2πmTn＝ qBn2πmTnT′＝＝ kqBnk
由上可知，Tn是T′的k倍，所以A每绕行1周，B就绕行k周．由于电场只在A通过时存在，故B仅在与A同时进入电场时才被加速．
经n次加速后，A、B的速度分别为vn和v′n，考虑到④式
vn＝v′n＝
由题设条件并考虑到⑤式，对A有
Tnvn＝2πR
设B的轨迹半径为R′，有
T′v′n＝2πR′
比较上述两式得
RR′＝ k
上式表明，运动过程中B的轨迹半径始终不变． 由以上分析可知，两粒子运动的轨道如图A所示． 25． [2014·浙江卷] 离子推进器是太空飞行器常用的动力系统．某种推进器设计的简化原理如图1所示，截面半径为R的圆柱腔分为两个工作区．Ⅰ为电离区，将氙气电离获得1价正离子；Ⅱ为加速区，长度为L，两端加有电压，形成轴向的匀强电场．Ⅰ区产生的正离子以接近0的初速度进入Ⅱ区，被加速后以速度vM从右侧喷出．
R
Ⅰ区内有轴向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，在离轴线处的C点持续射出一定速
2率范围的电子．假设射出的电子仅在垂直于轴线的截面上运动，截面如图2所示(从左向右看)．电子的初速度方向与中心O点和C点的连线成α角(0＜α≤90°)．推进器工作时，向Ⅰ区注入稀薄的氙气．电子使氙气电离的最小速率为v0，电子在Ⅰ区内不与器壁相碰且能到达的区域越大，电离效果越好．已知离子质量为M；电子质量为m，电量为e.(电子碰到器壁即被吸收，不考虑电子间的碰撞)
2nqU
m2nkqU＝kvn m
第25题图1 (1)求Ⅱ区的加速电压及离子的加速度大小；
(2)为取得好的电离效果，请判断Ⅰ区中的磁场方向(按图2说明是“垂直纸面向里”或“垂直纸面向外”)；
第25题图2
(3)α为90°时，要取得好的电离效果，求射出的电子速率v的范围； (4)要取得好的电离效果，求射出的电子最大速率vmax与α角的关系． v23eBRM
25．[答案] (2)垂直纸面向外 (3)v0≤v≤ 2L4 m(4)vmax＝
3eBR
4m（2－sin α）
[解析] 本题考查带电粒子在电场和磁场中的运动等知识和分析综合及应用数学解决物理问题的能力．
12
(1)由动能定理得MvM＝eU①
2Mv2MU＝②
2e
2
eEUvM
a＝＝e＝③
MML2L
(2)垂直纸面向外④
(3)设电子运动的最大半径为r 3
2r＝R.⑤
2
v2
eBv＝m⑥
r
3eBR
所以有v0≤v<⑦
4m
4mv0
要使⑦式有解，磁感应强度B>.⑧
3eRR
(4)如图所示，OA＝R－r，OC＝，AC＝r
2
3R
根据几何关系得r＝⑨
4（2－sin α）3eBR
由⑥⑨式得vmax＝ .
4m（2－sin α）
8． (16分)[2014·重庆卷] 某电子天平原理如题8图所示，E形磁铁的两侧为N极，中心为S极，两极间的磁感应强度大小均为B，磁极宽度均为L，忽略边缘效应，一正方形线圈套于中心磁极，其骨架与秤盘连为一体，线圈两端C、D与外电路连接，当质量为m的重物放在秤盘上时，弹簧被压缩，秤盘和线圈一起向下运动(骨架与磁极不接触)，随后外电路对线圈供电，秤盘和线圈恢复到未放重物时的位置并静止，由此时对应的供电电流I可确定重物的质量，已知线圈匝数为n，线圈电阻为R，重力加速度为g.问
题8图
(1)线圈向下运动过程中，线圈中感应电流是从C端还是从D端流出？ (2)供电电流I是从C端还是D端流入？求重物质量与电流的关系． (3)若线圈消耗的最大功率为P，该电子天平能称量的最大质量是多少？ 8．[答案] (1)从C端流出 (2)从D端流入 2nBL(3)
g
P R
2nBIL
g
本题借助安培力来考查力的平衡，同时借助力的平衡来考查受力平衡的临界状态． [解析] (1)感应电流从C端流出．
(2)设线圈受到的安培力为FA，外加电流从D端流入． 由FA＝mg和FA＝2nBIL 2nBL得m＝I
g
(3)设称量最大质量为 m0. 2nBL由m＝I和P＝I2R
g2nBL
得m0＝
g
P R
9． (18分)[2014·重庆卷] 如题9图所示，在无限长的竖直边界NS和MT间充满匀强电场，同时该区域上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B和2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，距KL高h处分别有P、Q两点，NS和MT间距为1.8h，质量为m，带电荷量为＋q的粒子从P点垂直于NS边界射入该区域，在两边界之间做圆周运动，重力加速度为g.
题9图
(1)求电场强度的大小和方向．
(2)要使粒子不从NS边界飞出，求粒子入射速度的最小值．
(3)若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子入射速度的所有可能值． 9．[答案] (1)E＝
mgqBh，方向竖直向上 (2) (9－62) (3)可能的速度有三个：qm
0.68qBh0.545qBh0.52qBh
，， mmm
本题考查了带电粒子在复合场、组合场中的运动．
答题9图1 答题9图2 [解析] (1)设电场强度大小为E. 由题意有mg＝qE
mg
得E＝，方向竖直向上．
q
(2)如答题9图1所示，设粒子不从NS边飞出的入射速度最小值为vmin，对应的粒子在上、下区域的运动半径分别为r1和r2，圆心的连线与NS的夹角为φ.
mv由r＝
qB
mvmin1有r1＝，r2＝r1
qB2由(r1＋r2)sin φ＝r2
r1＋r1cos φ＝h qBh
vmin＝(9－62)
m
(3)如答题9图2所示，设粒子入射速度为v，粒子在上、下方区域的运动半径分别为
r1和r2，粒子第一次通过KL时距离K点为x.
由题意有3nx＝1.8h(n＝1，2，3?)
3（9－62）hx≥ 22
2x＝r1－（h－r1）2
0.36h
1＋2?，n<3.5 得r1＝?n?2?
0.68qBh
即n＝1时，v＝；
m0.545qBh
n＝2时，v＝；
m0.52qBh
n＝3时，v＝
m
14．[2014·江苏卷] 某装置用磁场控制带电粒子的运动，工作原理如图所示．装置的长为L，上下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场，磁感应强度大小均为B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为d.装置右端有一收集板，M、N、P为板上的三点，M位于轴线OO′上，N、P分别位于下方磁场的上、下边界上．在纸面内，质量为m、电荷量为－q的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成30°角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达P点．改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置．不计粒子的重力．
(1)求磁场区域的宽度h；
(2)欲使粒子到达收集板的位置从P点移到N点，求粒子入射速度的最小变化量Δv； (3)欲使粒子到达M点，求粒子入射速度大小的可能值． 23L－3d??1－? 14．[答案] (1)??3??2?qBL3
(2)?－d? m?64?
qBL3L? (3)?n＋1－3d??1≤n<－1，n取整数m???3d?[解析] (1)设粒子在磁场中的轨道半径为r 根据题意 L＝3rsin 30°＋3dcos 30° 且h＝r(1－cos 30°)
23L－3d??1－?. 解得 h＝??3??2?
(2)设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为r′ v2v′2
m＝qvB，m＝qv′B， rr′