高等电磁场作业一 周竞科
1－1、证明：
??令???A?M，???B?N。
?????所以B???(???A)?B???M???M?B?M???B???M?B?(???A)???B，
??????A???(???B)?A???N???N?A?N???A???N?A?(???B)???A， ??又因为(???A)???B＝(???B)???A
所以原式＝
???[??M?B???N?A]dv?v???[M?B?N?A]?ds?s?????[???A?B????B?A]?dsS??S?????[A?(??B)?B?(??A)]?ds
证毕
1－2、证明：
???d?(f?g)?x(fxgx?fyg?xy?d?fzgz)?y(fxgx?fyg?yyy?d?fzgz)?z(fxgx?fyg?zy?fzgz)????f?g??x?y?dfx??x??dfxz????y?df?x??zdfydf?xdfy?ydfy?zdfz????x?x??dfz?????y??x????y???z?dfz????z?dfz?y?gx??z?gy???gz????????x?y?dfx??x??dfxz????y?df?x??zx?xdfy?ydfy?zy???x?g?xdfz??gy???y??gdfz?z??z?dfzz??????(gdfx?x?gdfy?x?g?x?)x?(gdfxx?y?gdfyy?y?gdfzz?y?)y?(gdfxx?z?gdfyy?z?gdfzz?z?)z同理可得
dgydgydgydgxdgxdgx??dgz?dgz?dgz??g?f?(fx?fy?fz)x?(fx?fy?fz)y?(fx?fy?fz)z?x?x?x?y?y?y?y?y?y由
d(fxgx)dx?fxdgdxx?gxdfxdx?????? 并依次类推相加可得?(f?g)＝?f?g＋?g?f
证毕
2.1 讨论Maxwell方程中四个边界条件的独立性。
???????Maxwell边界方程中,前两个方程n?(H1?H2)?JS,n?(E1?E2)?0是独立的，可以推导
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出其余两个方程，过程如下
???n?0
???????????B1?B2????????n?(E1?E2)??n???(E1?E2)?(E1?E2)?(??n)?n?(??)???n?(B1?B2)?0?t?t?t??????所以有n?(B1?B2)?const，由于在静态场中n?(B1?B2)?0，所以对时变场也有???n?(B1?B2)＝0。
当n?(H1?H2)?JS时，
????????????D1?D2??????JS???n?(H1?H2)??n???(H1?H2)?(H1?H2)?(??n)??n?(J1??J2?)?t?t?????D2???D1??n?(J1?J2)?n?(?)?t?t????
???由电流连续性方程n?(J1?J2)???s???S， ?JS??t??s?JS?lim?l??'JS?ndlS?limS?0?S???JSdsSS?0????JS
??????????S??S?D2?D2????D1??D1?n?(?)??n?(?)?n?(D1?D2) 所以??JS???JS??t?t?t?t?t?t?t???得n?(D1?D2)??S?const???n?(D1?D2)??S
，由于在静态场中此const＝0，所以对时变场也有
所以得证。 2.2验证E解：
??x????B??E?????t??x??0?y??y0?????0
?z?E0exp{?jkz}???z??E0exp{?jkz}?z是否为可能存在的电磁场。
所以
?B?t＝0，即B不随时间而变换。
当在无源区域时，B恒定即没有电场产生，所以不存在电磁场。
在有源区域时，电场可以由电源产生，因此有可能存在电磁场。
???E12.3证明边界条件：n??E2?0????D1和n???D2???s。
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证明：
沿用本讲证明一中的假设条件 有(n?E1?n?E2)S?Mh??????B?tSh
?M表示n?E关于小盒侧面的线积分 ??当h 趋于0时，有n?(E1?E2)＝0 ???同理，有(n?D1?n?D2)S?Nh??Sh
??N表示n?D关于小盒侧面的线积分
??当h 趋于0时, ?h??S为面密度，有n?(D1?D2)??s
3.1对于良导体，无源区域的Maxwell方程为
??????????????H??E???E??j??H??H?0??E?0
试导出波动方程，并给出波传播的速度v和波阻抗?的表达式。
?????H解：????H????E??jw??H????
?t?????E????E??jw???H??jw??E????
?t??????H?H2?H??(??H)?????H?0??????
?t?t??????E?E2?E??(??E)?????H?0??????
?t?t2222??在以上波动方程中可以得到 k2??j??? ? k??j???????(?j)
所以kr??kr22???
v??22?????2???，???????k???2?(1?j)
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4-1 试推导频域Poynting定理。
???1?1?*1?**??(E?H)?H?(??E)?E?(??H)222???1?*1?**?H?(?jwB)?E?(J?jwD) 221??*1?*?1??*??E?J?j2w(H?B?E?D)244
4-2 相同频率?的两个电源，置于相同的各向同性的线性媒质中，电源1在空间产生的电磁场为E1,H1 ；而电源2产生的E2,H2，试证明 ???E1?H???????(E1?H2)?H2?(??E1)?E1?(???????H2??jwB1?E1?(J2???????jw?H2?H1??E1?E2???????????2???E2?H1?0?
?H2)?jwD2)???jw?E1?E2??
同理??(E2?H1)??jw?H2?H1??E1?E2?jw?E1?E2
??所以??E1?H??2???E2?H1?0?
4-3 无限均匀导电媒质中放一电量为Q的点电荷，试求这电荷随时间的变化规律，并写出空间中任一点的磁场强度和能密度。
因为媒质中无外电场作用，因此J??E.
?vv?dv????Ddv?v????Edv?Q?v???Edv?vvQ?
1?Q???Jdv?由上两式可得
1?Q??Q???t?dv???Q?t??Q?t?v????Edv?v???Edv????t)
??t
??t＝
?Q???Q?Q0exp(???因为源Q为点电荷，因此其所产生的电场E为散度场，所以??E=0
??Q0e?Q0e?（亦可由E?24?4?RR?R????RR3??Q0e???E?4???(???RR3)?0）
????B?t?????E?0,即B不随时间而变化。
??所以B?Bt?0?0(电荷刚放入媒质时没有电荷变化，因此此时B＝0) ????(wP?we?wm)??E?E 根据时域Poynting定理，??S???t
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??????因为S?E?H??E?B?0，且wP?wm?0，所以??S＝0
???ttwe???E2t2etQ0exp(?4?R222???w0d??wet?we0????Ed?????00??)d?2?
?Q08?R22???Q08?R22t?02??exp(?2???)d???Q08?R22exp(??t)?错！前提为连续分布的电荷系统！
而we0??Q08?R22，
?能量密度即为wet??Q08?R22exp(2??t)
5-1
证明:在自由空间(?0,?0)的电磁场中，垂直于任意表面的电磁场力密度（单位面积上电磁场力的法向分量）为
Fn?12????2222????)] [?0(E?n)??0(H?n)??0(E?n)??0(H?n?假设单位面积的法向分量为n，
???????因此在垂直表面的E中，可以分解成平行n的E1，其大小为E?n；垂直n的E2，??其大小为E?n.
因为E1与n平行，根据式（5—19）可得F1e????1可得F2e???0(E?n)2，
2???12???2?0(E?n)。而E2与n垂直，亦
???? E与H相互垂直，因此H1将与n垂直，其大小为H?n;H2与n平行，其大小
为H?n。
?????11?2同理F1h???0(H?n)，F2h??0(H?n)2.
22??整个表面所受的电磁场力密度将为这四个力密度之和，所以
Fn?12????2222?)??0(H?n?)??0(E?n?)??0(H?n?)] [?0(E?n5-2
试导出频域情况下电磁场动量守恒定理。