高等电磁场作业一 周竞科
6-1 试证明在Coulomb规范下
(?－??2??t22??)A???Jt
?式中， Jt??????v??J(r?,t)??dv? 4?r?r?
?证： Coulomb规范下??A?0，波动方程变为
?2?(????????2?????????)A???J????2?t?t?2??
????2???满足泊松方程，容易证明?(r,t)??v??dv? 4??r?r??(r?,t)?因为?21??r?r???????4??(r?r?)以及?函数的选择性，任意矢量f(r,t)可表示为
??f(r,t)??v???f(r?,t)?(r?r?)dv????v??f(r?,t)4??2??dv????r?r?12?v??f(r?,t)??dv? 4?r?r????2再利用????A??（??A)??A，得
??f(r,t)???????v??f(r?,t)4?Rdv??????v??f(r?,t)4?Rdv?
即任意矢量f可分解为无旋部分和无散部分之和
??????设电流源J?Jl?Jt，其中Jl,Jt分别表示J的无旋部分和无散部分，即
?Jl??????v??J(r?,t)??dv? 4?r?r???J(r?,t??dv? 4?r?r??Jt??????v
??????J(r?,t)11?????J(r?,t)?????????J(r?,t)
??r?rr?rr?r?高等电磁场作业一 周竞科 ??因为??J(r?,t)?0，以及
???????11J(r?,t)1?J(r?,t)?????J(r?,t)?????????????????J(r?,t)
???r?rr?rr?rr?r?所以，由
???J(r?,t)????Jl??????[]dv?????4??4?r?rvv??????J(r,t)J(r?,t)?n??dv??ds???????4?r?r?r?r??ts?4?v?(r?,t)???dv?r?r?
由电流连续性方程可知，因为场源J和?分布在有限空间内，而体积v为均匀无界空间，所以上式右边第一项面积为零。再将Coulomb规范下标位的表达式
??(r,t)???v???dv?代入上式右边第二项，便得到 J?????l4??r?r??t?(r?,t)?将J?Jl?Jt和(6-22)代入(6-17)的第一式，得到
2???(??????t22??)A???Jt
?即在Coulomb规范下，矢位A只由电流源的无散部分决定。
?6－2 试导出导电率为?的媒质中矢位A和标为?的波动方程。
解：在导电率为?的媒质中
????D??E ??H?J??t???B ??E???t?????A知B???A，E＝????
?t?????D??E和??D??两式可得到 将其代入??H?J??t??2??????A?A????A＝?J＋??(???)???(????)?2??t?t?t ???A????(???)????t??高等电磁场作业一 周竞科 ???2应用????A??(??A)??A，上式整理后得
?2(?????????2??????????)A???J??(??A???????)2?t?t?t
??????A??t?2????在第二个式子左右两边各加???2222??t22???????t，可以整理得到
??(????(???2?????t????????)A???J??(??A???????)?t?t?2?????t?????????)????(??A???????)?t??t?t
?此时便得到格式较为规范的矢位A和标为?的波动方程。
??7-1 试证明：在Coulomb规范下，无源区域中的电磁场量E、B可用两个函数表示。
证明：Coulomb规范中??A?0，所以有
2?????2(????)A?????2?t ?t???2??0??在频域，作规范变换?????j??，有????0??(??jw?)?0????0 所以，?和?满足相同的方程。如果我们选取j???? 则???0。
?????A)?－j?A?E＝??(?????t????所以?B???A
????A?0???222
7-2 试导出在柱坐标系中无源区域的电磁场量E,H用纵向分量Ez和Hz表示的表示式。 对于柱形系统，设广义正交曲线坐标系为（v1、v2、v3），v3?z,h3?1，矢量A的旋度可以表示为
??高等电磁场作业一 周竞科
???f?1?h1h2?v1?(1(h2A2???v21h1A1)uz?(1?h1h2?v2h1Azu1?1?h1h2?v1h2Azu2)?h3?zA1u2??h3?zA2u1)
上式中第二、三项皆是横向分量，可以写成
?t?Az?1?h1h2?v21h1Azu1?1?h1h2?v11h2Azu2
?z?At??h3?zA1u2??h3?zA2u1
根据上两式可由均匀各项同性线性媒质中的麦克斯维方程组的两个旋度方程得
?jw?Ht??t?Ez??z?Et
（1）
jw?Et??t?Hz??z?Ht （2）
?????Ht
2(2)式代入（1）可得kHt?jw??t?Ez??z??t?Hzzz而对于柱形系统中沿＋z方向传播的波，可以假定场量随时间t和坐标z 的变化规律为
ejwt??z，可推得
?z??t?Hz??t(?z?Hz)?(?t??z)Hz????tH2z （后项为0）
?z??z?Ht??z(?t?Ht)?(?z??z)H??Et
2t???Ht （前项为0）
2所以（1）式变为kHt?jw??t?Ez???tHzHt
2同理可求得kEt??jw??t?Hz???tEz??22因此令kc?k2??2可以最终得到
1kc2Et?(?jw??t?Hz???tEz)
Ht?1kc2(jw??t?Ez???tHz)
8-1 试证明图所示的有耗多媒质区域的频域电磁场唯一性定理：如果 （1） 区域内的源已知；
（2） 区域外边界上切向电场或切向磁场已知；
（3） 区域内媒质交界面上切向电场和切向磁场连续，
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则区域内电磁场唯一确定。
????证明：设此有源区域产生两组场E1,H1和E2,H2，其差场满足
???????E??j???H?? ??????H?j???E其中，?????j???，?????j???。应用频域Poynting定理
??*?ds?j?(?E??H)?n?(??H2*?s?v????E2)dv?0
?s??*?ds?(?E??H)?n?s1??*?ids?(?E1??H1)?n?s2*??(?E2??H*2?ds )?n因为区域外边界上切向电场或切向磁场已知，所以外边界的线积分为0
?s??*?ds?(?E??H)?n?l??*?idl?(?E1??H1)?n?l??(?E2??H2?dl )?n?i??n?，所以得到 l为交界线，且在交界线上，n?s??*?ds?(?E??H)?n?l??*?ids?(?E1??H1)?n?l??(?E2??H*2?ids )?n?????????i?E1?n?i?E2，n?i?E1?n?i?E2，n?i?H1?n?i?H2，n?i?H1?n?i?H2 由条件（3）可知n?????????????ni?(?E1??H1)??H1?(ni??E1)??H1?(ni??E2)???E2?(ni??H1) ?????i??H2)?n?i?(?E2??H2)???E2?(n
综合边界条件可得
于是
?s??(?E??H?(???H?(????H2*?ds?0 )?n2?v?????E??????E)dv?0
2
?v2)dv?0
??对于有耗媒质，????0，????0, 于是，?E?0，?H?0。
所以区域内电磁场唯一确定
8-2 试讨论Poisson方程??????解的唯一性问题。
2