高等电磁场作业一 周竞科
证：在一维中，有
??c1e?G(x,x?)????c3eddRjkx22G?kG???(R)
2?c2e?c4e?jkx???x?x?x??x???jkx?jkx
因为场不可能无限大，可以推得c2?c3?0 又从源点条件可以得到
c1ejkx??c4e?jkx? jkc1ejkx??jkc4e?jkx??1
?c1??j2ke?jkx?c4??j2kejkx?
j?jk(x?x?)??e??2k?G(x,x?)????jejk(x?x?)??2k???x?x???x??x???j2kejkx?x?
在二维中，问题对新坐标原点对称，所以G0(?,0)仅是R得函数。在圆柱面坐标系中
1d(R?ddRG)?kG???(?)?(?) （1）
2RdR相应齐次方程为
1dRdR(R?ddRG)?kG?0
(1)02上式是零阶柱贝塞尔方程。其解为零阶贝塞尔函数H仅有H(2)0(k?)和H(2)0(k?)的线性组合，其中
(k?)满足辐射条件，故G0(?,0)?AH(2)0(k?)
对（1）取体积分，所取体积分以o?为圆心半径为??的单位长度小圆柱区域。于是
dGdR?2?RR????k2???0G?2?RdR??1
代入并考虑到???0在线源有奇点，故取
H(2)0(k?)??jj4H2?(2)0lnk?2，可得A?14j，于是有 j4H(2)0G0(?,0)?(k?)或G0(?,0)?(k????)
15-2 设算子L??ddx22，它的Green函数G(x,x?)满足边界条件 G?G?0 x?[0,1]
x?0x?1高等电磁场作业一 周竞科
试证明， G(x,x?)???x(1?x?) x
证：(1)找出对应齐次方程特解为Ga?c，Gb?x
?A?Bx??G(x,x)???C?Dx0?x?x?x??x?1
(2)代入G0?G1?0?A?0C??D
0?x?x??Bx ?G(x,x?)???D(x?1)x?x?1??Bx??D(x??1)?B?D?1(3)源条件中??B?1?x?D??x?
?(1?x?)x?G(x,x?)???x?(1?x)0?x?x?x??x?1
?16-1 试推导磁场H的积分表达式
?????H(r)???J(r?)???G0(r,r?)dv??v??s??????E(r?)G0(r,r?)j??n??????????H(r?)]???G0(r,r?)?n??H(r?)??G0(r,r?)?ds? ?[n
证：
???2????H?kH???J
?????d (Q???P?P???Q)?n根据矢量Green公式
?v????(P?????Q?Q?????P)dv??s?为s面的外法向单位矢量。 式中，n????P?H(r)?令 ?????
??Q?G(r,r?)a代入矢量格林公式,
??并考虑到G(r,r?)
的对称性，得
??v??????????H(r?)???????[G(r,r?)a]?G(r,r?)a???????H(r?)dv?????s???????????ds?G(r,r?)a????H(r)?H(r?)????[G(r,r?)a?n?
利用矢量恒等式
??????A??(??A)??2?A
????(fA)??f?A?f??A
?????(fA)??f?A?f??A
可得
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?????????2??????[G(r,r?)a]??????[G(r,r?)a]???[G(r,r?)a]?????????2???[??G(r,r?)?a]?kG(r,r?)a??(r?r?)a
?????????[G(r,r?)a]???G(r,r)?a
得
?v???????????2H(r?)???[??G(r,r?)?a]?kG(r,r?)a??(r?r?)adv?????v????????2G(r,r?)a?[kH(r?)???J(r?)]dv??????????????ds????G(r,r?)a?[j??E(r?)?J(r?)]?H(r?)?[??G(r,r?)?a]??ns进一步利用矢量恒等式?????(fA)??f?A?f??A,可得
?????H(r?)???[??G(r,r?)?a]?? ????????????(??G(r,r?)?a)H(r?)?[??G(r,r?)?a]???H(r?)??????a?H(r)?a???s????????????H(r?)??G(r,r?)ds??a???H(r?)??G(r,r?)dv??a?n???V??????J(r?)?G(r,r?)dv?
v?????????????????a??{?n?[j??E(r)?J(r)]G(r,r)?[n?H(r?)]???G(r,r?)}ds?s
考虑到a为任意矢量，且
??s??????J(r?)?G(r,r?)ds??n?V??????J(r?)?G(r,r?)dv?
????????????)?G(r,r?)]dv???{?n?J(r)G(r,r)ds????[J(r??sV?v???J(r?)???G(r,r?)dv???????)?G(r,r?)dv???J(r?V所以可以得到
?????H(r)???J(r?)???G(r,r?)dv??v?????)G(r,r?)??j??n?E(r?s ????????????? ?[n?H(r)]??G(r,r)?n?H(r?)??G(r,r?)?ds?
?????????a?(b?c)?b(a?c)?c(a?b)，可以进一步简化为 利用矢量公式
??????H(r)???J(r?)???G(r,r?)dv?? ????????G(r,r?)?ds??H(r?)nv?s??????E(r?)G(r,r?)?j??n
16-2
设有两个电荷?q和?q，开始时都位于坐标原点，t?0时刻突然将两个电
荷沿z轴方 向拉开，两电荷间距为l。求此电偶极子产生的电磁场。
解：此电场中的电偶极子是由彼此间距为l的两个点电荷＋Q和－Q构成的，其电偶极矩为
?? P?Qlz代入矢位方程A(r)???j??4?r?Pejkr可以得到A(r)???j??4?rQlejkr? z高等电磁场作业一 周竞科
???B???A?由式????可以得到 1?E??j?[A?2?(??A)]k???rsin?Az?? 在球坐标系中，A?cos?Azr?? x r?? rsin????H?1???A?1? ? ??r2sin?? r?? ?? Azcos? ?Azrsin? 0=??1?[rsin??r2sin??(?rArzsin?)?rsin?(Azcos?)]?k2j?qlsin?j?1?jkr4?[kr(kr)2]e而????H??j??E
E2j?qlk3cos?jr?[1]e?jkr4???(kr)2?(kr)3Ej?qlk3sin?j???[?1?j??4kr(kr)2(kr)3]e?jkr
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