke??2?(?1??2)n!????n?kne?(?1??2)
?n???1??????k???1??2??2?????2?1证毕。
22、证：由题设得
P{??1}?P({??1,??1}?(???1,???1})?11111????， 2222211111????。 22222P{???1}?P({??1,???1}?(???1,??1})?P{??1,??1}?P({??1}?[{??1,??1}?(???1,???1}])
14?P{??1,??1}?P{??1}P{??1}??P{??1}P{??1}，
P{??1,???1}?P({??1}?[{??1,???1}?(???1,??1}])
14?P{??1,???1}?P{??1}P{???1}??P{??1}P{???1}，
同理可证 P{???1,??1}?P{???1}P{??1}，P{???1,???1}?P{???1}P{???1}. 所以?与?相互独立。用同样的方法可片?与?也相互独立。但
P{??1,??1,??1}?P({??1,??1}?[{??1,??1}?{???1,???1}])，
18P{??1}P{??1}P{??1}?，
所以?,?,?只两两独立而不相互独立。
23、解：P{??k}??kk!e??,k?0,1,2?，
由此得（1）P{??ak?b}??kk!e??e??,k?0,1,2?，
（2）P{??k}?
2?kk!,k?0,1,2?。
24、解：（1）由P{??0}?0知，?以概率1取有限值。当y?0时，
《概率论》计算与证明题 87
?1??1?F?(y)?P??y??P{??0}?P?????y??????0??p(x)dx???1yp(x)dx；
当y?0时，
?1??1?F?(y)?P??y??P????0??????y?01y?p(x)dx；
当y?0时，
F?(y)??0??p(x)dx。
??????（2）F?(y)?P{tg??y}?P?{k?????k??arctgy})??? ?2?k????k?????k??arctgyk???2p(x)dx
（3）当y?0时，F?(y)?0；当y?0时，
F?(y)?P?|?|?y??P??y???y???y?yp(x)dx。
25、解：设直径为随机变量d，则
?1,?pd(x)??(b?a)??0,a?x?b其它。
圆面积S?14?d。当
214?a2?y?14?b时，
???y??P?d???4y?????4y2?1Fa(y)?P{S?y}?P??d?42??a1b?adx；
当y?14?a时Fa(y)?0；当y?14214?b时Fa(y)?1。由此对Fa(y)求导（利用对参数积分求导法则）
1414142得圆面积的分布密度为，当y??a或y?2?b时pa(y)?0；当
2?a2?y??b时
2pa(y)?F'a(y)??y(b?a)?y。
26、解：?与?的密度函数为
?1,p?(x)?p?(x)???0,0?x?1其它 （1）
由卷积公式及独立性得?????的分布密度函数为 y p?(y)?
????p?(x)p?(y?x)dx （2） 2 C 《概率论》计算与证明题 88
把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0?x?1，
0?y?x?1，满足此不等式组的解(x,y) 构成 D 图中平面区域平形四边形ABCD，当0?y?1时 1 B 0?x?y ,当1?y?2时y?1?x?1。所以当 A0 1 x 0?y?1时（2）中积分为 p?(y)???y011?1dx?y 1?1dx?2?y;
当1?y?2时，（2）中积分为 p?(y)?对其余的y有p?(y)?0。
27、解：p?(x)?p?(x)?12?e?12x2y?1， p??(x,y)?12?e122?(x?y)2
由求商的密度函数的公式得
p?(y)?????|x|p(xy,x)dx?1????|x|?12?e1222?(xy?x)2dx?22???0xe?12x(1?y)22dx
?1?1?y2?122?x(1?y)??12, ???y??? ??e??2?(1?y)??0??
??服从柯西分布。
28、解：作变换，令s?x?y,t?x?y，得x?12(s?t),y?12(s?t),|J|?12。由?与?独立知，它们
的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V的联合密度函数为
pUV(s,t)?12?e14?12x2?212?e?12y2?|J|?1?s??????2?2?212???e221??s?t??s?t?????????2??2??2?????12
?14?e?(s?t)2?12??2e12??2e1?t??????2?2?2?pU(s)pV(t)
所以U,V两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。
29、解：当y?0时由独立性得
1?F?(y)?P{??y}?P{?1?y,?2?y,?,?n?y}
nn1in??iyn??P{?i?1?y}??(1?F?(y))??(ei?1i?1)?exp(?y??i)
i?1